数学卷·2018届山西省怀仁县第一中学高二上学期期中考试理数试题 （解析版）

数学卷·2018届山西省怀仁县第一中学高二上学期期中考试理数试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知直线，，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． 0 C．或0 D．2‎ ‎【答案】C 考点：两直线的位置关系．‎ ‎【易错点晴】解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即的系数是否为）.‎ ‎2.已知是两条不同直线，是两个不同的平面，且，则下列叙述正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据判定定理“如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直”可知C正确.‎ 考点：空间点线面位置关系．‎ ‎3.的斜二测直观图如图所示，则的面积为（ ）‎ A． 1 B．2 C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：斜二测图象的面积与原图面积的关系是，所以的面积为 ‎.‎ 考点：斜二测法．‎ ‎4.“”是“直线与垂直”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A 考点：充要条件．‎ ‎5.在三棱锥中，分别是和的重心，则直线与的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．平行 C.异面 D．以上都有可能 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：如下图所示，设为中点，根据三角形重心分中线比例为可知.‎ 考点：空间点线面位置关系．‎ ‎6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）‎ A．1 B．2 C. 3 D．4‎ ‎【答案】B 考点：几何体的内切球．‎ ‎7.若直线，与圆的四个交点把圆 分成的四条弧长相等，则（ ）‎ A．0或-1 B．0或1 C.1或-1 D．0或1或-1‎ ‎【答案】A 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎8.设两条直线的方程分别为，，已知是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）‎ A．， B．， C. ， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：两平行线的距离，根据韦达定理有，所以 ‎.‎ 考点：平行线的距离．‎ ‎9.已知正三棱锥的高为，点为侧棱的中点，与所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C 考点：三棱锥体积．‎ ‎10.如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点 ‎，则以下命题中，错误的命题是（ ）‎ A. 点是的垂心 B．的延长线经过点 C. 垂直平面 D．直线和所成的角为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如下图所示，由正方体的性质可知，在对角线上，，所以为直线与所称的角，，所以，选D.‎ 考点：立体几何点线面位置关系．‎ ‎11.已知点是直线上一动点，是圆 的两条切线，是切点.若四边形的最小面积是2，则的值为（ ）‎ A． B． C. D． 2‎ ‎【答案】D 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系.涉及比较多的知识点，一是连接圆心和切点的直径和切线垂直；二是根据对称性，将四边形的面积转化为两个直角三角形面积的和；三是最值问题，用化归与转化的数学思想方法转化为点到直线距离的距离来求解.四是点到直线的距离公式，还有圆的一般方程配成标准方程得到圆心和半径.‎ ‎12.已知点为圆外一点，圆上存在点使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：圆心为，半径，设圆的参数方程为，所以 ‎，，因为长度固定，当为切点时，最大，要存在点使，则需最大角度不小于，所以，整理得，解得，由于在圆外，综上所述 ‎.‎ 考点：点和圆的位置关系．‎ ‎【思路点晴】化圆的一般方程为标准方程易得圆心为，半径，由题意可得，有距离公式可得的不等式，解这个不等式可得的的取值范围.考查了划归与转化的数学思想方法. 利用数形结合思想，将问题灵活加以转化，往往能起到事半功倍的效果.如利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离等.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为___________.‎ ‎【答案】‎ 考点：两条直线的位置关系．‎ ‎14.长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知，截成的几何体为四棱柱，体积为，所以长方体的体积为.‎ 考点：三视图．‎ ‎15.点过直线始终平分圆的周长，则的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意直线过圆心，将点代入直线方程得，所以 ‎.‎ 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎【思路点晴】直线平分圆的周长，转化为直线过圆的圆心，要求的最小值，即利用基本不等式来求解. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.‎ ‎16.矩形中，，，分别为边的中点，将沿折起，‎ 点折起后分别为点，得到四棱锥.给出下列几个结论：‎ ‎①四点共面；‎ ‎②平面；‎ ‎③若平面平面，则；‎ ‎④四棱锥体积的最大值为.‎ 其中正确的是_____________.（填上所有正确的序号）‎ ‎【答案】②③‎ 考点：空间点线面的位置关系．‎ ‎【思路点晴】第一问考查了公理，“过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”.第二问考查了线面平行的判定定理“如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行”，考查了面面平行的判定定理“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行”.第三问面面垂直的性质定理“如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直”.第四问考查了空间几何体的体积.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（10分）已知一个几何体的三视图如图所示.‎ ‎（1）求此几何体的表面积；‎ ‎（2）如果点在正视图中所示位置：为所在线段中点，为顶点，求在几何体表面上，从点到 点的最短路径的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，如图 则，‎ 所以从点到点在侧面上的最短路径的长为.‎ 考点：三视图．‎ ‎18.（12分）已知的三个顶点，，，其外接圆为.若直线过点 ‎，且被截得的弦长为2，求直线的方程.‎ ‎【答案】或．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用、垂直平分先的交点求出圆心坐标为，半径为，故的方程为，设圆心到直线的距离为，因为直线被 截得的弦长为，所以，符合题意，当直线不垂直于轴时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式求出.综上，直线的方程为或.‎ 考点：直线方程．‎ ‎19.已知四边形满足，，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面，分别为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：平面平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连接交于，连接，为中位线，所以，所以平面； （2）连接，则，又，所以平面.又 ‎，所以 平面，所以平面平面.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：连接交于，连接，‎ ‎∵四边形为菱形，‎ ‎∴为的中点，又为的中点，∴.‎ 又平面，平面，∴平面.‎ 考点：立体几何证明垂直与平行．‎ ‎20.（12分）已知圆上一定点，为圆内一点，为圆上的动点.‎ ‎（1）求线段中点的轨迹方程；‎ ‎（2）若，求线段中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设中点为，由中点坐标公式可知，点坐标代入圆化简得；（2）设的中点为，在中，，，，将点的坐标代入，化简得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设中点为，‎ 由中点坐标公式可知，点坐标.‎ 因为点在圆上，所以.‎ 故线段中点的轨迹方程为.‎ 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎21.（12分）已知以点为圆心的圆过原点.‎ ‎（1）设直线与圆交于点，若，求圆的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设，且分别是直线和圆上的动点，求 的最大值及此时点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1），所以原点在的中垂线上.利用两条直线斜率乘积等于，解得或，经验证不符合题意，所以，圆的方程为；（2）在三角形中，两边之差小于第三边，故，又三点共线时最大，所以的最大值为 ‎.线的方程为与联立求得交点为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，所以，则原点在的中垂线上.‎ 设的中点为，则，‎ ‎∴三点共线.‎ ‎∵直线的方程是，∴直线的斜率，解得或，‎ ‎∴圆心为或，‎ ‎∴圆的方程为或.‎ 由于当圆方程为时，圆心到直线的距离，‎ 此时不满足直线与圆相交，故舍去.‎ ‎∴圆的方程为.‎ 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎【方法点晴】本题第一问考查了垂径定理，直径垂直弦，平分弦且平分弦所对的弧，所以有原点在的中垂线上，将垂直转化为两条直线斜率相乘等于，即可求得的值.第一问考查了最值问题，利用了三角形两边的差小于第三边，故三点共线时取得最大值，最后联立方程组求得交点的坐标，这考查了化归与转化的数学思想方法.‎ ‎22.（12分）如图所示，四棱柱中，侧棱底面，，‎ ‎，，，为的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵侧棱底面，平面，∴.‎ 经计算可得，，，‎ ‎∴，∴在中，.‎ 又∵，平面，，∴平面.又平面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）如图所示，过作于点，连接.‎ 由（1）知，，故平面，得.‎ ‎∴为二面角的平面角.‎ 在中，由，，可得.‎ 在中，，∴，‎ 即二面角的正弦值为.‎ 整理得，解得（负值舍去）.‎ ‎∴线段的长为.‎ 考点：立体几何证明垂直与求面面角．‎ ‎【方法点晴】本题要熟练掌握两个平面所成的角和直线与平面所称的角的概念.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．‎ ‎ ‎