2021版高考数学一轮复习核心素养测评六指数与指数函数苏教版
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核心素养测评六 指数与指数函数
(30 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.函数 f(x)= 的值域是 ( )
A.(-2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.(0,+∞) D.(-∞,-2)
【解析】选 B.令 u=2x-1,则 u>-1,且 u≠0,y= ,则 y<-2 或 y>0.
2.(2019·文昌模拟)已知 a=0.24,b=0.32,c=0.43,则 ( )
A.b
c>a.
3.(2019·太原模拟)函数 f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是
( )
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.00 D.00,所以 b<0.
4.(2020·北京模拟)若 ea+πb≥e-b+π-a,则有 ( )
A.a+b≤0 B.a-b≥0
C.a-b≤0 D.a+b≥0
【解析】选 D.令 f(x)=ex-π-x,则 f(x)在 R 上单调递增,又 ea+πb≥e-b+π-a,所以 ea-π-a≥e-b-πb,
即 f(a)≥f(-b),所以 a≥-b,即 a+b≥0.
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5.(2019·十堰模拟)定义在[-7,7]上的奇函数 f(x),当 00 的解集为 ( )
A.(2,7] B.(-2,0)∪(2,7]
C.(-2,0)∪(2,+∞) D.[-7,-2)∪(2,7]
【解析】选 B.当 00 等价于 f(x)>f(2),即 20 等价于 f(x)>f(-2),即-20 的解集为(-2,0)
∪(2,7].
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.指数函数 y=f(x)的图象经过点(m,3),则 f(0)+f(-m)=________.
【解析】设 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),所以 f(0)=a0=1.且 f(m)=am=3.所以
f(0)+f(-m)=1+a-m=1+ = .
答案:
7.若 f(x)= 是 R 上的奇函数,则实数 a 的值为________,f(x)的值域为
________.
【解析】因为函数 f(x)是 R 上的奇函数,
所以 f(0)=0,所以 =0,解得 a=1,
f(x)= =1- .
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因为 2x+1>1,所以 0< <2,
所以-1<1- <1,
所以 f(x)的值域为(-1,1).
答案:1 (-1,1)
8.给出下列结论:
①当 a<0 时,(a2 =a3;
② =|a|(n>1,n∈N*,n 为偶数);
③函数 f(x)=(x-2 -(3x-7)0 的定义域是 ;
④若 2x=16,3y= ,则 x+y=7.
其中正确结论的序号有________.
【解析】因为 a<0 时,(a2 >0,a3<0,所以①错;②显然正确;解 ,
得 x≥2 且 x≠ ,所以③正确;
因为 2x=16,所以 x=4,
因为 3y= =3-3,所以 y=-3,
所以 x+y=4+(-3)=1,所以④错.
故②③正确.
答案:②③
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],求 a+b 的值.
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【解析】①当 a>1 时,函数 f(x)=ax+b 在[-1,0]上为增函数,由题意得
无解.
②当 00,所以 x=1.
(2)当 t∈[1,2]时,2t +
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m ≥0,
即 m(22t-1)≥-(24t-1),
因为 22t-1>0,所以 m≥-(22t+1),
因为 t∈[1,2],所以-(22t+1)∈[-17,-5],故实数 m 的取值范围是[-5,+∞).
(15 分钟 35 分)
1.(5 分) (2020·淮安模拟)已知 a= ,b= ,c= ,则下列关系式中正确的是
( )
A.c > ,所以
< < ,即 bf(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是
( )
A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c D.2a+2c<2
【解析】选 D.作出函数 f(x)=|2x-1|的图象,如图.
因为 af(c)>f(b),结合图象知 00,b<1,
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所以 0<2a<1,2-a>1,
所以 f(a)=|2a-1|=1-2a<1,
所以 f(c)<1,所以 0f(c),
所以 1-2a>2c-1,
所以 2a+2c<2.
【变式备选】
(2020·西安模拟)若函数 f(x)=a|2x-4|(a>0,且 a≠1),满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递减区间是
( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
【解析】选 B.由 f(1)= ,得 a2= ,解得 a= 或 a=- (舍去),即 f(x)= .
由于 y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以 f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上
递减.
3.(5 分)(2020·北京模拟)某种物质在时刻 t(min)与浓度 M(mg/L)的函数关系为
M(t)=art+24(a,r 为常数).在 t=0 min 和 t=1 min 时测得该物质的浓度分别为 124 mg/L 和 64
mg/L,那么在 t=4 min 时,该物质的浓度为____________mg/L;若该物质的浓度小于24.001 mg/L,
则最小的整数的值为________.
【解析】根据条件:ar0+24=124,ar+24=64,
所以 a=100,r= ,所以 M(t)=100 +24;
所以 M(4)=100 +24=26.56;
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由 100 +24<24.001 得: <(0.1)5;
所以 lg 12.6;所以最小的整数 t 的值是 13.
答案:26.56 13
【变式备选】
已知 a- =3(a>0),求 a2+a+a-2+a-1 的值.
【解析】因为 a- =3,
所以 a2+ = +2·a· =9+2=11,而 =a2+ +2=13,所以 a+ = ,
所以 a2+a+a-2+a-1=11+ .
4.(10 分)已知函数 y=a +b 的图象过原点,且无限接近直线 y=2,但又不与该直线相交.
(1)求该函数的解析式,并画出图象.
(2)判断该函数的奇偶性和单调性.
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【解析】(1)因为函数 y=a +b 的图象过原点,所以 0=a +b,即 a+b=0,所以 b=-a.
函数 y=a -a=a .
又 0< ≤1,-1< -1≤0.
且 y=a +b 无限接近直线 y=2,但又不与该直线相交,所以 a<0 且
0≤a <-a,所以-a=2,函数 y=-2 +2.用描点法画出函数的图象,如图.
(2)显然函数的定义域为 R.
令 y=f(x),则 f(-x)=-2 +2
=-2 +2=f(x),所以 f(x)为偶函数.
当 x>0 时,y=-2 +2=-2 +2 为单调增函数.
当 x<0 时,y=-2 +2=-2 +2 为
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单调减函数.所以 y=-2 +2 在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数.
5.(10 分)已知函数 f(x)= .
(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间.
(2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值.
(3)若 f(x)的值域是(0,+∞),求 a 的值.
【解析】(1)当 a=-1 时,f(x)= ,
令 g(x)=-x2-4x+3,
由于 g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而 y= 在 R 上单调递减,所以
f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数 f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),
单调递减区间是(-∞,-2].
(2)令 g(x)=ax2-4x+3,则 f(x)= ,由于 f(x)有最大值 3,所以 g(x)应有最小值-1,
因此必有 解得 a=1,
即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1.
(3)令 g(x)=ax2-4x+3,则 f(x)= ,由指数函数的性质知要使 f(x)= 的值域为
(0,+∞),应使 g(x)=ax2-4x+3 的值域为 R,因此只能 a=0(因为若 a≠0,则 g(x)为二次函数,其值
域不可能为 R).故 f(x)的值域为(0,+∞)时,a 的值为 0.
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