2019九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的动态问题试题 （新版）青岛版

2019九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的动态问题试题 （新版）青岛版

与圆有关的动态问题 与圆有关的动态问题是一类综合性的问题。解题时，既要熟悉圆的有关性质定理，还要注意动静结合，特殊和一般结合，结合图形全面考虑，细心分析，灵活运用有关的性质定理，必要时还需添加恰当的辅助线，加强图形间的内在联系，以便转化，使问题顺利解决。‎ 在与圆有关的动态问题中，最常用到的定理有：‎ ‎1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。‎ ‎2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。‎ 说明：在遇到切线时，连接圆心与切点是常见的辅助线，可以构造直角三角形，为解题架设了桥梁。‎ ‎3. 弧、弦、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。‎ ‎4. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。‎ ‎5. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。‎ 例题1 如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（　　）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ 解析：本题考查了直线与圆的位置关系；掌握切线的性质与判定是解题的关键。根据题意找出当OP⊥AP时，∠OAP取得最大值。所以在Rt△AOP中，利用直角三角形可以求得此时∠OAP的值。‎ 解：根据题意知，当∠OAP的取最大值时，OP⊥AP；在Rt△AOP中，∵OP＝OB，OB＝AB，∴OA＝2OP，∴∠OAP＝30°。故选A。‎ 答案：A 点拨：在点P的运动过程中，∠OAP取最大值时，AP正好是⊙O的切线。‎ 例题2 （北京中考）‎ 11‎ 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）‎ 解析：考虑用特殊值验证的方法。‎ 解：可以采用特殊值的方法来“破题”，比如当x＝1时，△APO恰为正三角形，此时面积为，达不到，这样就排除了选项B、D；由于比较接近，所以只有选项A符合要求。‎ 答案：A 点拨：可以发现，在这种解法中，特殊值（y＝1）至关重要；此外，数学的直观能力、题感在这道题也体现得比较充分，这也是本题选择以客观题（即不必展示过程）形式出现的原因。正如史宁中教授所说：“数学上有很多问题我们能看出结果，但要说得真切是困难的！”‎ 例题3 如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD＝45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF＝，DE＝，下列能表示与函数关系的图象大致是（ ）‎ 解析：‎ 11‎ 本题若通过求函数解析式的方法求解，比较复杂。若注意分析y随x的变化而变化的趋势，与各选项的图象逐一比对，则能迅速解决。‎ 解：点C从点A运动到点B的过程中，x的值逐渐增大，DE的长度随x值的变化先变大再变小。故选A。‎ 答案：A 点拨：本题是一个以圆为背景的动点问题，若通过求函数解析式的方法求解，比较复杂；但若仔细观察、分析可以发现：随着x的值逐渐增大，y经历了一个先变大再变小的过程，这样就能快速解决问题。‎ 与圆有关的动态问题中的切线 动态问题一般是图形在运动中产生函数问题或规律问题，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从“动”中找出问题的隐含规律。‎ 满分训练 半径为‎2cm的⊙O与边长为‎2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l 相切于点F，DC在l上。‎ ‎（1）过点B作⊙O的一条切线BE，E为切点，‎ ‎①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是____；‎ ‎②如图2，当E、A、D三点在同一直线上时，求线段OA的长；‎ ‎（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M、N分别是边BC、AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围。‎ 解析：本题综合考查了动态问题、圆、特殊平行四边形的判定、相似三角形的判定、三角函数、一元二次方程的解法等知识。‎ 解：（1）①如图1，因为切线BE是⊙O的切线，所以OE⊥BE于E，又OA＝AB＝OE＝2，易得∠EBA＝30°； ‎ ‎②如图2，∵直线l与⊙O相切于F，∴∠OFD＝ 90°。‎ ‎∵正方形ADCB中，∠ADC＝ 90°，∴OF//AD。∵OF＝AD＝2，∴四边形OFDA为平行四边形。‎ ‎∵∠OFD＝90°，∴平行四边形OFDA为矩形。∴DA ⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴E、A、D三点在同一直线上。∵E、A、D三点在同一直线上，∴EA⊥OB。‎ ‎∵∠OEB＝90°，∴∠OEB＝∠EAO。又∵∠EOB＝∠AOE，∴△EOA∽△BOE。‎ ‎∴。∴OE2＝ OA·OB。∴OA（2＋OA）＝4，解得，OA＝－1±，∵OA＞0，‎ ‎∴OA＝－1‎ ‎（2）如图3，设∠MON＝ n°，（cm2）。‎ 11‎ S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，最大。‎ 过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON＝2∠NOK，NM＝2NK，‎ 在Rt△ONK中，sin∠NOK＝‎ ‎∴∠NOK随NK的增大而增大，∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小。‎ ‎①当N、M、O分别与D、B、A重合时，MN最大，MN＝BD，∠MON＝∠BOD＝90°，（cm2）‎ ‎② 当MN＝DC＝2时，MN最小。‎ ‎∴ON＝MN＝OM，∴∠NOM＝60°。 （cm2），∴。‎ 答案：（1）30°；－1；（2）‎ 点拨：这类问题可细分为点动型、线动型、形动型。解答这类问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ ‎【友情提示】因本讲内容综合性较强，故在解题过程中可能会涉及到相似和锐角三角函数相关知识，请敢于挑战自我、勇于得满分的“童鞋”提前预习相关知识点。‎ ‎1. 如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动。当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为（ ）‎ A. 15° B. 30° C. 60° D. 90°‎ ‎ ‎ ‎2.（湖南中考）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（ ）‎ 11‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3. （甘肃中考）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（ ）‎ ‎*4. （甘肃中考）如图，已知⊙P的圆心在定角（0°<<180°） 的角平分线上运动，且⊙P与的两边相切，则图中阴影部分的面积S关于⊙P的半径r（r>0）变化的函数图象大致是（ ）‎ ‎5. 如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于的函数图像大致是（ ）‎ 11‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 如图，A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OC→→DO的路线做匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y（度）与t（秒）的函数关系最恰当的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（ ）‎ A. 2周 B. 3周 C. 4周 D. 5周 ‎8. 如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC ＝45°，AB＝2，D 是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 。‎ ‎9. 如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是________。‎ 11‎ ‎*10. 如图，∠APB＝30°，圆心在边PB上的⊙O半径为‎1cm，OP＝‎3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，求圆心O移动的距离。‎ ‎***11. 在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，连接QP（如图）。已知AD＝13，AB＝5，设AP＝x，BQ＝y。‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；‎ ‎（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求的值；‎ ‎（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF＝EC＝4，求x的值。‎ ‎***12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）。动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0o的常数），点P的速度是1。当0

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