高考数学专题复习：定积分的概念

高考数学专题复习：定积分的概念

‎1.5.3定积分的概念 一、选择题 ‎1、设a＝ʃxdx，b＝ʃx2dx，c＝ʃx3dx，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．c>a>b B．a>b>c C．a＝b>c D．a>c>b ‎2、liln 可化为(　　)‎ A．ʃln2xdx B．2ʃln xdx C．2ʃln(1＋x)dx D．ʃln2(1＋x)dx ‎3、定积分ʃx3dx的值为(　　)‎ A. B. C. D．0‎ ‎4、设f(x)＝，则ʃf(x)dx可化为(　　)‎ A．ʃx2dx B．ʃ2xdx C．ʃx2dx＋ʃ2xdx D．ʃ2xdx＋ʃx2dx ‎5、定积分ʃf(x)dx的大小(　　)‎ A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关 B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关 C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关 D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关 ‎6、若函数f(x)的图象在[a，b]上是一条连续曲线，用n－1个等分点xi(i＝1,2，…，n－1)把[a，b]分成n个小区间，记x0＝a，xn＝b，每个小区间长度为Δx，任取ξi∈[xi－1，xi]，则ʃf(x)dx等于当n→＋∞时(　　)‎ A.(xi)所趋近的某个值 B.(ξi)(b－a)所趋近的某个值 C.(ξi)Δx所趋近的某个值 D.(xi)所趋近的某个值 ‎7、定积分ʃxdx的值是(　　)‎ A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D．0‎ 二、填空题 ‎8、ʃdx＝____________.‎ 三、解答题 ‎9、如图，阴影部分的面积分别以A1，A2，A3表示，则定积分ʃf(x)dx＝________.‎ ‎10、设变速直线运动物体的速度为v(t)，则在t1到t2这一时间段内，该物体经过的位移s＝________.‎ 三、解答题 ‎11、利用定积分的几何意义，‎ 求ʃf(x)dx＋sin x·cos xdx，其中f(x)＝.‎ ‎12、弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功．‎ ‎13、利用定积分的几何意义求下列定积分．‎ ‎(1)ʃdx；(2)ʃcos xdx.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B ‎2、B　[liln ‎＝li n2‎ ‎＝li ln＝2ʃln xdx.]‎ ‎3、D　[画草图，f(x)＝x3的图象关于原点对称，在区间[－1,1]上，x轴上方f(x)所围面积 与x轴下方f(x)所围面积相等，故由几何意义知ʃx3dx＝0.]‎ ‎4、D　[ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx ‎＝ʃ2xdx＋ʃx2dx.故选D.]‎ ‎5、A ‎6、C　[f(ξi)Δx为第i个小曲边梯形的面积，和式f(ξ1)Δx＋f(ξ2)Δx＋…＋f(ξn)Δx表示x＝a，‎ x＝b，y＝0及函数f(x)的图象所围成图形的面积的近似值，当分割无限变细，即n趋向于＋∞时，(ξi)Δx所趋近的值就是曲边梯形的面积，即ʃf(x)dx，故选C.]‎ ‎7、B　[即计算由直线y＝x，x＝1及x轴所围成的三角形的面积．]‎ 二、填空题 ‎8、 ＋ 解析　由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．‎ ʃdx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和 S弓形＝××22－×2×2sin＝－，‎ S矩形＝|AB|·|BC|＝2，‎ ‎∴ʃdx＝2＋－＝＋.‎ ‎9、A1＋A3－A2‎ 解析　利用定积分的几何意义，在区间[a，b]上，用x轴上方f(x)所围面积减去x轴下方f(x)所围面积．‎ ‎10、v(t)dt 三、解答题 ‎11、解　ʃf(x)dx＋sin xcos xdx ‎＝ʃ(3x－1)dx＋ʃ(2x－1)dx＋sin xcos xdx，‎ ‎∵y＝sin xcos x为奇函数，‎ ‎∴sin xcos xdx＝0.‎ 利用定积分的几何意义，如图，‎ ‎∴ʃ(3x－1)dx＝－×2＝－8.‎ ʃ(2x－1)dx＝×1＝2.‎ ‎∴ʃf(x)dx＋sin xcos xdx ‎＝2－8＋0＝－6.‎ ‎12、解　将物体用常力F沿着力的方向移动距离x，则所做的功为W＝Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数F(x)＝kx.将[0，b]n等分，记Δx＝，分点依次 为：x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝b.‎ 当n很大时，在分段[xi，xi＋1]所用的力约为kxi，所做的功ΔWi≈kxi·Δx＝kxi.‎ 则从0到b所做的总功W近似地等于 Wi＝xi·Δx＝·· ‎＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝ ‎＝.‎ 于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为 W＝liWi＝li ＝kb2.‎ ‎13、解　(1)由y＝得x2＋y2＝1(y≥0)，其图象是以原点为圆心，半径为1的圆的 部分．‎ ‎∴ʃdx＝π·12＝π.‎ ‎(2)由函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象的对称性(如图)知，ʃcos xdx＝0.‎