【推荐】专题56++几何概型-2019年高三数学（理）二轮必刷题

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专题56 几何概型 ‎1．有一个边长为2米的正方体房间，每个墙角都安装有一个可消灭周围1米范围内的蚊子的灭蚊器（自身体积可忽略），若一只蚊子随机出现在该房间的某处，则它被灭蚊器消灭的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎2．如图所示，正方形的四个顶点，，，，及抛物线和，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），‎ ‎∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4，‎ 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：‎ S＝2[1﹣]dx＝2（x3）2[（1）﹣0]＝2，‎ 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．‎ 故选：B．‎ ‎3．三国时期数学家刘徽，创立割圆术（即用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法），为圆周率的研究提供了科学的方法，他运用割圆术得出圆周率为3.1416.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎4．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，，在大正方形内取一点，则此点取自中间小正方形的概率为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 大正方形的面积为，则正方形的边长为,即 ‎,则直角三角形中较短的边为较长边为=4,则中间小正方形的边长为4‎ 故点取自中间小正方形的概率为.‎ 故选：A. ‎ ‎5．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为（为弦长，为半径长与圆心到弦的距离之差）.”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长，，质点随机投入此圆中，则质点落在该弓形内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎6．小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎7．如图，先画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形.在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎8．如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形EFMN，易知四边形EFMN为正方形 设圆O的半径为r，则正方形EFMN的边长也为r 所以正方形的EFMN的面积为r2‎ 阴影部分的面积为 ‎ 所以阴影部分占总面积的比值为 ‎ 即在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 所以选C. ‎ ‎9．若线段AB的长为3，在AB上任意取一点C，则以AC为直径的圆的面积不超过的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎10．如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为 ‎，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为.故选C.‎ 法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为，故选C.‎ ‎11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ 故答案为：．‎ ‎12．如图，在一个边长为的正方形中随机撒入粒豆子，恰有粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎13．小周公司的班车早上7点到达地，停留15分钟.小周在6:50至7:45之间到达地搭乘班车，且到达地的时刻是随机的，则他能赶上公司班车的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依题意，从6:50至7:45之间一共有分钟，其中点之前能赶上班车，故能赶上班车的时间有分钟，由几何概型的概率计算公式得，即他能赶上公司班车的概率为. ‎ ‎14．在可行域，内任取一点，则满足的概率是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎15．如图所示，正六边形ABCDEF中，线段AD与线段BE交于点G，圆O1，O2分别是△ABG与△DEG的内切圆，圆O3，O4分别是四边形BCDG与四边形AGEF的内切圆，则往六边形ABCDEF中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎16．某港口有一个泊位，现统计了某100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如下表：‎ ‎（1）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为小时，求的值；‎ ‎（2）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎17．已知函数f(x)=ax+b,x∈[-1,1],a,b∈R,且是常数.‎ ‎(1)若a是从-2,-1,0,1,2五个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求函数y=f(x)为奇函数的概率;‎ ‎(2)若a是从区间[-2,2]中任取的一个数,b是从区间[0,2]中任取的一个数,求函数y=f(x)有零点的概率.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎18．甲、乙两名同学决定在今年的寒假每天上午9：00—10：00在图书馆见面，一起做寒假作业，他们每次到图书馆的时间都是随机的。若甲先到图书馆而乙在10分钟后还没到，则甲离开图书馆；若乙先到图书馆而甲在15分钟后还没到，则乙离开图书馆。求他们两人在开始的第一天就可以见面的概率。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 以和分别表示甲和乙到达图书馆的时间，‎ 则两人见面的条件是：一是甲先到：，‎ 二是乙先到：，建立直角坐标系如图所示：‎ 则的所有可能结果是边长为60的正方形，，‎ 而可能见面的时间用图中的阴影部分表示，‎ ‎，‎ 于是他们见面的概率为：. ‎ ‎19．如图，中，，.‎ ‎（1）在边上任取一点，求满足的概率；‎ ‎（2）在的内部任作一条射线，与线段交于点，求满足的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎20．在区间上任取一个数记为a，在区间上任取一个数记为b．‎ 若a，，求直线的斜率为的概率；‎ 若a，，求直线的斜率为的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 在区间上任取一个数记为a，在区间上任取一个数记为b，‎