专题17+解析几何（一）-2019高考数学（文）二轮复习单元过关测试

专题17+解析几何（一）-2019高考数学（文）二轮复习单元过关测试

‎2019高考数学（文）二轮单元复习过关测试 单元测试17 解析几何（一）‎ ‎(120分钟　150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)‎ A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0‎ C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.‎ ‎2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A． B． C．∪ D．∪ ‎【答案】B ‎【解析】　∵直线的斜率k＝－，∴－1≤k＜0，则倾斜角的范围是.‎ ‎3．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴＝.‎ 又b2＝c2－a2，∴＝，‎ 即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.‎ ‎4．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)‎ A．－2 B．－4‎ C．－6 D．－8‎ ‎【答案】B ‎【解析】　由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，‎ 得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，‎ 所以圆心坐标为(－1,1)，半径r＝，‎ 圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为＝，‎ 所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4.‎ ‎5．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为(　　)‎ A． B．2‎ C．4 D．2 ‎【答案】B　‎ ‎6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】如图，设点P的坐标为(x0，y0)，‎ 由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，‎ 代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，所以|y0|＝2，‎ 所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.‎ ‎7．已知F为双曲线C：x2－my2＝‎3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)‎ A． B．3‎ C．m D．‎‎3m ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线方程知a2＝‎3m，b2＝3，‎ ‎∴c＝＝.‎ 不妨设点F为右焦点，则F(，0)．‎ 又双曲线的一条渐近线为x－y＝0，‎ ‎∴d＝＝.‎ ‎8．已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．＋＝1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D. ‎ ‎9．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．＋1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，∴N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.故选A．‎ ‎10．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△‎ OAB的面积为，则双曲线的离心率为(　　)‎ A．　　　　　　　　　　 B． C． D． ‎【答案】D ‎【解析】由题意可求得|AB|＝，所以S△OAB＝××c＝，整理得＝.因此e＝.‎ ‎11．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．6 D．8‎ ‎【答案】C ‎12．已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝x D．y2＝x ‎【答案】C ‎【解析】由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx(易知k＞0)，圆心C1(0,2)到直线AB的距离d＝＝＝，解得k＝2，由得或把代入抛物线方程，得2＝2p·，解得p＝，所以抛物线C2的方程为y2＝x.故选C．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．‎ ‎【答案】[－2,2]‎ ‎【解析】 b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，‎ 如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值，‎ ‎∴b的取值范围是[－2,2]．‎ ‎14．若圆(x－3)2＋y2＝1上只有一点到双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】　不妨取渐近线为bx＋ay＝0，‎ 由题意得圆心到渐近线bx＋a＝0的距离等于2，即＝2，所以＝.‎ 所以e2＝1＋＝，即e＝.‎ ‎15．若过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的切线，切点分别为A，B，则△APB的外接圆的方程为________．‎ ‎【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ ‎【解析】(x－2)2＋(y－1)2＝5　[圆x2＋y2＝4的圆心坐标为O(0,0)，由题意知△APB的外接圆是以OP为直径的圆，又线段OP的中点M(2,1)，|OP|＝2，因此所求外接圆方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ ‎16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为__________．‎ ‎【答案】x2－＝1‎ ‎【解析】x2－＝1由双曲线的渐近线y＝±x，即bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切，‎ ‎∴＝，则b2＝3a2. ①‎ 又双曲线的一个焦点为F(2,0)，‎ ‎∴a2＋b2＝4， ②‎ 联立①②，解得a2＝1，b2＝3.‎ 故所求双曲线的方程为x2－＝1.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(10分) 已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．‎ ‎(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；‎ ‎(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）k的值为1或.；‎ ‎ （2）k<－或k>1.‎ ‎【解析】　(1)∵点M，N到直线l的距离相等，‎ ‎∴l∥MN或l过MN的中点．‎ ‎∵M(0,2)，N(－2,0)，∴直线MN的斜率kMN＝1，‎ MN的中点坐标为C(－1,1). ‎ 又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过定点D(2,2)，‎ ‎∴当l∥MN时，k＝kMN＝1；‎ 当l过MN的中点时，k＝kCD＝.‎ 综上可知，k的值为1或. ‎ ‎(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，‎ ‎∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l的距离大于半径， ‎ ‎∴d＝>，解得k<－或k>1. ‎ ‎18．(12分) 已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比为的两段弧？‎ 若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）(－∞，－)∪(，＋∞).‎ ‎ （2）能。y＝±x.‎ ‎【解析】　(1)将y＝kx代入圆C的方程x2＋(y－4)2＝4.‎ 得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0. 2分 ‎∵直线l与圆C交于M，N两点，‎ ‎∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k2)>0，得k2>3，(*)‎ ‎∴k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞). 5分 ‎(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为的两段弧，‎ 则劣弧所对的圆心角∠MCN＝90°，‎ 由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0,4)，半径r＝2. 8分 在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝，‎ 故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离＝，‎ ‎∴1＋k2＝8，k＝±，经验证k＝±满足不等式 (*)， 10分 故l的方程为y＝±x.‎ 因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±x. 12分 ‎19．(12分) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．‎ ‎【答案】　（1）椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎（2）m＝± ‎【解析】(1)由题意，得解得 3分 ‎∴椭圆C的方程为＋＝1. 5分 ‎(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，‎ 由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，‎ Δ＝96－‎8m2‎>0，∴－20)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.‎ ‎(1)求E的离心率e；‎ ‎(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB． ‎ ‎【答案】（1）e＝＝ ‎ （2）见解析 ‎【解析】　(1)由题设条件知，点M的坐标为， 2分 又kOM＝，从而＝.‎ 进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝. 5分 ‎(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.‎ ‎ 8分 又＝(－a，b)，‎ 从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2). 10分 由(1)的计算结果可知a2＝5b2，‎ 所以·＝0，故MN⊥AB． 12分 ‎22．(12分) 如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.‎ ‎ (1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2. ‎ ‎【答案】（1）＋y2＝1‎ ‎ （2）见解析 ‎【解析】　(1)由题设知＝，b＝1，‎ 结合a2＝b2＋c2，解得a＝. 3分 所以椭圆的方程为＋y2＝1. 5分 ‎ ‎