2018版高考数学(理)(人教)大一轮复习文档讲义:第四章4-4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

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2018版高考数学(理)(人教)大一轮复习文档讲义:第四章4-4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

‎ ‎ ‎1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)‎ ‎(A>0,ω>0),x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T= f== ωx+φ φ ‎2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示:‎ x ωx+φ ‎0‎ π ‎2π y=Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎-A ‎0‎ ‎3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象的步骤如下:‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.‎ ‎2.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)y=sin的图象是由y=sin的图象向右平移个单位得到的.( √ )‎ ‎(2)将函数y=sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y=sin(ωx-φ)的图象.( × )‎ ‎(3)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.( × )‎ ‎(4)函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T=.( × )‎ ‎(5)把y=sin x的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,所得图象对应的函数解析式为y=sin x.( × )‎ ‎(6)若函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 .( √ )‎ ‎1.(教材改编)y=2sin(x-)的振幅,频率和初相分别为(  )‎ A.2,4π, B.2,, C.2,,- D.2,4π,- 答案 C 解析 由题意知A=2,f===,初相为-.‎ ‎2.(2015·山东)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 4x的图象(  )‎ A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 答案 B 解析 ∵y=sin=sin,‎ ‎∴要得到y=sin的图象,只需将函数y=sin 4x的图象向右平移个单位.‎ ‎3.(2016·青岛模拟)将函数y=sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是(  )‎ A.y=sin(2x-) B.y=sin(2x-)‎ C.y=sin(x-) D.y=sin(x-)‎ 答案 C 解析 y=sin x y=sin(x-)y=sin(x-).‎ ‎4.(2016·临沂模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+θ)的图象如图所示,f()=-,则f(-)=________.‎ 答案 - 解析 由题图知,函数f(x)的周期 T=2(-)=,‎ 所以f(-)=f(-+)=f()=-.‎ ‎5.若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是________.‎ 答案  解析 ∵函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得到g(x)=sin[2(x-φ)+]=sin(2x+-2φ),‎ 又∵g(x)是偶函数,∴-2φ=kπ+(k∈Z),‎ ‎∴φ=--(k∈Z).‎ 当k=-1时,φ取得最小正值.‎ 题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 例1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: ‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎-5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.‎ 解 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f(x)=5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=5sin,‎ 得g(x)=5sin.‎ 因为函数y=sin x图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z.‎ 令2x+2θ-=kπ,解得x=+-θ,k∈Z.‎ 由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,‎ 所以令+-θ=,解得θ=-,k∈Z.‎ 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.‎ 引申探究 在本例(2)中,将f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,求g(x)的解析式,并写出g(x)图象的对称中心.‎ 解 由(1)知f(x)=5sin(2x-),‎ 因此g(x)=5sin[2(x+)-]=5sin(2x+).‎ 因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.‎ 令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z.‎ 即y=g(x)图象的对称中心为(-,0),k∈Z.‎ 思维升华 (1)五点法作简图:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.‎ ‎(2)图象变换:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径:‎ ‎“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.‎ ‎ 把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把所得函数图象向左平移个单位,得到的函数图象的解析式是(  )‎ A.y=cos 2x B.y=-sin 2x C.y=sin(2x-) D.y=sin(2x+)‎ 答案 A 解析 由y=sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所得图象的解析式为y=sin 2x,再向左平移个单位得y=sin2(x+),即y=cos 2x.‎ 题型二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式 例2 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,|φ|<,ω>0)的图象的一部分如图所示.‎ ‎(1)求f(x)的表达式;‎ ‎(2)试写出f(x)的对称轴方程.‎ 解 (1)观察图象可知A=2且点(0,1)在图象上,‎ ‎∴1=2sin(ω·0+φ),即sin φ=.‎ ‎∵|φ|<,∴φ=,‎ 又∵π是函数的一个零点且是图象递增穿过x轴形成的零点,‎ ‎∴ω+=2π,∴ω=2.‎ ‎∴f(x)=2sin(2x+).‎ ‎(2)设2x+=B,则函数y=2sin B的对称轴方程为B=+kπ,k∈Z,‎ 即2x+=+kπ(k∈Z),‎ 解得x=+ (k∈Z),‎ ‎∴f(x)=2sin(2x+)的对称轴方程为 x=+(k∈Z).‎ 思维升华 求y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)解析式的步骤 ‎(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.‎ ‎(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.‎ ‎(3)求φ,常用方法如下:‎ ‎①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.‎ ‎②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”为ωx+φ=2π.‎ ‎ (2016·太原模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则y=f(x+)取得最小值时x的集合为(  )‎ A.{x|x=kπ-,k∈Z}‎ B.{x|x=kπ-,k∈Z}‎ C.{x|x=2kπ-,k∈Z}‎ D.{x|x=2kπ-,k∈Z}‎ 答案 B 解析 根据所给图象,周期T=4×(-)=π,故π=,∴ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),另外图象经过点(,0),代入有2×+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,∴f(x+)=sin(2x+),当2x+=-+2kπ (k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f(x+)取得最小值.‎ 题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用 例3 (2015·陕西)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(  )‎ A.5 B.6‎ C.8 D.10‎ 答案 C 解析 由题干图易得ymin=k-3=2,则k=5.‎ ‎∴ymax=k+3=8.‎ 命题点2 函数零点(方程根)问题 例4 已知关于x的方程2sin2x-sin 2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是________.‎ 答案 (-2,-1)‎ 解析 方程2sin2x-sin 2x+m-1=0可转化为 m=1-2sin2x+sin 2x ‎=cos 2x+sin 2x ‎=2sin,x∈.‎ 设2x+=t,则t∈,‎ ‎∴题目条件可转化为=sin t,t∈有两个不同的实数根.‎ ‎∴y=和y=sin t,t∈的图象有两个不同交点,如图:‎ 由图象观察知,的范围为(-1,-),‎ 故m的取值范围是(-2,-1).‎ 引申探究 例4中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则m的取值范围是__________.‎ 答案 [-2,1)‎ 解析 由例4知,的范围是,‎ ‎∴-2≤m<1,‎ ‎∴m的取值范围是[-2,1).‎ 命题点3 图象与性质的综合应用 例5 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ<)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值;‎ ‎(2)当x∈[0,]时,求函数y=f(x)的最大值和最小值.‎ 解 (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.‎ 又因为f(x)的图象关于直线x=对称,‎ 所以2·+φ=kπ+,k∈Z,‎ 由-≤φ<,得k=0,‎ 所以φ=-=-.‎ 综上,ω=2,φ=-.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=sin(2x-),‎ 当x∈[0,]时,-≤2x-≤,‎ ‎∴当2x-=,即x=时,f(x)最大值=;‎ 当2x-=-,即x=0时,f(x)最小值=-.‎ 思维升华 ‎ (1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.‎ ‎(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.‎ ‎(3)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.‎ ‎ 已知函数f(x)=cos(3x+),其中x∈[,m],若f(x)的值域是[-1,-],则m的取值范围是__________.‎ 答案 [,]‎ 解析 画出函数的图象.‎ 由x∈[,m],可知≤3x+≤3m+,‎ 因为f()=cos =-且f()=cos π=-1,要使f(x)的值域是[-1,-],只要≤m≤,即m∈[,].‎ ‎4.三角函数图象与性质的综合问题 典例 (12分)已知函数f(x)=2sin(+)·cos(+)-sin(x+π).‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.‎ 思维点拨 (1)先将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求周期;‎ ‎(2)将f(x)解析式中的x换成x-,得g(x),然后利用整体思想求最值.‎ 规范解答 解 (1)f(x)=2sin(+)·cos(+)-sin(x+π)=cos x+sin x[3分]‎ ‎=2sin(x+),[5分]‎ 于是T==2π.[6分]‎ ‎(2)由已知得g(x)=f(x-)=2sin(x+),[8分]‎ ‎∵x∈[0,π],∴x+∈[,],‎ ‎∴sin(x+)∈[-,1],[10分]‎ ‎∴g(x)=2sin(x+)∈[-1,2].[11分]‎ 故函数g(x)在区间[0,π]上的最大值为2,最小值为-1.[12分]‎ 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤:‎ 第一步:(化简)将f(x)化为asin x+bcos x的形式;‎ 第二步:(用辅助角公式)构造f(x)=·(sin x·+cos x·);‎ 第三步:(求性质)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质;‎ 第四步:(反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.‎ ‎1.为了得到函数y=cos(2x+)的图象,可将函数y=sin 2x的图象(  )‎ A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案 C 解析 由题意,得y=cos(2x+)=sin(2x++)=sin 2(x+),则它是由y=sin 2x向左平移个单位得到的,故选C.‎ ‎2.若f(x)=sin(2x+φ)+b,对任意实数x都有f=f(-x),f=-1,则实数b的值为(  )‎ A.-2或0 B.0或1‎ C.±1 D.±2‎ 答案 A 解析 由f =f(-x)可得f(x)的图象关于直线x=对称,∴2×+φ=+kπ,k∈Z.当直线x=经过最高点时,φ=;当直线x=经过最低点时,φ=-π.若f(x)=sin+b,由f =-1,得b=0;若f(x)=sin+b,由f=-1,得b=-2.所以b=-2或b=0.‎ ‎3.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y ‎=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为(  )‎ A. B. C.π D.2π 答案 C 解析 f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+)(ω>0).‎ 由2sin(ωx+)=1,得sin(ωx+)=,‎ ‎∴ωx+=2kπ+或ωx+=2kπ+π(k∈Z).‎ 令k=0,得ωx1+=,ωx2+=π,‎ ‎∴x1=0,x2=.‎ 由|x1-x2|=,得=,∴ω=2.‎ 故f(x)的最小正周期T==π.‎ ‎4.函数f(x)=sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,如果x1,x2∈(-,)且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于(  )‎ A. B. C. D.1‎ 答案 B 解析 观察图象可知,A=1,T=π,‎ ‎∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ).‎ 将(-,0)代入上式得sin(-+φ)=0,‎ 由|φ|<,得φ=,则f(x)=sin(2x+).‎ 函数图象的对称轴为x==.‎ 又x1,x2∈(-,),‎ 且f(x1)=f(x2),∴=,‎ ‎∴x1+x2=,‎ ‎∴f(x1+x2)=sin(2×+)=.故选B.‎ ‎5.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后所得函数图象的解析式是奇函数,则函数f(x)在上的最小值为(  )‎ A.- B.- C. D. 答案 A 解析 由函数f(x)的图象向左平移个单位得g(x)=sin的图象,‎ 因为是奇函数,所以φ+=kπ,k∈Z,‎ 又因为|φ|<,所以φ=-,‎ 所以f(x)=sin.‎ 又x∈,所以2x-∈,‎ 所以当x=0时,f(x)取得最小值为-.‎ ‎6.(2016·太原模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期是π,若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象(  )‎ A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称 C.关于点对称 D.关于点对称 答案 B 解析 由题意知=π,∴ω=2;‎ 又由f(x)的图象向右平移个单位后得到y=sin[2+φ]=sin,此时关于原点对称,‎ ‎∴-+φ=kπ,k∈Z,‎ ‎∴φ=+kπ,k∈Z,‎ 又|φ|<,‎ ‎∴φ=-,‎ ‎∴f(x)=sin.‎ 当x=时,‎ ‎2x-=-,‎ ‎∴A、C错误;‎ 当x=时,‎ ‎2x-=,‎ ‎∴B正确,D错误.‎ ‎7.(2016·全国丙卷)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到.‎ 答案  解析 y=sin x-cos x=2sin,y=sin x+cos x=2sin,因此至少向右平移个单位长度得到.‎ ‎8.(2017·长春质检)设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f()的值为________.‎ 答案  解析 由题意知,点M到x轴的距离是,根据题意可设f(x)=cos ωx,‎ 又由题图知·=1,所以ω=π,‎ 所以f(x)=cos πx,‎ 故f()=cos =.‎ ‎9.(2015·天津)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为________.‎ 答案  解析 f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,‎ 因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤,即ω2≤,即ω2=,所以ω=.‎ ‎10.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的图象如图所示,则当t=秒时,电流强度是________安.‎ 答案 -5‎ 解析 由图象知A=10,=-=,‎ ‎∴ω==100π,∴I=10sin(100πt+φ).‎ ‎∵图象过点,‎ ‎∴10sin(100π×+φ)=10,‎ ‎∴sin(+φ)=1,+φ=2kπ+,k∈Z,‎ ‎∴φ=2kπ+,k∈Z,‎ 又∵0<φ<,∴φ=.‎ ‎∴I=10sin,‎ 当t=秒时,I=-5安.‎ ‎11.已知函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象过点P(,0),图象上与点P最近的一个最高点是Q(,5).‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)求函数f(x)的递增区间.‎ 解 (1)依题意得A=5,周期T=4(-)=π,‎ ‎∴ω==2.‎ 故y=5sin(2x+φ),又图象过点P(,0),‎ ‎∴5sin(+φ)=0,‎ 由已知可得+φ=0,∴φ=-,‎ ‎∴y=5sin(2x-).‎ ‎(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,‎ 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ 故函数f(x)的递增区间为[kπ-,kπ+] (k∈Z).‎ ‎12.已知函数f(x)=cos2x+sin x·cos x-.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期T和函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若函数f(x)的对称中心为(x,0),求x∈[0,2π)的所有x的和.‎ 解 (1)由题意得f(x)=sin(2x+),∴T==π,‎ 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z.‎ 可得函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.‎ ‎(2)令2x+=kπ,k∈Z,可得x=-+,k∈Z.‎ ‎∵x∈[0,2π),∴k可取1,2,3,4.‎ ‎∴所有满足条件的x的和为+++=.‎ ‎*13.(2016·潍坊模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)设g(x)=[f(x-)]2,求函数g(x)在x∈[-,]上的最大值,并确定此时x的值.‎ 解 (1)由题图知A=2,=,‎ 则=4×,∴ω=.‎ 又f(-)=2sin[×(-)+φ]‎ ‎=2sin(-+φ)=0,‎ ‎∴sin(φ-)=0,‎ ‎∵0<φ<,∴-<φ-<,‎ ‎∴φ-=0,即φ=,‎ ‎∴f(x)的解析式为f(x)=2sin(x+).‎ ‎(2)由(1)可得 f(x-)=2sin[(x-)+]‎ ‎=2sin(x+),‎ ‎∴g(x)=[f(x-)]2=4× ‎=2-2cos(3x+),‎ ‎∵x∈[-,],∴-≤3x+≤,‎ ‎∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.‎
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