2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§9-5　抛物线（讲解部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§9-5　抛物线（讲解部分）

§9.5 抛物线 高考数学 考点一　抛物线的定义及标准方程 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( F ∉ l )的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线,定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. (2)定义的实质可归结为“一动三定一转化”:一个动点 P ,一个定点 F (抛物 线的焦点),一条定直线 l (抛物线的准线),一个定值1(抛物线的离心率),一个 转化(抛物线上的点与焦点的距离可转化成该点到准线的距离). 考点清单 (3)定义中定点与定直线的位置关系为:定点 F 不能在定直线 l 上.若定点 F 在 定直线 l 上,则动点的轨迹为过点 F 且垂直于 l 的一条直线,因此在用抛物线 定义解决动点轨迹问题前,应首先判断定点与定直线的位置关系. 2.抛物线的标准方程 在抛物线中,记焦点 F 到准线 l 的距离为 p ,以抛物线的焦点 F 到准线 l 的垂线 段的中点为坐标原点,以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系,可以得到抛物线 的四种不同形式的标准方程 y 2 = ± 2 px , x 2 = ± 2 py ,其中 p >0. 考点二　抛物线的几何性质 1.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2 =2 px ( p >0) y 2 =-2 px ( p >0) x 2 =2 py ( p >0) x 2 =-2 py ( p >0) 图形           对称轴 ①      x 轴     ②      y 轴     顶点 O (0,0) 焦点 F   F   F   F   准线 方程 x =-   ③      x =        y =-   ④      y =        范围 x ≥ 0, y ∈R x ≤ 0, y ∈R y ≥ 0, x ∈R y ≤ 0, x ∈R 离心率 e =1 2.抛物线的焦半径与焦点弦 抛物线上任意一点 P ( x 0 , y 0 )到焦点 F 的距离称为焦半径,过抛物线焦点的直 线与抛物线相交形成的线段称为抛物线的焦点弦. 设两交点分别为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则有以下结论: 标准 方程 y 2 =2 px ( p >0) y 2 =-2 px ( p >0) x 2 =2 py ( p >0) x 2 =-2 py ( p >0) 焦半 径长 ⑤        + x 0        - x 0 ⑥        + y 0        - y 0 焦点 弦长 p +( x 1 + x 2 ) ⑦      p -( x 1 + x 2 )     p +( y 1 + y 2 ) ⑧      p -( y 1 + y 2 )     考点三　直线与抛物线的位置关系 1.点 P ( x 0 , y 0 )与抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的位置关系 (1)点 P ( x 0 , y 0 )在抛物线内 ⇔   <2 px 0 ; (2)点 P ( x 0 , y 0 )在抛物线上 ⇔   =2 px 0 ; (3)点 P ( x 0 , y 0 )在抛物线外 ⇔   >2 px 0 . 2.直线与抛物线的位置关系 (1)设直线 l : y = kx + b ,抛物线 y 2 =2 px ( p >0),直线与抛物线交点的个数等价于方 程组   解的个数,也等价于方程 ky 2 -2 py +2 bp =0解的个数. a.当 k ≠ 0时,若 Δ >0,则直线和抛物线相交,有两个公共点;若 Δ =0,则直线和抛 物线相切,有一个公共点;若 Δ <0,则直线和抛物线相离,无公共点. b.当 k =0时,直线 y = b 与抛物线 y 2 =2 px ( p >0)相交,有一个公共点.特别地,当直 线 l 的斜率不存在时,设 l : x = m ,则当 m >0时, l 与抛物线相交,有两个公共点;当 m =0时, l 与抛物线相切,有一个公共点;当 m <0时, l 与抛物线相离,无公共点. (2)直线与抛物线相离(无交点)时,常求抛物线上的点到此直线的距离的最 小值.方法有两种,一是将距离 d 写成一个变量的函数,利用函数求之,二是利 用切线法求. (3)相切时,求切线斜率,一种方法是利用 Δ =0求,另一种方法是利用导数求. 3.焦点弦的性质 以抛物线 y 2 =2 px ( p >0)为例,设 AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦), F 是 抛物线的焦点, A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), A 、 B 在准线上的射影为 A 1 、 B 1 ,则有以下结 论: (1) x 1 x 2 =   , y 1 y 2 =- p 2 ; (2)若直线 AB 的倾斜角为 θ ,且 A 位于 x 轴上方, B 位于 x 轴下方,则| AF |=   ,| BF |=   ; (3)| AB |= x 1 + x 2 + p =   (其中 θ 为直线 AB 的倾斜角),抛物线的通径长为2 p ,通 径是最短的焦点弦; (4) S △ AOB =   (其中 θ 为直线 AB 的倾斜角); (5)   +   =   为定值; (6)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切; (7)以 AF (或 BF )为直径的圆与 y 轴相切; (8)以 A 1 B 1 为直径的圆与直线 AB 相切,切点为 F ,∠ A 1 FB 1 =90 ° ; (9) A , O , B 1 三点共线, B , O , A 1 三点也共线. 知识拓展 　1.如图所示, AB 是抛物线 x 2 =2 py ( p >0)的过焦点的一条弦(焦点 弦),分别过 A , B 作抛物线的切线,交于点 P ,连接 PF ,则有以下结论:   (1)点 P 的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 l : y =-   ; (2)两切线互相垂直,即 PA ⊥ PB ; (3) PF ⊥ AB ; (4)点 P 的坐标为   . 2.非焦点弦性质 (1)已知直线 l 与抛物线 y 2 =2 px ( p >0)交于 A 、 B 两点,若 OA ⊥ OB ,则直线 l 过定 点(2 p ,0),反之亦成立; (2)已知 M ( x 0 , y 0 )是抛物线 y 2 =2 px ( p >0)上任意一点,点 N ( a ,0)是抛物线的对称 轴上一点,则| MN | min =   3.弦中点 设 AB 为抛物线的一条弦, AB 中点为 M ( x 0 , y 0 ). (1)若抛物线为 y 2 =2 px ,则 k AB =   ; (2)若抛物线为 x 2 =2 py ,则 k AB =   .(其中 p ≠ 0, y 0 ≠ 0) 考法一 　与抛物线定义有关的问题 知能拓展 例1 　(1)(2019河南中原名校2月联考,6)已知 F 是抛物线 y 2 = x 的焦点, A , B 是 抛物线上的两点,且| AF |+| BF |=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为   (　　) A.   　    B.1　    C.   　    D.   (2)(2019湖南三湘名校联盟第二次联考,9)已知直线 l 1 : x =-1, l 2 : x - y +1=0, P 为抛 物线 y 2 =4 x 上任意一点,则点 P 到直线 l 1 与 l 2 的距离之和的最小值为   (　　) A.2　    B.   　    C.1　    D.   解题导引 　(1)画出图形.由 M 为 AB 中点,联想梯形中位线性质,向抛物线定 义靠拢,把所求转化为 A , B 到焦点距离问题,充分借助定义解题. (2)画出图形,作 PM ⊥ l 2 于点 M , PN ⊥ l 1 于点 N ,由 l 1 : x =-1是抛物线 y 2 =4 x 的准线 知| PN |=| PF |( F 为抛物线的焦点),把所求转化为求| PM |+| PF |的最小值,当 P , M , F 三点共线时,取到最小值,为 F 到直线 l 2 的距离. 解析 　(1)如图所示,设抛物线的准线为 l , AB 的中点为 M ,作 AA 1 ⊥ l 于点 A 1 , BB 1 ⊥ l 于点 B 1 , MM 1 ⊥ l 于点 M 1 ,由抛物线的方程知 p =   ,由抛物线定义知| AA 1 |+| BB 1 |=| AF |+| BF |=3,所以点 M 到 y 轴的距离为| MM 1 |-   =   (| AA 1 |+| BB 1 |)-   =   × 3-   =   ,故选C. (2)设抛物线的焦点为 F .如图所示,作 PM ⊥ l 2 于点 M , PN ⊥ l 1 于点 N ,由抛物线 y 2 =4 x 知其准线方程为 x =-1,由抛物线定义可知点 P 到直线 l 1 : x =-1的距离| PN | 等于点 P 到焦点 F 的距离| PF |,∴点 P 到直线 l 1 的距离与点 P 到直线 l 2 的距离之 和| PM |+| PN |=| PM |+| PF |,当 P , M , F 三点共线时,| PM |+| PF |取得最小值,为点 F (1,0)到直线 l 2 : x - y +1=0的距离,即 d =   =   .故选B. 答案　 (1)C　(2)B 方法总结 　抛物线中有关距离问题的求法 主要把握两个转化:一是把抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的 点到准线的距离;二是把抛物线上的点到抛物线的准线距离转化为抛物线 上的点到焦点的距离.在解题时要准确把握题设条件,进行有效转化,探求 最值问题. 考法二 　抛物线焦点弦问题的求解方法 例2 　(1)已知抛物线 y 2 =8 x 的焦点为 F ,直线 y = k ( x -2)与抛物线相交于 P , Q 两 点,则   +   =   (　　) A.   　    B.1　    C.2　    D.4 (2)过抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的焦点 F 作斜率大于0的直线 l 交抛物线于 A , B 两点 ( A 在 B 的上方),且 l 与准线交于点 C ,若   =4   ,则   =   (　　) A.   　    B.   　    C.3　    D.2 解题导引 　(1)题设中直线斜率未知,结合四个选项中的结果均与 k 无关,故 可考虑用特值法求解;若用一般方法,则先设出 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ),由抛物线的 定义知| FP |= x 1 +2,| FQ |= x 2 +2,观察所求式子   +   =   ,联立 直线与抛物线方程消去 y 后,再根据根与系数的关系,用整体代入的技巧求解. 解析　 (1)解法一:不妨设 k =1,则直线方程为 y = x -2, 联立   消去 y ,得 x 2 -12 x +4=0,设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), 则 x 1 + x 2 =12, x 1 x 2 =4, 由抛物线定义知| FP |= x 1 +2,| FQ |= x 2 +2, 所以   +   =   +   =   =   =   ,故选A. 解法二:由题意知 k ≠ 0. 由 y 2 =8 x 可得焦点 F 的坐标为(2,0), 因此直线 y = k ( x -2)过焦点. 设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), 则| FP |= x 1 +   = x 1 +2,| FQ |= x 2 +2. 联立   消去 y ,得 k 2 x 2 -(8+4 k 2 ) x +4 k 2 =0. 则 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =4. ∴   +   =   +   =   =   =   .故选A. (2)解法一:过 A , B 作准线的垂线,垂足分别为 M , N , 由抛物线的定义可知,| BN |=| BF |,| AM |=| AF |, ∵   =4   ,∴|   |=4|   |, 令|   |= a ( a >0),则|   |=4 a ,| BN |= a . ∵ BN ∥ AM ,∴   =   , 又| CA |=| CB |+| BF |+| AF |=4 a + a +| AM |, ∴   =   ,解得| AM |=   a ,因此   =   =   ,故选A. 解法二:设| AF |= a ( a >0),| BF |= b ( b >0), 过 A , B 作准线的垂线,垂足分别为 M , N , 则有| BF |=| BN |= b ,| AF |=| AM |= a , 因为   =4   ,所以| CB |=4| BF |,即| CB |=4| BN |. 又 BN ∥ AM ,所以△ CBN ∽△ CAM ,所以   =   , 所以| CA |=4| AM |,即有4 b + b + a =4 a ,变形可得   =   ,即   =   ,故选A. 答案　 (1)A　(2)A 方法总结 　1.求解与抛物线的焦点弦有关的问题时,应充分利用抛物线焦 点弦的性质. 2.熟练掌握与焦点弦有关的结论是快速解决与焦点弦有关的选择题与填 空题的关键,如例2(1).可利用焦点弦的性质   +   =   求解.