数学卷·2018届湖南省湘潭市一中高二上学期第四次月考(2017-01)

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数学卷·2018届湖南省湘潭市一中高二上学期第四次月考(2017-01)

‎ 湘潭市第一中学2016-2017学年度第一学期高二数学第四次月考试题 ‎ ‎ 时量:120分钟 总分:150分 注意事项: ‎ ‎1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数满足条件:,则对应的点位于 ( )‎ A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎ 2. 执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为 ( ) ‎ A.105 B.16 C.15 D.1‎ ‎3.设R,则“”是“直线与 直线平行”的 ( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4.设变量满足约束条件,则的最大值是 ( )‎ ‎ A.7 B.8 C.9 D.10 ‎ ‎5.下列命题中正确的是 ( )‎ A.若,则 B.若为真命题,则也为真命题【来源:全,品…中&高*考+网】‎ C.“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件 D.命题“若,则”的否命题为真命题 ‎6、设是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且,则的面积为 ( )‎ ‎ A.4 B. C. D. 6 ‎ ‎7、甲、乙、丙等6人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有____种(用数字作答). ( ) ‎ A.720 B.480 C.144 D.360‎ ‎8、在上可导的函数的图象如图所示,则关于的不等式的解集为 (  )‎ A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) ‎ C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) ‎ ‎9、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 ( ) ‎ A.152 B.126 C.90 D.54‎ ‎10、已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、已知点是抛物线上的一个动点,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )‎ A. B.3 C. D.‎ ‎12 、已知函数,方程恰有三个不同的实数根,则实数的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共5个小题,每小题4分,共20分.‎ ‎13、计算的结果是_______.14、展开式中的系数为80,则实数a的值为________.15、过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线,分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点 (均在第一象限内),若,则双曲线的离心率为____________.‎ ‎16. 如下图(1)、(2)、(3)、(4)四个图案,每个图案都是由小正方形拼成,现按同样的规律 (小正方形的摆放规律相同)进行拼图,设第n个图形包含f(n)个小正方形.‎ ‎(1) = ; (2) = .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 设命题:“方程有实数根”;命题:“”,若为假,为假,求实数的取值范围.‎ ‎18.在平面四边形中,。‎ (1) 求的长;‎ (1) 若,求的面积。‎ ‎19.已知数列{},若,+1, 成等差数列,数列{+1}为公比为2的等比数列。‎ ‎(Ⅰ)求数列{}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)数列{}满足,其前n项和为,试求满足的最小正整数n.‎ ‎20.在四棱锥P﹣ABCD中,设底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥面ABCD.‎ ‎(1)求证:PC⊥BD;‎ ‎(2)过BD且与直线PC垂直的平面与PC交于点E,当三棱锥E﹣BCD的体积最大时,求二面角E﹣BD﹣C的大小.‎ ‎ ‎ ‎21.已知椭圆的左焦点为,离心率为,直线与椭圆相交于两点,当轴时,的周长最大值为8.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线过点,求当面积最大时直线的方程.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎ (1)若,求函数的极值;‎ ‎(2)若时,证明 ‎ (3)当时,不等式恒成立,试证明 ‎ 答案解析 【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎1.已知复数满足条件:,则对应的点位于 ( )‎ A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案:D 解析:,‎ 复数对应点坐标为位于第四象限 ‎2. 执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为 ( C ) ‎ A.105 B.16 C.15 D.1‎ ‎3.设R,则“”是“直线与直线平行”的 ( C )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4.设变量x,y满足约束条件,则的最大值是 ( c )‎ ‎ A.7 B.8 C.9 D.10 ‎ ‎5.下列命题中正确的是( D )‎ A.若,则 B.若为真命题,则也为真命题 C.“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件 ‎6、设F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且,则 的面积为 ( D )‎ ‎ A.4 B. C. D. 6 ‎ D.命题“若,则”的否命题为真命题 ‎7、甲、乙、丙等6人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有____种(用数字作答).( B )‎ A.720 B.480 C.144 D.360‎ 解析:先在6个位置找3个位置,有C种情况,甲、乙均在丙的同侧,有4种排法,而剩下三人有A种情况,故共有4CA=480种.‎ ‎8、在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为(  ).‎ ‎【来源:全,品…中&高*考+网】‎ A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)‎ C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)‎ ‎9、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 A.152 B.126 C.90 D.54‎ ‎【答案】B ‎【解析】分类讨论:若有2人从事司机工作,则方案有;若有1人从事司机工作,则方案有种,所以共有18+108=126种,故B正确 ‎10、已知方程–=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 ‎(A)(–1,3) (B)(–1,) (C)(0,3) (D)(0,)‎ ‎【答案】A ‎11、已知点是抛物线上的一个动点,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为(A)‎ A. B.3 C. D.‎ ‎12 、已知函数,方程恰有三个不同的实数根,则实数的取值范围是( D )‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析: 求导,令,‎ ‎∴在点处的切线方程为 方程有且只有一个实数根 ‎ 若 故当时,有一个实数根;时方程有两个不同实数根 ‎∴,选择D答案 ‎13、计算的结果是_______.‎ 答案:‎ ‎【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎14、展开式中的系数为80,则实数a的值为________.‎ 答案:2‎ 解析:展开式的通项公式为:,令,所以的系数为, .‎ ‎15、过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作与x轴垂直的直线,分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M、N(均在第一象限内),若=4‎ ‎,则双曲线的离心率为____________.‎ 答案: 解析:取双曲线-=1的一条渐近线其方程为,设,‎ ‎=4则①‎ 点在双曲线上,∴②‎ 由①②及得 ‎16. 如下图(1)、(2)、(3)、(4)四个图案,每个图案都是由小正方形拼成,现按同样的规律 (小正方形的摆放规律相同)进行拼图,设第n个图形包含f(n)个小正方形.‎ ‎(1)f(6)= ;‎ ‎(2) f(n)= .‎ 解:(1)f(6)=61.‎ ‎(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1,‎ f(3)-f(2)=8=4×2,‎ f(4)-f(3)=12=4×3,‎ f(5)-f(4)=16=4×4,‎ ‎…‎ 由上式规律,所以得出f(n+1)-f(n)=4n.‎ 因为f(n+1)-f(n)=4n,‎ 所以f(n+1)=f(n)+4n,‎ f(n)=f(n-1)+4(n-1)‎ ‎=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)‎ ‎=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)‎ ‎=…‎ ‎=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4‎ ‎=2n2-2n+1.‎ 三、解答题 ‎17.解:对于命题P:若方程有实根,则,【来源:全,品…中&高*考+网】‎ 解得或,即:或;……………………(2分)‎ 对于命题去q:若方程无实根,则,‎ 解得,即.………………………………………(4分)‎ 由于若为假,则,至少有一个为假;又为假,则真.所以为假,‎ 即假真,……………(7分)‎ 从而有解得.所以的范围是.…………(10分)‎ ‎18.解:(1)在中,由余弦定理可列得:‎ ‎,即:,………………3分 解得:.………………5分 (2) 由,易得:,………………6分 由,易得:,………………7分 故 ‎==,………………10分 故=.………………12分 ‎19.(1) (). (5分)‎ ‎20.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC,PA⊥平面ABCD,‎ 由此推出PA⊥BD,‎ 又AC∩PA=A,‎ ‎∴BD⊥平面PAC,而PC⊂平面PAC,所以推出PC⊥BD.‎ ‎(2)设PA=x,三棱锥E﹣BCD的底面积为定值,求得它的高,‎ 当,即时,h最大值为,三棱锥E﹣BCD的体积达到最大值为.‎ 以点A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,PA为z轴建立空间直角坐标系,则,令E(x,y,z),‎ ‎,,得,∴,‎ 设是平面EBD的一个法向量,,,‎ 则,得.‎ 又是平面BCD的一个法向量,‎ ‎∴,∴二面角E﹣BD﹣C为.‎ ‎21.(1)设椭圆的右焦点为,由椭圆的定义,‎ 得,……1分 而的周长为,……3分 当且仅当过点时,等号成立,‎ 所以,即,又离心率为,所以,……5分 所以椭圆的方程为.……6分 ‎(2)设直线的方程为,与椭圆方程联立得.‎ 设,则,……7分 且,,所以②‎ ‎……9分 令,则②式可化为.‎ 当且仅当,即时,等号成立. ……11分 所以直线的方程为或……12分.‎ ‎22.解:(1)由题意得,‎ ‎∵函数的定义域为,‎ ‎ 由,.∴函数有极小值。‎ ‎ ………………4分 ‎ ‎ (2)易知要证即证在上恒成立,令 ‎ ‎ ‎ ………………8分 ‎ ‎(3)∵,‎ ‎∴.‎ ‎ 当时,,∴.即时,恒成立.‎ 又由(2)知在上恒成立,‎ ‎∴在上恒成立.当时取等号,‎ ‎ ∴当时,,∴由上知.………………12分
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