2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练50　圆的方程

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练50　圆的方程

课时分层训练(五十)　圆的方程 ‎(对应学生用书第299页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)‎ A．(x－1)2＋y2＝1‎ B．(x－1)2＋(y－1)2＝1‎ C．x2＋(y－1)2＝1‎ D．(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ B　[由得 即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]‎ ‎2．方程y＝表示的曲线是(　　)‎ A．上半圆　　　　　 B．下半圆 C．圆 D．抛物线 A　[由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．]‎ ‎3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)‎ A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1‎ B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4‎ C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4‎ D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1‎ A　[设圆上任一点的坐标为(x0，y0)，‎ 则x＋y＝4，设点P与圆上任一点连线的中点的坐标为(x，y)，‎ 则⇒ 代入x＋y＝4，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.]‎ ‎4．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是(　　)‎ A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8‎ C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8‎ A　[直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)．根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，‎ 即r＝d＝＝，‎ 则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.故选A.]‎ ‎5．(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　) ‎ ‎【导学号：79140276】‎ A．6　　 B．4 C．3　　　　D．2‎ B　[如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]‎ 二、填空题 ‎6．(2018·郑州第二次质量预测)以点M(2,0)，N(0,4)为直径的圆的标准方程为________．‎ ‎(x－1)2＋(y－2)2＝5　[圆心是MN的中点，即点(1,2)，半径r＝MN＝，则以MN为直径的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.]‎ ‎7．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．‎ x＋y－1＝0　[圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，‎ 则kCM＝＝1.‎ ‎∵过点M的最短弦与CM垂直，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1×(x－1)，即x＋y－1＝0.]‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．‎ ‎(x－1)2＋y2＝2　[因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，所以半径最大时的半径r＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]‎ 三、解答题 ‎9．求适合下列条件的圆的方程．‎ ‎(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；‎ ‎(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2). ‎ ‎【导学号：79140277】‎ ‎[解]　(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有 解得a＝1，b＝－4，r＝2.‎ 所以圆的方程为(x－1) 2＋(y＋4)2＝8.‎ 法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．‎ 所以半径r＝＝2，‎ 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.‎ ‎(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，‎ 则 解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.‎ 所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.‎ ‎10．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A, B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标；‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．‎ ‎[解]　(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0)．‎ ‎(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，‎ ‎∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴1·＝0.‎ 又∵1＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，‎ ‎∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.‎ 易知直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为y＝mx，‎ 当直线l与圆C1相切时，d＝＝2，‎ 解得m＝±.‎ 把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝.‎ 当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．‎ 又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，∴＜x≤3.‎ ‎∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中＜x≤3，其轨迹为一段圆弧．‎ B组　能力提升 ‎11．(2017·佛山模拟)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)‎ A．6 B．25 ‎ C．26 D．36‎ D　[(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d＝＝5.‎ 则点P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.]‎ ‎12．(2017·广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．‎ x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0　[法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，‎ ‎∴设所求圆的圆心为(3a，a)，‎ 又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，‎ 又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，‎ ‎∴d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.‎ 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.‎ 法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，∴r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.①‎ 由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，②‎ 又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③‎ 联立①②③，解得或 故所求圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝9或(x－3)2＋(y－1)2＝9.‎ 法三：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为，半径r＝.‎ 在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.‎ 由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.①‎ 圆心到直线y＝x的距离为d＝，‎ 由已知得d2＋()2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②‎ 又圆心在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0.③‎ 联立①②③，解得或 故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.]‎ ‎13．在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.‎ ‎(1)求的坐标；‎ ‎(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程. ‎ ‎【导学号：79140278】‎ ‎[解]　(1)设＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，·＝0，‎ 得解得或 若＝(－6，－8)，则yB＝－11与yB＞0矛盾．‎ ‎∴舍去．‎ 即＝(6,8)．‎ ‎(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，‎ 即(x－3)2＋(y＋1)2＝()2，‎ 其圆心为C(3，－1)，半径r＝，‎ ‎∵＝＋＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，‎ ‎∴直线OB的方程为y＝x.‎ 设圆心C(3，－1)关于直线y＝x的对称点的坐标为(a，b)，‎ 则解得 ‎∴所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.‎