2018-2019学年安徽省黄山市屯溪第一中学高一上学期期中考试数学试题

2018-2019学年安徽省黄山市屯溪第一中学高一上学期期中考试数学试题

‎2018-2019学年安徽省黄山市屯溪第一中学高一上学期期中考试数学试题 一、选择题：（本大题共12小题, 每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设集合≤≤，≤≤，则下列对应关系中，不能构成从集合到集合的函数的是（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎3.已知，若，则等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是( )‎ A． B．　 C． D．‎ ‎5.已知函数的反函数是，则函数的图像是( )‎ ‎6.设函数，若函数是奇函数，则的解析式可以是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.若，，，则、、的大小关系是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是(　　)‎ A． B． C. D． ‎ ‎9. 用二分法求函数的零点时，其参考数据如下表所示：‎ 据此数据，可得的一个零点的近似值(精确到)为(　　) ‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 已知函数，若实数是函数的一个零点，实数满足 , 则下列结论一定成立的是 ( )‎ A． B． C. D．‎ ‎11.函数在区间上的值域是，则。的最大值为（　　）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数是定义在上的单调函数，若对任意实数，都有，则（ 　　）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：(本大题共4小题, 每小题5分,共20分)‎ ‎13.函数的图像恒过定点　　 ．‎ ‎14.已知一元二次不等式的解集是，则函数的定义域是　　 ．‎ ‎15.若定义域为的偶函数在上是减函数，则不等式≤的 解集是　　 ．‎ ‎16．已知函数 若关于的方程 有个不等的实根，则实数的取值范围是　　 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分）‎ ‎17.(本小题满分分)‎ ‎ （1）计算：‎ ‎；‎ ‎（2）设错误！未找到引用源。，，为正数，且满足，若， ，求，，。的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知定义域为的偶函数满足：对于任意实数，都有，‎ 且当≤≤时，.‎ ‎（1）求证：对于任意实数，都有；‎ ‎（2）当时，求的解析式.‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 一片森林原面积为，计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比相等，并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的.已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的.‎ ‎（1）求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比；‎ ‎（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？‎ ‎（3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设为实数，函数，，‎ ‎（1）判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）求函数的最小值.‎ ‎21．（本小题满分12）‎ 设函数，．‎ ‎（1）求函数在区间上的值域；‎ ‎（2）若对于任意，总存在，使得成立，‎ 求实数的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：‎ ①对于任意的，总有≥； ②；‎ ‎③若≥，≥，≤，都有≥成立，‎ 那么称函数为理想函数．‎ ‎（1）若函数为理想函数，求的值；‎ ‎（2）判断函数 () 是否为理想函数，并证明你的结论；‎ ‎（3）若函数为理想函数，假定存在，使得，‎ 且，求证：． ‎ 屯溪一中2018-2019学年高一第一学期期中考试数学试卷 一、选择题：（本大题共12小题, 每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B B C A A D B D B C 二、填空题：(本大题共4小题, 每小题5分,共20分)‎ ‎13.；14.；15.；16．．‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分）‎ ‎17.(本小题满分分)‎ ‎（1）（4分）计算：‎ ‎；‎ 解：原式错误！未找到引用源。．…………………4分；‎ ‎（2）（6分）‎ 设错误！未找到引用源。，，为正数，且满足，若，，求错误！未找到引用源。，，错误！未找到引用源。的值.‎ 解：由题意知，解得．…………………10分．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知定义域为的偶函数满足：对于任意实数，都有，‎ 且当≤≤时，.‎ ‎（1）求证：对于任意实数，都有；‎ ‎（2）当时，求的解析式.‎ 解：（1）对于任意实数，都有 ‎；‎ ‎…………………5分；‎ ‎（2）当≤≤时，≤≤，由偶函数知，‎ ‎，‎ 当≤≤时，≤≤，并且 ‎.‎ ‎…………………12分.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 一片森林原面积为，计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比相等.并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的.已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的.‎ ‎(1)求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比；‎ ‎(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？‎ ‎(3)为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？‎ ‎20.解：(1)设每年降低百分比为.‎ 则，即，解得；…………………………4分 ‎(2)设经过年剩余面积为原面积的 则，即，，‎ 到今年为止，已砍伐了5年；……………………………………………………………8分 ‎(3)设从今年开始，以后砍伐了年，则年后剩余面积为 令，即，，，.‎ 故今后最多还能砍伐年……………………………………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 设为实数，函数，，‎ ‎（1）判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）求函数的最小值.‎ 解：（1）当时，，，此时是偶函数；‎ 当时，，，‎ ‎，，‎ 此时既不是奇函数又不是偶函数；………………………………分 ‎（2）①当≤，，‎ 当≤时，在上单调递减，在上的最小值为；‎ 当时，在上最小值为，且≤.‎ ②当≥时，，‎ 当≤时，在上的最小值为且≤；‎ 当时，在在上单调递增，在上最小值为，‎ 综上，………………………………分.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设函数，．‎ ‎（1）求函数在区间上的值域；‎ ‎（2）若对于任意，总存在，使得成立，‎ 求实数的取值范围．‎ 解：（1）设≤≤，则 设≤≤时，，在上单调递增，‎ 设≤≤时，，在错误！未找到引用源。上单调递减，‎ 则，≤≤，‎ 故函数在区间上的值域为；………………………………分，‎ ‎(2) 设，，依题意．‎ 当时，，则，解得，‎ 当时，，不满足题意，‎ 当时，，则，解得无解，‎ 故实数的取值范围是．…………………………分.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：‎ ①对于任意的，总有≥；②；‎ ‎③若≥，≥，≤，都有≥成立，‎ 那么称函数为理想函数．‎ ‎（1）若函数为理想函数，求的值；‎ ‎（2）判断函数 () 是否为理想函数，并证明你的结论；‎ ‎（3）若函数为理想函数，假定存在，使得，‎ 且，求证：． ‎ 解：（1）由≥得，≤，又≥，‎ 则；………………………………分；‎ ‎（2）函数 () 是理想函数，因为，‎ ①任意的，总有≥；‎ ②；‎ ③≥，≥，≤，都有 ‎≥，‎ 即≥成立；…………………6分；‎ ‎（3）设≤≤，则≤≤，≥，并且，‎ ‎≥≥；‎ 假设，‎ 若，则≤，矛盾；‎ 若，则≥，矛盾，‎ 故假设错误，从而． ………………………………分.‎