高中数学（人教A版）必修5能力强化提升及单元测试：2-1第2课时

高中数学（人教A版）必修5能力强化提升及单元测试：2-1第2课时

第2课时　数列的性质与递推公式 双基达标　(限时20分钟) ‎1．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是 (　　)．‎ A．R B．(0，＋∞)‎ C．(－∞，0) D．(－∞，0]‎ 解析　∵{an}是递减数列，‎ ‎∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.‎ 答案　C ‎2．一个数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项为 (　　)．‎ A．6 B．－3 C．－12 D．－6‎ 解析　由递推关系式可求得a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝a3－a2＝3－6＝－3，∴a5＝a4－a3＝－3－3＝－6.‎ 答案　D ‎3．已知{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}的通项公式是 (　　)．‎ A．an＝2n B．an＝ C．an＝ D．an＝ 解析　a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，观察得an＝.‎ 答案　C ‎4．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．‎ 解析　an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.‎ 答案　－9‎ ‎5．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.‎ 解析　∵∴ ‎∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.‎ 答案　2‎ ‎6．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求an.‎ 解　法一(累乘法)由(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0.‎ 得(an＋1＋an)(nan＋1－nan＋an＋1)＝0.‎ 由于an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0.‎ ‎∴＝.‎ ‎∴an＝a1···…· ‎＝1××××…×＝.‎ 法二　(换元法)由已知得(n＋1)an＋1－nan＝0，‎ 设bn＝nan，则bn＋1－bn＝0.∴{bn}是常数列．‎ ‎∴bn＝b1＝1×a1＝1，即nan＝1.‎ ‎∴an＝.‎ 综合提高　(限时25分钟) ‎7．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 (　　)．‎ A．an＋1＝an＋n，n∈N*‎ B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2‎ C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2‎ D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2‎ 解析　经验证B选项合适．‎ 答案　B ‎8．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 011的值为 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　计算得a2＝，a3＝，a4＝.故数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2 011＝670×3＋1，所以a2 011＝a1＝.‎ 答案　A ‎9．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实数λ 的最小值是________．‎ 解析　an≤an＋1⇔n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)⇔λ≥－(2n＋1)，n∈N＋⇔λ≥－3.‎ 答案　－3‎ ‎10．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第m项的和最大，则m的值是________．‎ 解析　令an＝－n2＋10n＋11≥0，则n≤11.‎ ‎∴a1>0，a2>0，…，a10>0，a11＝0，‎ ‎∴S10＝S11且为Sn的最大值．‎ 答案　10或11‎ ‎11．已知函数f(x)＝，构造数列an＝f(n)(n∈N*)，试判断{an}是递增数列还是递减数列．‎ 解　由已知得an＝＝－，‎ ‎∴an＋1－an＝－－ ‎＝<0，‎ ‎∴数列{an}是递减数列．‎ ‎12．(创新拓展)已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋.‎ ‎(1)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？‎ ‎(2)证明：an≥对一切正整数恒成立．‎ ‎(1)解　∵an＝＋＋＋…＋，‎ ‎∴an＋1＝＋＋＋…＋ ‎＝＋＋＋…＋＋＋，‎ ‎∴an＋1－an＝＋－＝－，‎ 又n∈N*，∴2n＋1<2n＋2，‎ ‎∴an＋1－an>0.‎ ‎∴数列{an}是递增数列．‎ ‎(2)证明　由(1)知数列{an}为递增数列．‎ 所以数列{an}的最小项为a1＝，∴an≥a1＝，‎ 即an≥对一切正整数恒成立．‎