2020高中数学 第三章二倍角的正弦、余弦、正切公式

2020高中数学 第三章二倍角的正弦、余弦、正切公式

‎3.1.3　‎二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标：1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ ‎2．余弦的二倍角公式的变形 ‎3．正弦的二倍角公式的变形 ‎(1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝.‎ ‎(2)1±sin 2α＝(sin_α±cos_α)2.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)‎ ‎(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　)‎ ‎(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．(　　)‎ ‎[解析]　(1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠±＋kπ(k∈Z)，故此说法错误．‎ ‎(2)√.当α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α.‎ ‎(3)×.当cos α＝时，cos 2α＝2cos α.‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×‎ ‎2．sin 15°cos 15°＝________.‎ 　[sin 15°cos 15°＝×2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.]‎ ‎3．－cos2＝________.‎ 8‎ ‎－　[－cos2＝－＝－－×＝－.]‎ ‎4．若tan θ＝2则tan 2θ＝________.‎ ‎－　[tan 2θ＝＝＝－.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 给角求值 ‎　(1)coscoscos的值为(　　)‎ A．　　 B．－ C． D．－ ‎(2)求下列各式的值：‎ ‎①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③；‎ ‎④－. ‎ ‎【导学号：84352329】‎ ‎(1)D　[(1)∵cos＝－cos，cos＝－cos，‎ ‎∴coscoscos＝coscoscos＝＝＝＝＝－.‎ ‎(2)①cos415°－sin415°＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.‎ ‎②1－2sin275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－.‎ ‎③＝2× ‎＝2×＝－2.‎ ‎④－＝ 8‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝4.]‎ ‎[规律方法]　对于给角求值问题，一般有两类：‎ (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.‎ (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．求下列各式的值 ‎(1)cos 72°cos 36°；‎ ‎(2)＋.‎ ‎[解]　(1)cos 36°cos 72°＝＝＝＝.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝ ‎＝＝＝4.‎ 给值求值、求角问题 ‎　(1)已知cos＝，≤α＜，求cos的值；‎ ‎(2)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α.‎ ‎[思路探究]　依据以下角的关系设计解题思路求解：‎ ‎(1)α＋与2α＋，α－与2α－具有2倍关系，用二倍角公式联系；‎ 8‎ ‎(2)2α＋与2α差，用诱导公式联系．‎ ‎[解]　(1)∵≤α＜，∴≤α＋＜.‎ ‎∵cos＞0，∴＜α＋＜，‎ ‎∴sin＝－＝－＝－，‎ ‎∴cos 2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，‎ sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝，‎ ‎∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝－.‎ ‎(2)∵sin 2α＝－cos＝－ ‎＝1－2cos2，‎ sin＝－sin ‎＝－cos ‎＝－cos，‎ ‎∴原式可化为1－2cos2 ‎＝－cos，‎ 解得cos＝1或cos＝－.‎ ‎∵α∈，‎ ‎∴α＋∈，‎ 故α＋＝0或α＋＝，‎ 即α＝－或α＝.‎ 母题探究：1.在例2(1)的条件下，求sin 4α的值．‎ 8‎ ‎[解]　由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2××＝－.‎ ‎2．将例2(1)的条件改为sin＝，0＜x＜，求的值．‎ ‎[解]　∵0＜x＜，∴－x∈.‎ 又sin＝，‎ ‎∴cos＝.‎ 又cos 2x＝sin ‎＝2sincos ‎＝2××＝，‎ cos ‎＝sin ‎＝sin＝，‎ ‎∴原式＝＝.‎ ‎[规律方法]　解决条件求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.‎ (2)当遇到f(π,4)±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.‎ cos 2x＝sin 类似的变换还有：‎ 8‎ 化简证明问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？‎ 提示：通常要切化弦后再进行变形．‎ ‎2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？‎ 提示：由复杂一侧向简单一侧推导．‎ ‎　(1)化简：＋＝________.‎ ‎(2)证明：＝－4. ‎ ‎ [思路探究]　(1)通分变形．‎ ‎(2)→→ ‎(1)－tan 2θ　[(1)原式＝＝＝－＝－tan 2θ.‎ ‎(2)左边＝ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝－4＝右边，所以原等式成立．]‎ ‎[规律方法]　证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.‎ (2)证明恒等式的一般步骤：‎ ‎①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；‎ ‎②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B；‎ ‎(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ.‎ 8‎ ‎[证明]　(1)左边＝－ ‎＝ ‎＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)‎ ‎＝cos 2Acos 2B＝右边，‎ ‎∴等式成立．‎ ‎(2)法一：左边＝cos2θ ‎＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．‎ 法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ ‎＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．下列各式中，值为的是(　　)‎ A．2sin 15°cos 15°　　　 B．cos215°－sin215°‎ C．2sin215° D．sin215°＋cos215°‎ B　[2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；cos215°－sin215°＝cos 30°＝；2sin215°＝1－cos 30°＝1－；sin215°＋cos215°＝1，故选B.]‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)‎ A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3‎ B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4‎ C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3‎ D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4‎ B　[易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.]‎ ‎3．若sin α＝3cos α，则＝________.‎ ‎6　[＝＝＝＝6.]‎ ‎4．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________.‎ 　[∵sin 2α＝－sin α，‎ 8‎ ‎∴2sin αcos α＝－sin α.‎ 由α∈知sin α≠0，‎ ‎∴cos α＝－，∴α＝，‎ ‎∴tan 2α＝tan＝tan＝.]‎ ‎5．已知＜α＜π，cos α＝－.‎ ‎(1)求tan α的值；‎ ‎(2)求sin 2α＋cos 2α的值．‎ ‎[解]　(1)因为cos α＝－，＜α＜π，‎ 所以sin α＝，‎ 所以tan α＝＝－.‎ ‎(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－，‎ cos 2α＝2cos2α－1＝，‎ 所以sin 2α＋cos 2α＝－＋＝－.‎ 8‎