高考数学复习 17-18版 第9章 第47课 椭圆的方程及几何性质

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高考数学复习 17-18版 第9章 第47课 椭圆的方程及几何性质

第47课 椭圆的方程及几何性质 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 中心在坐标原点的椭圆的 标准方程与几何性质 ‎√‎ ‎1.椭圆的定义 ‎(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F‎1F2)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.‎ ‎(2)集合P={M|MF1+MF2=‎2a},F‎1F2=‎2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.‎ ‎①当2a>F1F2时,M点的轨迹为椭圆;‎ ‎②当2a=F1F2时,M点的轨迹为线段F1F2;‎ ‎③当2ab>0)‎ +=1(a>b>0)‎ 图形 性 质 范围 ‎-a≤x≤a ‎-b≤y≤b ‎-b≤x≤b ‎-a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0),‎ B1(0,-b),B2(0,b)‎ A1(0,-a),A2(0,a),‎ B1(-b,0),B2(b,0)‎ 离心率 e=,且e∈(0,1)‎ a,b,c 的关系 c2=a2-b2‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(  )‎ ‎(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF‎1F2的周长为‎2a+‎2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).(  )‎ ‎(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(  )‎ ‎(4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√‎ ‎2.(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是________.‎ +=1 [椭圆的焦点在x轴上,c=1.‎ 又离心率为=,故a=2,b2=a2-c2=4-1=3,‎ 故椭圆的方程为+=1.]‎ ‎3.(2015·广东高考改编)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=________.‎ ‎3 [由左焦点为F1(-4,0)知c=4.又a=5,∴25-m2=16,解得m=3或-3.又m>0,故m=3.]‎ ‎4.(2016·全国卷Ⅰ改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为________.‎  [如图,OB为椭圆中心到l的距离,则OA·OF=AF·OB,即bc=a·,所以e ‎==.]‎ ‎5.椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B,当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是__________.‎ ‎3 [直线x=m过右焦点(1,0)时,△FAB的周长最大,由椭圆定义知,其周长为‎4a=8,即a=2,‎ 此时,AB=2×==3,‎ ‎∴S△FAB=×2×3=3.]‎ 椭圆的定义及应用 ‎ (1)如图471所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,‎ M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是________.‎ ‎(2)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥.‎ 若△PF1F2的面积为9,则b=__________.‎ 图471‎ ‎(1)椭圆 (2)3 [(1)由条件知PM=PF.‎ ‎∴PO+PF=PO+PM=OM=R>OF.‎ ‎∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.‎ ‎(2)由定义,PF1+PF2=‎2a,且⊥,‎ ‎∴PF+PF=F1F=4c2,‎ ‎∴(PF1+PF2)2-2PF1·PF2=4c2,‎ ‎∴2PF1·PF2=4a2-4c2=4b2,∴PF1·PF2=2b2.‎ ‎∴S△PF1F2=PF1·PF2=×2b2=9,因此b=3.]‎ ‎[规律方法] (1)利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数‎2a>F‎1F2这一条件.‎ ‎(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时,常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义,但一定要注意PF1+PF2与PF1·PF2的整体代换.‎ ‎[变式训练1] 与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________. 【导学号:62172260】‎ +=1 [设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有PC1=r+1,PC2=9-r.‎ 所以PC1+PC2=10>C1C2,‎ 即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,得点P的轨迹方程为+=1.]‎ 求椭圆的标准方程 ‎ (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),则椭圆的方程为____________.‎ ‎(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则椭圆的方程为________.‎ ‎(1)+y2=1或+=1 (2)+=1 [(1)若焦点在x轴上,设方程为+=1(a>b>0),∵椭圆过P(3,0),‎ ‎∴+=1,即a=3,‎ 又2a=3×2b,‎ ‎∴b=1,方程为+y2=1.‎ 若焦点在y轴上,‎ 设方程为+=1(a>b>0).‎ ‎∵椭圆过点P(3,0).∴+=1,即b=3.‎ 又2a=3×2b,∴a=9.‎ ‎∴方程为+=1.‎ ‎∴所求椭圆的方程为+y2=1或+=1.‎ ‎(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).‎ ‎∵椭圆经过点P1,P2,‎ ‎∴点P1,P2的坐标适合椭圆方程.‎ 则 ‎①②两式联立,解得 ‎∴所求椭圆方程为+=1.]‎ ‎[规律方法] 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定位,再定量,即首先确定焦点所在的位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组,若焦点位置不确定,可把椭圆方程设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)的形式.‎ ‎[变式训练2] (1)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆标准方程为________.‎ ‎(2)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 ________.‎ 图472‎ ‎(2)椭圆+=1上有两个动点P,Q,E(3,0),EP⊥EQ,则·的最小值为________. 【导学号:62172261】‎ ‎(1) (2)6 [(1)将y=代入椭圆的标准方程,得+=1,‎ 所以x=±a,故B,C.‎ 又因为F(c,0),所以=,=.‎ 因为∠BFC=90°,所以·=0,‎ 所以+2=0,即c2-a2+b2=0,将b2=a2-c2代入并化简,得a2=c2,所以e2==,所以e=(负值舍去).‎ ‎(2)设P点坐标为(m,n),则+=1,所以PE===,因为-6≤m≤6,所以PE的最小值为,‎ 所以·=·(-)=-·=,所以·的最小值为6.]‎ ‎[规律方法] 1.求椭圆离心率的方法 ‎(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.‎ ‎(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.‎ ‎2.利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.‎ ‎[变式训练3] (1)已知直线x=t与椭圆+=1交于P,Q两点.若点F为该椭圆的左焦点,则使·取得最小值时,t的值为________.‎ ‎(2)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点,若AF+BF=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是________.‎ ‎(1)- (2) [易知椭圆的左焦点F(-4,0).根据对称性可设P(t,y0),Q(‎ t,-y0),则=(t+4,y0),=(t+4,-y0),所以·=(t+4,y0)·(t+4,-y0)=(t+4)2-y.‎ 又因为y=9=9-t2,所以·=(t+4)2-y=t2+8t+16-9+t2=t2+8t+7,所以当t=-时,·取得最小值.‎ ‎(2)左焦点F0,连结F‎0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.‎ ‎∵AF+BF=4,∴AF+AF0=4,∴a=2.‎ 设M(0,b),则≥,∴1≤b<2.‎ 离心率e====∈.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解、掌握定义是关键,应注意定义中的常数大于F‎1F2,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.‎ ‎2.求椭圆方程的方法,除了直接根据定义外,常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,设方程为+=1(m>0,n>0,且m≠n)可以避免讨论和烦琐的计算,也可以设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B),这种形式在解题中更简便.‎ ‎3.讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点,常用方法:‎ ‎(1)求得a,c的值,直接代入公式e=求得;‎ ‎(2)列出关于a,b,c的齐次方程(或不等式),然后根据b2=a2-c2,消去b,转化成关于e的方程(或不等式)求解.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x2与y2的分母大小.‎ ‎2.注意椭圆的范围,在设椭圆+=1(a>b>0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中用到,也是容易被忽视而导致求最值错误的原因.‎ ‎3.椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a+c,最小距离为a-c.‎ 课时分层训练(四十七)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、填空题 ‎1.(2017·徐州模拟)若方程+=1表示一个椭圆,则实数m的取值范围为______________.‎ ‎(2,4)∪(4,6) [由题意可知解得2b>0),由e=,即=,得a=‎2c,则b2=a2-c2=‎3c2.‎ 所以椭圆方程可化为+=1.‎ 将A(2,3)代入上式,得+=1,解得c2=4,所以椭圆的标准方程为+=1.]‎ ‎3.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是________. ‎ ‎【导学号:62172262】‎ ‎4 [由椭圆的方程得a=.设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得BA+BF=CA+CF=‎2a,所以△ABC的周长为BA+BC+CA=BA+BF+CF+CA ‎=(BA+BF)+(CF+CA)=‎2a+‎2a=‎4a=4.]‎ ‎4.(2017·泰州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连结AF,BF.若AB=10,BF=8,cos∠ABF=,则C的离心率为________.‎  [如图,设AF=x,则cos∠ABF==.‎ 解得x=6,∴∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知AF1=8,∠FAF1=∠FAB+∠FBA=90°,△FAF1是直角三角形,∴F1F=10,故2a=8+6=14,2c=10,∴=.]‎ ‎5.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是________.‎ 椭圆 [点P在线段AN的垂直平分线上,‎ 故PA=PN,又AM是圆的半径,‎ 所以PM+PN=PM+PA=AM=6>MN,‎ 由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.]‎ ‎6.椭圆+=1的左焦点为F1,点P在椭圆上,若线段PF1的中点M在y轴上,则PF1=________.‎  [因线段PF1的中点M在y轴上,故可知P,即P,所以PF1=10-=.]‎ ‎7.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为________. 【导学号:62172263】‎ ‎(-5,0) [因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,‎ 所以圆心坐标为(3,0),所以c=3.又b=4,‎ 所以a==5.因为椭圆的焦点在x 轴上,所以椭圆的左顶点为(-5,0).]‎ ‎8.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C:+=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为________.‎ ‎2 [圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,‎ 则由题意得m2+3=4,即m2=1(m<0),所以m=-1,则圆心M的坐标为(1,0).由题意知直线l的方程为x=-c,又因为直线l与圆M相切,所以c=1,所以a2-3=1,所以a=2.]‎ ‎9.若m≠0,则椭圆+=1的离心率的取值范围是________.‎  [因为椭圆方程中m>0,m2+1≥‎2m>m(m>0),所以a2=m2+1,b2=m,c2=a2-b2=m2-m+1,‎ e2===1-=1-≥1-=,所以≤e<1.]‎ ‎10.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,若P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为________.‎ ‎6 [由题意知,O(0,0),F(-1,0),设P(x,y),则=(x,y),=(x+1,y),∴·=x(x+1)+y2=x2+y2+x.又∵+=1,∴y2=3-x2,‎ ‎∴·=x2+x+3=(x+2)2+2.‎ ‎∵-2≤x≤2,∴当x=2时,·有最大值6.]‎ 二、解答题 ‎11.(2017·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C过点(0,2),其焦点为F1(-,0),F2(,0).‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)已知点P在椭圆C上,且PF1=4,求△PF‎1F2的面积. 【导学号:62172264】‎ ‎[解] (1)由题意可知,c=,b=2,所以a2=b2+c2=9,‎ 所以椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)法一:由(1)可知,F‎1F2=2,PF1+PF2=6,‎ 又PF1=4,所以PF2=2,‎ 所以PF+PF=F1F,所以PF1⊥PF2,‎ 所以△PF1F2的面积为×PF1·PF2=4.‎ 法二:由(1)可知e=,设P(x0,y0),‎ 因为PF1=4,所以3+x0=4,解得x0=,‎ 代入方程得+=1,解得|y0|=,‎ 所以△PF1F2的面积为×2×=4.‎ ‎12.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴与短轴长的比是2∶.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当PM最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] (1)由题意知解得 所以椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)设P(x0,y0),且+=1,所以PM2=(x0-m)2+y ‎=x-2mx0+m2+12=x-2mx0+m2+12‎ ‎=(x0-4m)2-3m2+12(-4≤x0≤4).‎ 所以PM2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为x0=4m.‎ 由题意知,当x0=4时,PM2最小,所以4m≥4,所以m≥1.‎ 又点M(m,0)在椭圆长轴上,所以1≤m≤4.‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.已知椭圆+=1(a>b>0)与-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是‎2m2‎与c2的等差中项,则椭圆的离心率为________.‎  [因为椭圆+=1(a>b>0)与-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2,因为c是a,m的等比中项,n2是‎2m2‎与c2的等差中项,所以c2=am,2n2=‎2m2‎+c2,‎ 所以m2=,n2=+,所以+=c2,化为=,所以e==.]‎ ‎2.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则PM+PF1的最大值为________.‎ ‎15 [PF1+PF2=10,PF1=10-PF2,PM+PF1=10+PM-PF2,易知M点在椭圆外,连结MF2并延长交椭圆于P点(图略),此时PM-PF2取最大值MF2,故PM+PF1的最大值为10+MF2=10+=15.]‎ ‎3.已知点M(,)在椭圆C:+=1(a>b>0)上,且椭圆的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△PAB的面积.‎ ‎[解] (1)由已知得 解得 故椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为D(x0,y0).‎ 由消去y,整理得4x2+6mx+3m2-12=0,‎ 则x0==-m,y0=x0+m=m,‎ 即D.‎ 因为AB是等腰三角形PAB的底边,‎ 所以PD⊥AB,即PD的斜率k==-1,解得m=2.‎ 此时x1+x2=-3,x1x2=0,‎ 则|AB|=|x1-x2|=·=3.‎ 又点P到直线l:x-y+2=0的距离为d=,‎ 所以△PAB的面积为S=|AB|·d=.‎ ‎4.(2017·苏州模拟)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C1上任一点,MN是圆C2:x2+(y-3)2=1的一条直径,在y轴上截距为3-的直线l与AF平行且与圆C2相切.‎ ‎(1)求椭圆C1的离心率;‎ ‎(2)若椭圆C1的短轴长为8,求·的最大值.‎ ‎[解] (1)由题意,得F(c,0),A(0,b),kAF=-,‎ ‎∵在y轴上截距为3-的直线l与AF平行,‎ ‎∴直线l:y=-x+3-,即bx+cy+(-3)c=0.‎ ‎∵直线l与圆C2相切,∴=1,=1,e=,‎ ‎(2)∵椭圆C1的短轴长为8,‎ ‎∴2b=8,b=4.‎ ‎∵a2=b2+c2,=1,∴a=c,2c2=b2+c2,‎ ‎∴c=b=4,a=4,∴椭圆方程是+=1,设P(x,y),‎ ‎∴·=(2+)·(+)‎ ‎=()2+·(+)+· ‎=()2+·=x2+(y-3)2-1=32+(y-3)2-1=-y2-6y+40=-(y+3)2+49,又y∈[-4,4],∴·的最大值是49.‎
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