高考数学专题复习：计数原理(A)

高考数学专题复习：计数原理(A)

第一章　计数原理(A)‎ 一、选择题 ‎1、三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有(　　)‎ A．72个 B．120个 C．240个 D．360个 ‎2、三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有(　　)‎ A．18种 B．24种 C．45种 D．90种 ‎3、7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(　　)‎ A．720种 B．360种 C．1 440种 D．120种 ‎4、从5名男生和5名女生中选3名组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为(　　)‎ A．100 B．‎110 ‎ C．120 D．180‎ ‎5、从1,2,3，…，100中任取2个数相乘，其积能被3整除的有(　　)‎ A．33组 B．528组 C．2 111组 D．2 739组 ‎6、编号为1,2,3,4,5的5人，入座编号也为1,2,3,4,5的5个座位，至多有2人对号入座的坐法种数为(　　)‎ A．120 B．‎130 C．90 D．109‎ ‎7、杨辉三角为：‎ 杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是(　　)‎ A．第6行 B．第7行 C．第8行 D．第9行 ‎8、在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则第六项的系数是(　　)‎ A．330 B．462‎ C．682 D．792‎ ‎9、在8的展开式中，常数项是(　　)‎ A．－28 B．－7‎ C．7 D．28‎ ‎10、将5封信投入3个邮筒，不同的投法有(　　)‎ A．53种 B．35种 C．3种 D．15种 ‎11、若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋…＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，则n的值为(　　)‎ A．9 B．10‎ C．11 D．12‎ ‎12、若(3x－)n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中含的项的系数是(　　)‎ A．7 B．－7‎ C．21 D．－21‎ 二、填空题 ‎13、在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个．‎ ‎14、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有________对．‎ ‎15、在(x＋)9的展开式中，x3的系数是________．‎ ‎16、对于二项式(1－x)1 999，有下列四个命题：‎ ‎①展开式中T1 000＝－Cx999；‎ ‎②展开式中非常数项的系数和是1；‎ ‎③展开式中系数最大的项是第1 000项和第1 001项；‎ ‎④当x＝2 000时，(1－x)1 999除以2 000的余数是1.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)．‎ 三、解答题 ‎17、已知(＋3x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．‎ ‎18、有A，B，C三个城市，上午从A城去B城有5班汽车，2班火车，都能在12∶00前到达B城，下午从B城去C城有3班汽车，2班轮船．某人上午从A城出发去B城，要求12∶00前到达，然后他下午去C城，问有多少种不同的走法？‎ ‎19、用0,1,2,3,4,5共6个数字，可以组成多少个没有重复数字的六位奇数？‎ ‎20、有9本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？‎ ‎(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；‎ ‎(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．‎ ‎21、求(x＋－1)5展开式中的常数项．‎ ‎22、已知Sn＝2n＋C2n－1＋C2n－2＋…＋C21＋1(n∈N*)，求证：当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C ‎2、D　[分三步进行：先从六个班中选2个班给第一名老师，有C种方法；再从剩余的四个班中选2个班给第二名老师，有C种方法；最后两个班给第3名老师，共C×C×C＝90(种)方法．]‎ ‎3、C　[用捆绑法：N＝A·A＝1 440(种)．]‎ ‎4、B　[方法一　(直接法)分为三类：一女二男，二女一男，三女．所以共有C·C＋C·C＋C＝110(种)组队方案．‎ 方法二　(间接法)无限制条件的方案数减去全是男生的方案数，所有共有C－C＝120－10＝110(种)组队方案．]‎ ‎5、D　[乘法满足交换律，因此是组合问题．‎ 把1,2,3，…，99,100分成2组：{3,6,9，…，99}，共计33个元素；{1,2,4,5，…，100}，共计67个元素，故积能被3整除的有C＋C·C＝2 739(组)．]‎ ‎6、D　[问题的正面有3种情况：‎ 有且仅有1人对号入座，有且仅有2人对号入座和全未对号入座，这3种情况都难以求解．‎ 从反面入手，只有2种情况：‎ 全对号入座(4人对号入座时必定全对号入座)，有且仅有3人对号入座．全对号入座时只有1种坐法；有3人对号入座时，分2步完成：从5人中选3人有C种选法，安排其余2人不对号入座，只有1种坐法．‎ 因此，反面情况共有1＋C·1＝11(种)不同坐法.5人无约束条件入座5个座位，‎ 有A＝120(种)不同坐法．‎ 所以满足要求的坐法种数为120－11＝109.]‎ ‎7、B ‎8、B　[由题意知，2n－1＝1 024＝210，‎ 所以n＝11.‎ 所以第六项的系数为C＝462.故选B.]‎ ‎9、C ‎10、B ‎11、C ‎12、C　[赋值法：令x＝1，得n＝7，‎ 由通项公式得Tk＋1＝C(3x)7－k·(－)k ‎＝(－1)k·37－k·C·x，‎ 令＝－3，得k＝6，‎ ‎∴的系数为(－1)6·37－6·C＝21.]‎ 二、填空题 ‎13、192‎ ‎14、36‎ 解析　15条直线中任选两条，有C＝105对直线；其中平行直线有C＋3＝6(对)；相交直线有6×C(同一顶点处)＋3(每个侧面的对角线)＝63(对)．所以异面直线共有105－6－63＝36(对)．‎ ‎15、84‎ 解析　Tk＋1＝C·x9－k·x－k＝C·x9－2k，‎ 令9－2k＝3，∴k＝3.‎ ‎∴x3的系数是C＝84.‎ ‎16、①④‎ 解析　展开式中T1 000＝C(－x)999＝－Cx999，所以①正确；展开式中各项系数和为0，而常数项为1，所以非常数项的系数和为－1，②错；展开式中系数最大的项是第1 001项，③错；将二项式展开，即可判断④对．‎ 三、解答题 ‎17、解　令x＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n，‎ 又展开式二项式系数和为C＋C＋…＋C＝2n，‎ 由题意知4n－2n＝992，即(2n)2－2n－992＝0，‎ ‎(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，n＝5.‎ 所以展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三项和第四项，‎ 它们是T3＝C()3·(3x2)2＝90x6.‎ T4＝C()2·(3x2)3＝270x，‎ 设展开式中第k＋1项的系数最大．‎ 又Tk＋1＝C()5－k(3x2)k＝C·3k·x，‎ 得 即 解得≤k≤，又∵k∈N，∴k＝4.‎ 所以展开式中第5项系数最大，‎ T5＝C·34·x＝405x.‎ ‎18、解　根据分类加法计数原理，上午从A城到B城，并在12∶00前到达，共有5＋2＝7(种)不同的走法．‎ 下午从B城去C城，共有3＋2＝5(种)不同的走法．‎ 根据分步乘法计数原理，上午从A城去B城，然后下午从B城去C城，共有7×5＝35(种)不同的走法．‎ ‎19、解　分三步：①确定末位数字，从1,3,5中任取一个有C种方法；②确定首位数字，从另外的4个非零数字中任取一个有C种方法；③将剩余的4个数字排中间有A种排法，故共有CCA＝288(个)六位奇数．‎ ‎20、解　(1)分三步完成：‎ 第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C种方法；‎ 第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C种方法；‎ 第三步：把剩下的书给丙有C种方法，‎ ‎∴共有不同的分法为C·C·C＝1 260(种)．‎ ‎(2)分两步完成：‎ 第一步：按4本、3本、2本分成三组有C·C·C种方法；‎ 第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种方法，‎ ‎∴共有C·C·C·A＝7 560(种)．‎ ‎21、解　(x＋－1)5＝[(x＋)－1]5，‎ 通项为Tk＋1＝C(x＋)5－k(－1)k(0≤k≤5)．‎ 当k＝5时，T6＝C(－1)5＝－1，‎ 当0≤k<5时，(x＋)5－k的通项为 Tr＋1＝C·x5－k－r·()r＝Cx5－k－2r(0≤r≤5－k)．‎ ‎∵0≤k<5，且k∈Z,5－k－2r＝0，‎ ‎∴k只能取1或3，相应r的值分别为2或1，‎ ‎∴常数项为CC(－1)＋CC(－1)3＋(－1)＝－51.‎ ‎22、证明　Sn＝(2＋1)n＝3n，‎ ‎∵n为偶数，设n＝2k(k∈N*)，‎ ‎∴Sn－4n－1＝9k－8k－1＝(8＋1)k－8k－1‎ ‎＝(C8k－2＋C8k－3＋…＋C)·82，(*)‎ 当k＝1时，9k－8k－1＝0，显然Sn－4n－1能被64整除；‎ 当k≥2时，(*)式能被64整除．‎ ‎∴n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除．‎