2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合，则A∩B=（　　）‎ A．（0，2] B．[0，1] C．（0，1] D．[0，2]‎ ‎2．（5分）若直线与直线l2的斜率互为相反数，则l2的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎3．（5分）设m是一条直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，不能得到α⊥β的是（　　）‎ A．m⊂β，m⊥α B．m⊂α，m⊥β C．m⊥α，m⊥β D．m∥α，m⊥β ‎4．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=20，且a2，a3，a7成等比数列，则公差d=（　　）‎ A．0或3 B．3 C．0 D．2‎ ‎5．（5分）某高校调查了400名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则从这400名大学生中抽出1人，每周自习时间少于20小时的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）两圆x2+y2﹣2my+m2﹣1=0和x2+y2﹣4nx+4n2‎ ‎﹣9=0恰有一条公切线，若m∈R，n∈R，且mn≠0，则的最小值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）‎ A．36 B．48 C．288 D．576‎ ‎8．（5分）已知a=3，b=9，c=7，d=log43，则（　　）‎ A．a＜b＜c＜d B．d＜c＜a＜b C．d＜b＜c＜a D．b＜a＜c＜d ‎9．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底边长为2，AC1与底面ABCD成45°角，则三棱锥B﹣ACC1的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）将半径为4 的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）函数的部分图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．54 B．45 C．27 D．81‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）点M（0，0，a）到点A（1，0，2）到点B（2，﹣2，1）的距离相等，则a=　 　．‎ ‎14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是　 　．‎ ‎15．（5分）设向量，均为单位向量且夹角为120°，且（+2）•（λ﹣λ）=﹣3，则λ=　 　．‎ ‎16．（5分）过点A（a，0）作圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4的一条切线，切点为B，若a∈[﹣8，9]，则△ABC的面积S满足的概率为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知直线m：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣a+6=0，n：x﹣2y+3=0．若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．‎ ‎18．（12分）某公司2016年前三个月的利润（单位：百万元）如表：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 利润 ‎2‎ ‎3.9‎ ‎5.5‎ ‎（1）求利润y关于月份x的线性回归方程；‎ ‎（2）试用（1）中求得的回归方程预测4月和5月的利润；‎ ‎（3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万？‎ 相关公式：b=，=﹣．‎ ‎19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，又PD⊥平面ABCD，点E是棱AD的中点，F在棱PC上 ‎（1）证明：平面BEF⊥平面PAD ‎（2）试探究F在棱PC何处时使得PA∥平面BEF．‎ ‎20．（12分）设向量=（﹣sinx，cosx），=（sinx，﹣3cosx），=（，函数f（x）=（）•．‎ ‎（1）求f（x）在上的值域；‎ ‎（2）已知0＜φ＜π，ω＞0，k＞0，先将y=f（x）的图象向右平移φ个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后再把得到的图象向上平移k个单位长度，得到y=g（x）的图象，已知y=g（x）的部分图象如图所示，求的值．‎ ‎21．（12分）如图，A1ABB1为圆柱的轴截面，底面圆圆心为O，C，D是底面圆周上的两个点，△ACD为等边三角形，．‎ ‎（1）求三棱锥O﹣A1CD的体积；‎ ‎（2）求证：OB1⊥平面A1CD．‎ ‎22．（12分）已知圆与直线3x﹣4y+15=0相切．‎ ‎（1）若直线l2y=﹣2x+5与圆O交于M，N两点，求|MN|；‎ ‎（2）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1，k2=﹣3，试证明直线BC恒过一定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合，则A∩B=（　　）‎ A．（0，2] B．[0，1] C．（0，1] D．[0，2]‎ ‎【分析】运用一次不等式的解法，化简集合A，由对数的真数大于0，化简集合B，由交集的定义，即可得到所求集合．‎ ‎【解答】解：集合，‎ 可得A={x|﹣2≤2x≤2}={x|﹣1≤x≤1}，‎ B={x|2x﹣x2＞0}={x|0＜x＜2}，‎ 则A∩B={x|0＜x≤1}=（0，1]．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用定义法，同时考查对数的真数大于0，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若直线与直线l2的斜率互为相反数，则l2的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【分析】由已知求得直线l1 的斜率，进一步得到直线l2的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求得l2的倾斜角．‎ ‎【解答】解：直线的斜率为，‎ ‎∵直线与直线l2的斜率互为相反数，‎ ‎∴直线l2的斜率．‎ 设l2的倾斜角为α（0°≤α＜180°），‎ 则tan，得α=60°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设m是一条直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，不能得到α⊥β的是（　　）‎ A．m⊂β，m⊥α B．m⊂α，m⊥β C．m⊥α，m⊥β D．m∥α，m⊥β ‎【分析】根据线面平行的性质与面面垂直的判定定理判断．‎ ‎【解答】解：对于A，∵m⊥α，m⊂β，∴α⊥β；‎ 对于B，∵m⊂α，m⊥β，∴α⊥β；‎ 对于C，∵m⊥α，m⊥β，∴α∥β；‎ 对于D，∵m∥α，∴存在直线n⊂α，使得m∥n，‎ ‎∵m⊥β，∴n⊥β，又n⊂α，∴α⊥β．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了面面垂直的判定定理，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=20，且a2，a3，a7成等比数列，则公差d=（　　）‎ A．0或3 B．3 C．0 D．2‎ ‎【分析】根据题意，由等差数列的前n项和公式可得=5a3=20，解可得a3的值，又由a2，a3，a7成等比数列，则（a3）2=（a3﹣d）（a3+4d），解可得d的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，若S5=20，即=5a3=20，‎ 则a3=4，‎ 又由a2，a3，a7成等比数列，则（a3）2=（a3﹣d）（a3+4d），‎ 即16=（4﹣d）（4+4d），‎ 解可得d=3或0，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的等差数列的性质，关键是求出该等差数列的通项公式．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）某高校调查了400名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则从这400名大学生中抽出1人，每周自习时间少于20小时的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由频率分布直方图得每周自习时间少于20小时的频率为0.05．由此能出从这400名大学生中抽出1人，每周自习时间少于20小时的概率．‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图得：‎ 每周自习时间少于20小时的频率为：0.02×2.5=0.05．‎ ‎∴从这400名大学生中抽出1人，每周自习时间少于20小时的概率为：‎ p=0.05=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查频率及频率分布直方图，频率、概率等有关知识，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）两圆x2+y2﹣2my+m2﹣1=0和x2+y2﹣4nx+4n2﹣9=0恰有一条公切线，若m∈R，n∈R，且mn≠0，则的最小值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【分析】‎ 由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得m2+4n2=4，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为x2+（y﹣m）2=1，（x﹣2n）2+y2=9，‎ 圆心分别为（0，m），（2n，0），半径分别为1和3，‎ 故有 =2，∴m2+4n2=4，‎ 则=（m2+4n2）（）‎ ‎=（8++）≥×（8+2）=4，‎ 当且仅当=时，等号成立，‎ ‎∴的最小值为4．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到m2+4n2=4是解题的关键和难点．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）‎ A．36 B．48 C．288 D．576‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=5时，满足条件，退出循环，输出S的值为576．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=1，S=1‎ 不满足条件k≥5，S=1，k=2‎ 不满足条件k≥5，S=4，k=3‎ 不满足条件k≥5，S=36，k=4‎ 不满足条件k≥5，S=576，k=5‎ 满足条件k≥5，退出循环，输出S的值为576．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知a=3，b=9，c=7，d=log43，则（　　）‎ A．a＜b＜c＜d B．d＜c＜a＜b C．d＜b＜c＜a D．b＜a＜c＜d ‎【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．‎ ‎【解答】解：∵a=3＞b=9=3，‎ a==＞c=7=＞=3，‎ ‎0=log41＜d=log43＜log44=1，‎ ‎∴d＜b＜c＜a．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底边长为2，AC1与底面ABCD成45°角，则三棱锥B﹣ACC1的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】推导出AC=CC1=2，BC1=2，三棱锥B﹣ACC1的表面积S=，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵正四棱柱ACBD﹣A1C1B1D1的底面边长为2，AC1‎ 与底面ABCD所成的角为45°，‎ ‎∴AC=CC1===2，‎ BC1==，‎ ‎∴三棱锥B﹣ACC1的表面积：‎ S=‎ ‎=×2×2+++‎ ‎=6+2+2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）将半径为4 的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】求出半径为4 的半圆所围成的圆锥底面圆的半径r和圆锥内切球的半径x，‎ 再求内切球的表面积．‎ ‎【解答】解：半径为4 的半圆围成一个圆锥，如图所示；‎ 则该圆锥底面圆的半径r满足2πr=π•4，‎ 解得r=2；‎ 设圆锥内切球的半径为x，则=tan30°，‎ 解得x=rtan30°=2×=，‎ ‎∴内切球的表面积为 S=4π•=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥与其内切球的应用问题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）函数的部分图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置判断即可．‎ ‎【解答】解：函数是偶函数，排除A，D；‎ 当x=2时，y=3ln＜0．对应点在x轴下方，排除B，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是常用方法．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．54 B．45 C．27 D．81‎ ‎【分析】根据三视图可得该几何体是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，截取一个三棱锥B﹣A1B1C1，根据数据即可计算．‎ ‎【解答】解：根据三视图可得该几何体是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，截取一个三棱锥B﹣A1B1C1，‎ 则该几何体的体积为V==3×3×6﹣=45．‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了空间几何体的体积计算，由三视图还原几何体是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）点M（0，0，a）到点A（1，0，2）到点B（2，﹣2，1）的距离相等，则a=　﹣2　．‎ ‎【分析】利用空间两点间的距离公式列方程求出a的值．‎ ‎【解答】解：根据题意，|MA|=|MB|，‎ ‎∴=，‎ 化简得﹣2a=4，‎ 解得a=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了空间两点间的距离公式应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是　4　．‎ ‎【分析】作出满足不等式组的可行域，由z=2x﹣y可得y=2x﹣Z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图形可求z的最大值 ‎【解答】解：作出x，y满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：‎ 由于z=2x﹣y可得y=2x﹣z，则﹣z表示目标函数在y轴上的截距，截距越大，z越小 作直线L：y=2x，然后把直线l向平域平移，由题意可得，直线平移到A时，z最大 由可得A（2，0），此时z=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设向量，均为单位向量且夹角为120°，且（+2）•（λ﹣λ）=﹣3，则λ=　2　．‎ ‎【分析】根据平面向量的乘法运算展开解答即可．‎ ‎【解答】解：∵向量，均为单位向量且夹角为120°，‎ ‎∴||=||=1，‎ ‎•=||•||cos120°=1×1×（﹣）=﹣，‎ ‎∵（+2）•（λ﹣λ）=﹣3，‎ ‎∴λ﹣2λ+λ•=λ﹣2λ﹣λ=﹣3，‎ 解得λ=2，‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题是基础题，考查向量的数量积的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）过点A（a，0）作圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4的一条切线，切点为B，若a∈[﹣8，9]，则△ABC的面积S满足的概率为　　．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，结合图形求出△ABC的面积，利用S的取值范围求出a的范围，再计算所求的概率值．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ AB⊥BC，BC=2，‎ AB==，‎ ‎∴△ABC的面积为 S=AB×BC=××2=；‎ 又，‎ ‎∴≤≤，‎ 即，‎ 解得，‎ ‎∴﹣1≤a≤0或6≤a≤7；‎ ‎∴所求的概率为 P==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了几何概型的概率计算问题，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知直线m：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣a+6=0，n：x﹣2y+3=0．若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．‎ ‎【分析】设原点O到直线m的距离为d，可得，解得a，利用相互平行或垂直的直线斜率之间的关系即可判断出位置关系．‎ ‎【解答】解：设原点O到直线m的距离为d，‎ 则，解得：或，‎ 当时，直线m的方程为x﹣2y﹣5=0，此时m∥n；‎ 当时，直线m的方程为2x+y﹣5=0，此时m⊥n．‎ ‎【点评】本题考查了相互平行或垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某公司2016年前三个月的利润（单位：百万元）如表：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 利润 ‎2‎ ‎3.9‎ ‎5.5‎ ‎（1）求利润y关于月份x的线性回归方程；‎ ‎（2）试用（1）中求得的回归方程预测4月和5月的利润；‎ ‎（3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万？‎ 相关公式：b=，=﹣．‎ ‎【分析】（1）根据公式计算、，求出线性回归方程的系数即可写出方程；‎ ‎（2）根据回归方程计算x=4和5时，计算对应函数值即可；‎ ‎（3）由回归方程列方程求出对应x的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得，==2，==3.8，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故利润y关于月份x的线性回归方程是 ‎ ；‎ ‎（2）当x=4时，，‎ 故可预测4月的利润为730万；‎ 当x=5时，，‎ 故可预测5月的利润为905万；‎ ‎（3）由1.75x+0.3=10，‎ 解得x≈5.5，‎ 故公司2016年从6月份开始利润超过1000万．‎ ‎【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，又PD⊥平面ABCD，点E是棱AD的中点，F在棱PC上 ‎（1）证明：平面BEF⊥平面PAD ‎（2）试探究F在棱PC何处时使得PA∥平面BEF．‎ ‎【分析】（1）根据BE⊥AD，BE⊥PD可得BE⊥平面PAD，故而平面BEF⊥平面PAD；‎ ‎（2）连结AC交BE于M，连结FM，根据线面平行可得PA∥FM，于是=‎ ‎．‎ ‎【解答】（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∵E是AD的中点，∴BE⊥AD．‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥BE．‎ 又AD∩PD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，‎ ‎∴BE⊥平面PAD，‎ 又BE⊂平面BEF，‎ ‎∴平面BEF⊥平面PAD．‎ ‎（2）解：连结AC交BE于M，连结FM．‎ ‎∵PA∥平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF=FM，‎ ‎∴PA∥FM．‎ ‎∴，‎ 又△AME∽△CMB，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴F在棱PC靠近P的三等分点时，PA∥平面BEF．‎ ‎【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面平行的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）设向量=（﹣sinx，cosx），=（sinx，﹣3cosx），=（，函数f（x）=（）•．‎ ‎（1）求f（x）在上的值域；‎ ‎（2）已知0＜φ＜π，ω＞0，k＞0，先将y=f（x）的图象向右平移φ个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后再把得到的图象向上平移k个单位长度，得到y=g（x）的图象，已知y=g（x）的部分图象如图所示，求的值．‎ ‎【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简f（x）的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在上的值域．‎ ‎（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得的值．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=（）•= ‎ ‎===，‎ ‎∵，∴，∴，∴．‎ ‎（2）由题意可知，而由图可知2﹣2+k=3，即k=3．‎ 由可得ω=2，再将点代入，‎ 得，‎ 解得sin2ϕ=1，又0＜ϕ＜π，∴．‎ ‎∴，∴．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图，A1ABB1为圆柱的轴截面，底面圆圆心为O，C，D是底面圆周上的两个点，△ACD为等边三角形，．‎ ‎（1）求三棱锥O﹣A1CD的体积；‎ ‎（2）求证：OB1⊥平面A1CD．‎ ‎【分析】（1）连结BC，设CD中点为E，三棱锥O﹣A1CD的体积，由此能求出结果．‎ ‎（2）连接A1E交B2O于F．推导出OF⊥EF，OB1⊥A1E，由CD⊥平面ABB1A1，得CD⊥OB1，由此能证明OB1⊥平面A1CD．‎ ‎【解答】解：（1）连结BC，由△ACD为等边三角形，，‎ 可知在△ABC中，，‎ 设CD中点为E，，‎ 所以．‎ 所以三棱锥O﹣A1CD的体积：‎ ‎．‎ 证明：（2）连接A1E交B2O于F．因为，‎ 所以=，‎ ‎，‎ 因为△OEF∽△B1A1F，且，‎ 所以，‎ 所以，于是OF⊥EF，OB1⊥A1E，‎ 又知CD⊥平面ABB1A1，所以CD⊥OB1，又CD∩A1E=E，‎ 故OB1⊥平面A1CD．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知圆与直线3x﹣4y+15=0相切．‎ ‎（1）若直线l2y=﹣2x+5与圆O交于M，N两点，求|MN|；‎ ‎（2）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1，k2=﹣3，试证明直线BC恒过一定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【分析】（1）圆心O到直线3x﹣4y+15=0的距离d=3=r，从而圆O：x2+y2=9．求出圆心O到直线l：y=﹣2x+5的距离，由此能出弦长|MN|．‎ ‎（2）由题意A（﹣3，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB：y=k1（x+3），由，得，由此利用韦达定理、直线的斜率公式，结合已知条件能证明直线BC恒过一定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，圆心O到直线3x﹣4y+15=0的距离，‎ 所以圆O：x2+y2=9．‎ 又圆心O到直线l：y=﹣2x+5的距离，‎ 所以．‎ 证明：（2）由题意A（﹣3，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB：y=k1（x+3），‎ 由，得，‎ 所以，即，‎ 所以．‎ 由k1k2=﹣3得，将代替上面的k1，‎ 同理可得，‎ 所以，‎ 从而直线．‎ 即，‎ 化简得．‎ 所以直线BC恒过一定点，该定点为．‎ ‎【点评】本题考查弦长的求法，考查直线恒过定点的证明，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．‎ ‎　‎