2017-2018学年广东省惠阳高级中学高二下学期期中考试 数学（文） Word版

2017-2018学年广东省惠阳高级中学高二下学期期中考试 数学（文） Word版

2017-2018 学年广东省惠阳高级中学高二下学期期中考试 数学 （文）（2018.5） 参考公式：圆锥的侧面积 ，圆柱的侧面积 , 为圆锥的母线 一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）． 1．已知集合 A={x|x＞0}，B={x|﹣1≤x≤2}，则 A∪B=（　　） A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|﹣1≤x≤2} 2.已知复数 (其中 是虚数单位)，则 ( ) A. B. C. D. 3.已知命题 ，则“ 为假命题”是“ 是真命题”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5.如右下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ ） A.20π B . 24π C. 28π D. 32π 6．某程序框图如下图所示，该程序运行输出的 值是( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 iiz 23 10 −+= i =z 32 22 23 33 qp, p¬ qp ∧ S rlπ= 2S rlπ= l 1.22a = 8.02=b 5 1log 5c = , ,a b c c b a< < c a b< < b a c< < b c a< < k 7．若 x，y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．9 8．在区间[-1,2]上随机取一个数 x，则 的概率为（ ） A． B． C． D． 9．已知 F 是双曲线 C： ﹣ =1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标 是（1，3），则△APF 的面积为（　　） A． B． C． D． 10. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（　　） A. B. C. D. 11．函数 的图象可能为 （ ） 12．已知函数 f（x）满足 f（1）=1，且 f（x）的导函数 f′（x）＜ ，则 f（x）＜ + 的 解集为（　　） A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|x＜﹣1} C．{x|x＜﹣1 或 x＞1} D．{x|x＞1} 　二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）． 13．若 ，则 _______ 14．已知 中， ，则角 等于_______ 15 已知平面向量 =（1，﹣2）， =（4，m），且 ⊥ ，则向量 5 ﹣3 = _______ 16．曲线 在 处的切线方程为_______ 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1x ≤ 1 3 1 2 1 4 2 3 2x 16π 20π 24π 32π ( ) ( )1 cos 0f x x x x xx π π = − − ≤ ≤ ≠   且 4sin ,tan 05 θ θ= − > tan( )π θ+ = ABC△ 3, 3, 6a b C π= = ∠ = A ( ) xf x e x= + 0x = 17．（ 12 分）已知等差数列 的公差不为 0，前 项和为 ， 且 （1）求 与 ； （2）设 ，求证： ． 18．（ 12 分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班 40 名 学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于 70，说 明孩子幸福感弱；幸福指数不低于 70，说明孩子幸福感强）． （1）根据茎叶图中的数据完成 2×2 列联表，并判断能否有 95%的把握认为孩子的幸福感强与 是否是留守儿童有关？ 幸福感强 幸福感弱 总计 留守儿童 非留守儿童 总计 （2）从 15 个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取 5 人，又在这 5 人中随机抽取 2 人进行家访，求这 2 个学生中恰有一人幸福感强的概率． 附：2×2 列联表随机变量 ．P（K2≥k）与 k 对应值表： P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 19.（12 分）如图，在三棱柱 中， 平面 ， 为正三角形， ， 为 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积． { }na n nS ( )∗∈ Nn 255 =S na nS 1 1 + = nn n SS b 1321 <+⋅⋅⋅+++ nbbbb 32 =a 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC ABC∆ 1 6AA AB= = D AC BD ⊥ 11AACC 1C BC D− 20．（ 12 分）在平面直角坐标系 中，过点 的直线与抛物线 相交于点 、 两点，设 ， . （1）求证： 为定值； （2）是否存在平行于 轴的定直线被以 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在， 求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由． 21．（ 12 分）已知函数 f（x）=lnx﹣ （a∈R，a≠0）． （1）当 a=﹣1 时，讨论 f（x）在定义域上的单调性； （2）若 f（x）在区间[1，e]上的最小值是 ，求实数 a 的值． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22.（本题满分 10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程] 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴非负半轴重合，直线 l 的参数方程 为： （t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为：ρ=4cosθ． （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）设直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点，求|PQ|的值． 　 （23）（本题满分 10 分）[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若存在 ，使得 和 互为相反数，求 的取值范围. xoy ( )2, 0C 2 4y x= A B ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2y y⋅ y AC ( ) ( )3 3 1 , 4 1 2f x x a x g x x x= − + + = − − + ( ) 6g x < 1 2,x x R∈ ( )1f x ( )2g x a 参考答案 一． 1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 6.A 7.D 8.D 9.D 10.C 11.D 12.D 二． 13． 14． 15． 16． 三．17、【解析】（1）设等差数列 的公差为 ， 则由 可得 ，得 ……①　　　　　　　　　　……2 分 ……②　 联立①②，解得 ……4 分 所以 ……6 分 （2）由（1）得 ……8 分 所以 ……10 分 又 ， ，即得证． ……12 分 　18．解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下： 幸福感强 幸福感弱 总计 留守儿童 6 9 15 非留守儿童 18 7 25 总计 24 16 40 …（2 分） ∴计算 ，…（4 分） ∴有 95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关．…（6 分） （Ⅰ）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子 2 人，记作：a1，a2； 幸福感弱的孩子 3 人，记作：b1，b2，b3．…（8 分） “抽取 2 人”包含的基本事件有 （a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1）， { }na d 5 25S = 3 5a = 1 2 5a d+ = 1 1, 2a d= = 2(1 2 1)1 2( 1) 2 1, 2n n n na n n S n + −= + − = − = = 1 11 )1( 1 +−=+= nnnnbn 1 2 3 nb b b b+ + + + ）（）（）（ 1 11 3 1 2 1 2 1 1 1 +−++−+−= nn 1 11 +−= n ∗∈ Nn ∴ 11 11 <+− n 4 3 6 π ( )7, 16− − 2 1 0x y− + = 1 3a d+ = （a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共 10 个； … （9 分） 事件 A：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有 （a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3）共 6 个； …（10 分） 故所求的概率为 ．…（12 分） 　19．解：（Ⅰ）证明：因为 底面 ，所以 ……………2 分 因为底面 正三角形， 是 的中点,所以 ……………4 分 因为 ，所以 平面 ………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 中， ， 所以 ………………………………9 分 所以 ………………………12 分 20、解：（Ⅰ）（解法 1）当直线 AB 垂直于 x 轴时， , 因此 (定值) ……………………2 分 当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB 的方程为 由 得 因此有 为定值 …………………… 4 分 （解法 2）设直线 AB 的方程为 由 得 因此有 为定值 ……………………（4 分） (2)设存在直线 ： 满足条件，则 AC 的中点 ， 22,22 21 −== yy 821 −=yy )2( −= xky    = −= xy xky 4 )2( 2 0842 =−− kyky 821 −=∴ yy 821 −=yy 2−= xmy    = −= xy xmy 4 2 2 0842 =−− myy 821 −=∴ yy 821 −=yy l ax = )2,2 2( 11 yxE + 2 1 2 1 )2( yxAC +−= 1AA ⊥ ABC 1AA BD⊥ ABC D AC BD AC⊥ AACAA =∩1 BD ⊥ 1 1ACC A ABC∆ BD AC⊥ sin 60 3 3BD BC= ° = 1 9 33 3 32 2BCDS∆ = × × = 1 1 1 9 3 6 9 33 2C BC D C C BDV V− −= = × × = 因此以 AC 为直径的圆的半径 E 点到直线 的距离 ……………………7 分 所以所截弦长为 ……………………10 分 当 即 时，弦长为定值 2，这时直线方程为 …………………… 12 分 21．解：（1）当 a=﹣1 时， ， ∴ ∵x＞0， ∴f（x）在区间（0，1）上递减，在区间（1，+∞）上递增．（6 分） （2）由已知 ，①当 a≥﹣1 时，而 x≥1， ∴x+a≥a+1≥0， ∴f（x）在[1，e]上递增，于是 ，有 不成立（8 分） ②当 a≤﹣e 时，而 x≤e， ∴x+a≤e+a≤0， ∴f（x）在[1，e]上递减， 于是 ，有 不成立．（10 分） ③当﹣e＜a＜﹣1 时，在区间[1，﹣a]上，a+1≤x+a≤0，则 f'（x）≤0， ∴f（x）递减， 在区间（﹣a，e]上，0＜x+a≤a+e，则 f'（x）＞0， ∴f（x）递增， ∴ ， ∴ （12 分） 综上所述得：实数 　22．解：（1）∵ρ=4cosθ．∴ρ2=4ρcosθ， 42 1)2(2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 +=+−== xyxACr ax = |2 2| 1 axd −+= 212 1 22 )2 2()4(4 122 axxdr −+−+=− 2 1 2 1 )22(4 axx −+−+= 2 1 48)1(4 aaxa −+−−= 01 =− a 1=a 1=x ∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴x2+y2=4x， 所以曲线 C 的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4， 由 （t 为参数）消去 t 得： ．所以直线 l 的普通方程为 ． （2）把 代入 x2+y2=4x 得：t2﹣3 t+5=0． 设其两根分别为 t1，t2，则 t1+t2=3 ，t1t2=5． 所以|PQ|=|t1﹣t2|= = ． 23.解：（1）由题意可得 ， 当 时， ，得 ，无解； 当 时， ，得 ，即 ； 当 时， ，得 ，综上， 的解集为 . （2）因为存在 ，使得 成立， 所以 ， 又 ， 由（1）可知 ，则 ， 所以 ，解得 .故 的取值范围为 ( ) 3 3, 2 15 1, 2 4 13 3, 4 x x g x x x x x   − + ≤ − = − − − < <   − ≥ 2x ≤ − 3 3 6x− + < 1x > − 12 4x− < < 5 1 6x− − < 7 5x > − 7 1 5 4x− < < 1 4x ≥ 3 3 6x − < 1 34 x≤ < ( ) 6g x < 7| 35x x − < <   1 2,x x R∈ ( ) ( )1 2f x g x= − ( ){ } ( ){ }| , | y g ,y y f x x R y x x R= ∈ = − ∈ ≠ ∅ ( ) ( ) ( )3 3 1 3 3 3 1 3 1f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = + ( ) 9 ,4g x  ∈ − +∞  ( ) 9, 4g x  − ∈ −∞   93 1 4a + ≤ 13 5 12 12a− ≤ ≤ a 答题卷（2018.5） 题号 一 选择题 二 填空题 三 解答题 总分 17 18 19 20 21 22 得分 一：选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 二：填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．_______________ 14. __________________ 15.__________________ 16.__________________ 三：解答题（共 70 分） 17.(本小题满分 12 分) 试室____________________原班级_____________________考号__________________________姓名____________________座位号__________________ 18. (本小题满分 12 分) 幸福感强 幸福感弱 总计 留守儿童 非留守儿童 总计 19. (本小题满分 12 分) 20. (本小题满分 12 分) 21. (本小题满分 12 分) 22. (本小题满分 10 分)