数学（理）卷·2018届河北省石家庄市第一中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学（理）卷·2018届河北省石家庄市第一中学高二下学期期中考试（2017-04）

石家庄市第一中学 2016—2017 学年度第二学期期中考试高二年级数学理试题 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．已知函数 在区间[0，2π]的图像如图： 那么 A． B． C． D． 3．双曲线 的焦距为 A． B． C． D． 4．设等比数列 的公比 ，前 n 项和为 ，则 A. B. C. D. 5．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报 时，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为 A． B． 　C． D． 6．若 ，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A.54 B.60 C.66 D.72 8．已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 分别是边 的中点，连接 并延 长到点 ，使得 ，则 的值为 A． B． C． D． 9．阅读如下程序框图,如果输出 ,那么在空白矩形框中应填入的语句为 { }3A x x= < { }2log 1B x x= > A B = ∅ { }0 3x x< < { }1 3x x< < { }2 3x x< < ( )2siny xω ϕ= + ( )0ω > ω = 1 2 1 2 1 3 2 2 110 2 x y− = 3 2 4 2 3 3 4 3 { }na 2q = nS 4 2 S a = 2 4 15 2 17 2 1 6 1 3 1 2 1 4 bacba >∈ ,R、、 ba 11 < 22 ba > 11 22 + > + c b c a |||| cbca > ED, BCAB, DE F EFDE 2= AF BC   8 5− 8 1 4 1 8 11 5i = 5 4 2 3 正视图 侧视图 俯视图 A． B． C． D． 10．已知点 P（x，y）在不等式组 表示的平面区域上运动，则 z＝x－y 的取 值范围是 A．[－1，2] 　　 B．[－2，1]　 C．[－2，－1] D．[1，2] 11．已知函数 ,函数 ,则函数 的零 点的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 12．已知平面 平面 ， ，点 ， ，直线 ，直线 ， 直线 ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 A． B． C． D． 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、非选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．如果复数 是实数，则实数 . 14．在 的展开式中， 的系数为 . 15．在△OAB 中，O 为坐标原点， ，则△OAB 面积的最小 值为 . 16．平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线 交于点 O，A，B，若△OAB 的垂心为 的焦点，则 的离心率 为　　． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）数列 的前 项和记为 , ． 2*S i= 2* 1S i= − 2* 2S i= − 2* 4S i= +    ≥−+ ≤− ≤− 022 ,01 ,02 yx y x 2 1 | |, 1( ) ( 1) , 1 x xf x x x − ≤=  − > 4( ) (1 )5g x f x= − − ( ) ( )y f x g x= − α ⊥ β lα β = A α∈ A l∉ AB l∥ AC l⊥ m mα β∥ ， ∥ AB m∥ AC m⊥ AB β∥ AC β⊥ 2( )(1 )m i mi+ + m = 61 4x x  −   2x ]2,0(),1,(sin),cos,1( πθθθ ∈BA xOy 2 2 1 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2 2 : 2 ( 0)C x py p= > 2C 1C }{ na n nS 1 12, 2 ( *)n na a S n+= = + ∈N （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 项和 ． 18．（本小题满分 12 分） 某校随机调查了 110 名不同性别的学生每天在校的消费情况，规定： 元以下为正常 消费，大于或等于 元为非正常．统计后，得到如下的 列联表,已知在调查对象中随 机抽取 1 人为非正常的概率为 ． 正常 非正常 合计 男 30 女 10 合计 110 （Ⅰ）请完成上面的列联表； （Ⅱ）根据列联表的数据，能否有 99%的把握认为消费情况与性别有关系？ 附临界值表及参考公式： 0.010 0.001 6.635 10.828 ，其中 ． 19．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， , , 底面 . （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值． 20 ．（ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 的 圆 心 为 ， 的圆心为 ，一动圆与圆 内切，与圆 外切. （Ⅰ）求动圆圆心 的轨迹方程； （Ⅱ）过点 的直线 与曲线 交于 两点. 若 , 求直线 的方程. 21．（本小题满分 12 分）函数 , ． （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）当 有两个极值点 时，总有 （其中 为 的导函数），求实数 的值． }{ na { }nna n nT 50 50 2 2× 3 11 2 0( )P K k≥ 0.100 0.05 0.025 0k 2.706 3.841 5.024 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + P ABCD− ABCD 60DAB∠ = ° 2AB AD= PD ⊥ ABCD PA BD⊥ PD AD= A PB C− − 2 2 49:( 1) 4M x y+ + = M 2 2 1:( 1) 4N x y− + = N M N P (1,0) l P ,A B 2OA OB = −   l 2 1( ) ( ) xf x x a e −= − a∈R ( )f x ( )f x 1 2 1 2, ( )x x x x< 11 2 1 1( ) [ ( ) ( 1)]xx f x f x a eλ −′≤ − + ( )f x′ ( )f x λ 请考生在第 22、23 题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系错误！未找到引用源。中，曲线错误！未找到引用源。的参数方程为错 误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为参数），以原点为极点，以错误！未找到引 用源。轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线错误！未找到引用源。的极坐标方程为错误！ 未找到引用源。． （Ⅰ）求曲线错误！未找到引用源。的普通方程与曲线错误！未找到引用源。的直角坐 标方程； （Ⅱ）设点错误！未找到引用源。，曲线错误！未找到引用源。与曲线错误！未找到 引用源。交于错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的值． 23.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲． 已知函数 ． （Ⅰ）求 的解集； （Ⅱ）设函数 ，若 对任意的 都成立，求实数 的取 值范围． ( ) | 3| | 4 |f x x x= − + + ( ) 11f x ≥ ( ) ( 3)g x k x= − ( ) ( )f x g x> x∈R k 石家庄市第一中学 2016—2017 学年度第二学期期中考试高二年级数学理 一、选择题： DBDCACBBAACD 二、非选择题： 13． -1 ．14． .15． ．16．　 　． 三、解答题： 17 ． . （Ⅱ）解法一： 解法二：设数列 是等差数列，首项为 ，公差为 且满足 上面我们分析得到：此题是一道容易题，可是根据学生的得分情况来看却成为了一道难题， 问题到底出现在什么地方？ 我想：问题应该在于学生遇到的等式 是一个既含有 又含有 的等 15 16 1 4 1 1 1 1 1 11 1 1 1 2 2 2 2 2 2( 2) 2 4, 2, 1, 2, ( 2) ( 2) , 2. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S S S S S S S S S S n a S S n + + + + + + + − = + ⇒ − = + ⇒ = + ⇒ + = + ⇒ + = ∴ = =⇒ − =  − = − − − = > 解法一： 数列{ S +2} 是以2为首项以2为公比的等比数列, S +2=2 S =2 2 2 2 2n na = 1 2 1 2 1 1 2 2, 2 ,2, 2 4, 2 . n n n n n n n n n a S a aa S a a a a + + + + + = + = = + = ⇒ = ∴ = 解法二：由已知可知 两式相减得 由 数列{ } 是以2为首项，以2为公比的等比数列， ( )2 3 4 2 3 4 5 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2 4 2 2 , 1 2 1 2 2 2 3 2 4 2 2 ,(2) (1) (2), 1 2 2 2 2 2 2 2(1 2 ) 2 2 2 2,1 2 ( 1) 2 2. n n n n n n n n n n n n n T n T n T n n n T n + + + + + + = × + × + × + × + + = × + × + × + × + + − = × + + + + + − −= − = − + −− = − +          得- { }nx 1x 0d 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 [ ( 1) ] 2 ( ) 2 2 ( 1) 1,( 1) 0 ( 1) 21, n n n n n n n n n na x a x a x n d x nd n x n d n dd n d x x x n d nx + + += − = + − − + = ⇒ − − + = = −+ + + = ⇒ ⇒ = + − = − + =    即 2 3 4 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2 4 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 2 2. n n n n n n n n n n T n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a n n + + + + + + ∴ = × + × + × + × + + = − + − + − + + − = − = − − + = − −      1 2 ( *)n na S n+ = + ∈N nS na 式，从而不知道利用 与 的关系，实现转化，从而第一问就没能够正确进行解答. 18．（本小题满分 12 分） 【解析】：（I）； 正常 非正常 合计 男 30 20 50 女 50 10 60 合计 80 30 110 ………6 分 （Ⅱ）假设消费情况与性别无关，根据列联表中的数据，得到 因此按 的可靠性要求，能认为“消费情况与性别有关系”． …………12 分． 19．（本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ ）因为 , 由余弦定理得 从而 BD2+AD2= AB2，故 BD AD 又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD 所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD （Ⅱ）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 轴的正半轴 建立空间直角坐标系 D- ，则 , , , 。 设平面 PAB 的法向量为 n=（x,y,z），则 即 nS na 2110(10 30 50 20)k 7.487 6.63560 50 80 30 × − ×= ≈ ≥× × × %99 60 , 2DAB AB AD∠ = ° = 3BD AD= ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ x xyz ( )1,0,0A ( )0 3,0B ， ( )1, 3,0C − ( )0,0,1P ( 1, 3,0), (0, 3, 1), ( 1,0,0)AB PB BC= − = − = −   3 0 3 0 x y y z − + = − = 因此可取 n= 设平面 PBC 的法向量为 m，则 可取 m=（0，-1， ） 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 20．（本小题满分 12 分） 已知 的圆心为 ， 的圆心为 ，一动圆 与圆 内切，与圆 外切. （Ⅰ）求动圆圆心 的轨迹方程； （Ⅱ）过点 的直线 与曲线 交于 两点. 若 , 求直线 的方程. 试题分析:第（Ⅰ）问考查了圆与圆的位置关系,轨迹方程的求法： （Ⅰ）设 ,动圆 的半径为 ，则有 解题分析.当直线的斜率不存在时，易知 不合题意，舍去； （Ⅱ）设直线（Ⅰ）的方程为 ( 3,1, 3) 0 0 m PB m BC ⋅ = ⋅ =   3− 4 2 7cos , 72 7 m n −= = − 2 7 7 − 2 2 49:( 1) 4M x y+ + = M 2 2 1:( 1) 4N x y− + = N M N P (1,0) l P ,A B 2OA OB = −   l ( , )P x y P r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7( 1) 2 ( 1) ( 1) 4 1.1 4 3( 1) 2 x y r x yx y x y x y r  + + = − ⇒ + + + − + = ⇒ + =  − + = + F E P M O N H BE 本题得分率低的原因是：学生不能正确利用圆与圆的位置关系找到动圆圆心所应满足的条件； 动圆的圆心在动，圆的半径也在变化，这样学生就产生了畏难情绪从而缺乏了解答此题的信 心；即使有的学生能够解答第（Ⅰ）问，但第（Ⅱ）问运算量有比较大一些解题再次受挫， 使得成绩好的学生也不能够将此题完整的解答下去了. 21．（本小题满分 12 分） 函数 , ． （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）当 有两个极值点 时，总有 （其中 为 的导函数），求实数 的值． 解：（Ⅰ） ． ， 当 ，即 时， 恒成立，即函数 是 上的减 函数． 当 ， 即 时 ， 设 的 两 根 ， ．可得函数 是 、 上的减函数，是 上的增函 数． （Ⅱ）根据题意，方程 有两个不同的实根 ， ∴ ，即 ，且 ． 由 ，得 ，其中 ， 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 4 2 4 2 4 2 2 2 + =1, ( , ), ( , ), 4 3 (3 4 ) 8 4( 3) 0, ( 1) ( 1) ( ) 4( 3)( 1) 8 4 8 12 8 3 4 3 4 3 4 3 x y y kx k A x y B x y y kx k k x k x k OA OB x x y y x x k x x x x k x x k x x k k k k k k k k kkk k = − ⇒  = − + − + − = • = + = + − − + = + − + + − + − − − + +− + =+ + +   联立方程组 2 2 2 2 2 5 12 24 3 4 5 12 6 8 , 2. k k k k k k − −= = − ⇒+ + = + = ± 2 1( ) ( ) xf x x a e −= − a∈R ( )f x ( )f x 1 2 1 2, ( )x x x x< 11 2 1 1( ) [ ( ) ( 1)]xx f x f x a eλ −′≤ − + ( )f x′ ( )f x λ 2 1( ) ( )2 xx axf x e −+′ = − + 4 4a∆ = + 4 4 0a∆ = + ≤ 1a ≤ − 2 2 0x x a− + ≤+ ( )f x R 4 4 0a∆ = + > 1a > − 2 2 0x x a− + =+ 1 1 1x a= − + 2 1 1x a= + + ( )f x 1( , )x−∞ 2( , )x +∞ 1 2, )x x（ 2 2 0x x a− + + = 1 2 1 2( )x x x x<， 4 4 0a∆ = + > 1a > − 1 2 1 2 12 1x x x x x+ = < ∴ <， ， 11 2 1 1( ) [ ( ) ( 1)]xx f x f x a eλ −′≤ − + ( ) ( )1 11 12 2 1 1 1 12 2( ) x xx x a e x x e aλ− −− − ≤ − −   2 1 12 0x x a− + + = ∴ 上式化为 ，整理 ，其中 ，即 不等式 对任意的 恒成立． ①当 时，不等式 恒成立， ； ②当 时， 恒成立，即 ， 令函数 ，显然，函数 是 上的减函数， ∴ 当 时， ，即 ． ③当 时， 恒成立，即 ，由②可知，当 时， ，即 ． 综上所述， ． 请考生在第 22、23 题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系错误！未找到引用源。中，曲线错误！未找到引用源。的参数方程为错 误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为参数），以原点为极点，以错误！未找到引 用源。轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线错误！未找到引用源。的极坐标方程为错误！ 未找到引用源。． （Ⅰ）求曲线错误！未找到引用源。的普通方程与曲线错误！未找到引用源。的直角坐 标方程； （Ⅱ）设点错误！未找到引用源。，曲线错误！未找到引用源。与曲线错误！未找到 引用源。交于错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的值． 解：（Ⅰ）两式相加消去参数 可得曲线错误！未找到引用源。的普通方程， 由曲线错误！未找到引用源。的极坐标方程得 ，整 理可得曲线错误！未找到引用源。的直角坐标方程 ．错误！未找到引用源。 ( ) ( )1 11 12 2 1 1 1 1 1 12 2 2( )( ) 2x xx x e x x e x xλ− −− ≤ − + −   1 11 1 1 1( )[22 ( 1)] 0x xx x e eλ− −− − + ≤ 12 3x− > ( )1 11 1 1 2 1 0x xx e eλ− −−  + ≤ 1 1( )x ∈ −∞， 1 0x = ( )1 11 1 1 2 1 0x xx e eλ− −−  + ≤ λ ∈R 1 )1(0x ∈ ， ( )1 11 12 1 0x xe eλ− −− + ≤ 1 1 1 1 2 1 x x e e λ − −≥ + ( ) 1 1 1 2 221 1 x x x eg x e e − − −= = −+ + ( )g x R )1(0x∈ ， ( ) ( ) 20 1 eg x g e < = + 2 1 e e λ ≥ + 1 0( )x ∈ −∞， ( )1 11 12 1 0x xe eλ− −− + ≥ 1 1 1 1 2 1 x x e e λ − −≤ + )0(x∈ −∞， ( ) ( ) 20 1 eg x g e > = + 2 1 e e λ ≤ + 2 1 e e λ = + t 3 2y x= − + 2 2 4 1 3sin ρ θ= + 2 2 23 sin 4ρ ρ θ⇒ + = 14 2 2 =+ yx （Ⅱ）将 错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为参数），错误！ 未找到引用源。代人错误！未找到引用源。直角坐标方程得 ，利用韦达定理可得 ，所以 ． 23.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲． 已知函数 ． （Ⅰ）求 的解集； （Ⅱ）设函数 ，若 对任意的 都成立，求实数 的取 值范围． 解：（Ⅰ） ， ∴ ① 或 ② 或 ③ 解得不等式①： ；②：无解；③： ， 所 以 的 解 集 为 或 ． （5 分） （Ⅱ）作 的图 象， 而 图象为恒过定点 ， 的 一 条 直 线，如图：其中 ，∴ 由图可知，实数 的取值范围应该为 ． （10 分） 1 2 32 2 x t y t  = −  = + 04833213 2 =++ tt 1 2 48 13t t⋅ = MA MB = 48 13 ( ) | 3| | 4 |f x x x= − + + ( ) 11f x ≥ ( ) ( 3)g x k x= − ( ) ( )f x g x> x∈R k 2 1, 4, ( ) | 3| | 4 | 7, 4 3, 2 1, 3 x x f x x x x x x − − ≤ − = − + + = − < <  + ≥ 4, 3 4 11 x x x ≤ −  − − − ≥ 4 3, 3 4 11 x x x − < <  − + + ≥ 3, 3 4 11, x x x ≥  − + + ≥ 6x ≤ − 5x ≥ ( ) 11f x ≥ { | 6x x ≤ − 5}x ≥ 2 1, 4, ( ) 7, 4 3, 2 1, 3 x x f x x x x − − ≤ − = − < <  + ≥ ( ) ( 3)g x k x= − (3, 0)P 2,PBk = ( 4,7)A − 1PAk = − k 1 2k− < ≤