2020版高中数学 第二章 数列同步精选测试 等差数列的性质

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2020版高中数学 第二章 数列同步精选测试 等差数列的性质

同步精选测试 等差数列的性质 ‎(建议用时:45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.下列说法中正确的是(  )‎ A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列 B.若a,b,c成等差数列,则log‎2a,log2b,log‎2c成等差数列 C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列 D.若a,b,c成等差数列,则‎2a,2b,‎2c成等差数列 ‎【解析】 不妨设a=1,b=2,c=3.‎ A选项中,a2=1,b2=4,c2=9,显然a2,b2,c2不成等差数列.‎ B选项中,log21=0,log22=1,log23>1,显然log‎2a,log2b,log‎2c也不成等差数列.‎ C选项中,a+2=3,b+2=4,c+2=5,显然a+2,b+2,c+2成等差数列.‎ D选项中,‎2a=2,2b=4,‎2c=8,显然‎2a,2b,‎2c也不构成等差数列.‎ ‎【答案】 C ‎2.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0(  )‎ A.无实根 B.有两个相等实根 C.有两个不等实根 D.不能确定有无实根 ‎【解析】 由于a4+a6=a2+a8=‎2a5,而‎3a5=9,‎ ‎∴a5=3,方程为x2+6x+10=0,无解.‎ ‎【答案】 A ‎3.设{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37=(  ) ‎ ‎【导学号:18082085】‎ A.0 B‎.37 C.100 D.-37‎ ‎【解析】 设cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列,则{cn}也是等差数列,且c1=a1+b1=25+75=100,‎ c2=a2+b2=100,‎ ‎∴{cn}的公差d=c2-c1=0.‎ ‎∴c37=100.‎ ‎【答案】 C ‎4.若{an}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9=(  )‎ A.39 B‎.20 C.19.5 D.33‎ 5‎ ‎【解析】 由等差数列的性质,得 a1+a4+a7=‎3a4=45,‎ a2+a5+a8=‎3a5=39,‎ a3+a6+a9=‎3a6.‎ 又‎3a5×2=‎3a4+‎3a6,‎ 解得‎3a6=33,即a3+a6+a9=33.‎ ‎【答案】 D ‎5.已知数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an+1-an(n∈N+).若b3=-2,b10=12,则a8=(  )‎ A.0 B‎.3 C.8 D.11‎ ‎【解析】 设数列{bn}的首项为b1,公差为d.‎ 由b3=-2,b10=12,‎ 得解得 所以bn=-6+2(n-1)=2n-8.‎ 因为bn=an+1-an,‎ 所以a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1‎ ‎=b7+b6+b5+…+b1+a1‎ ‎=(6+4+2+0-2-4-6)+3‎ ‎=3.‎ ‎【答案】 B 二、填空题 ‎6.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则‎3a5+a7=________. ‎ ‎【导学号:18082086】‎ ‎【解析】 设等差数列{an}的公差为d,‎ 则a3+a8=‎2a1+9d=10,‎ 所以‎3a5+a7=‎4a1+18d=2(‎2a1+9d)=20.‎ ‎【答案】 20‎ ‎7.在等差数列{an}中,已知a1,a99是函数f(x)=x2-10x+16的两个零点,则a50+a20+a80=________.‎ ‎【解析】 由题意,知a1,a99是方程x2-10x+16=0的两根,则a1+a99=10.又因为{an}是等差数列,所以a50==5,故a50+a20+a80=a50=×5=.‎ 5‎ ‎【答案】  ‎8.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共‎3 L,下面3节的容积共‎4 L,则第5节的容积为________L.‎ ‎【解析】 法一:设数列{an}为等差数列,自上而下第一节竹子的容积为a1,第二节竹子的容积为a2……第九节竹子的容积为a9.‎ a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,‎ 即‎4a5-10d=3,①‎ ‎3a‎5+9d=4.②‎ 联立①②,解得a5=.‎ 法二:设数列{an}为等差数列,自上而下第1节竹子的容积为a1,第2节竹子的容积为a2……第九节竹子的容积为a9.‎ 因为a1+a2+a3+a4=‎4a1+6d=3,‎ a7+a8+a9=‎3a1+21d=4,‎ 解得a1=,d=,‎ 所以a5=a1+4d=+4×=.‎ ‎【答案】  三、解答题 ‎9.已知等差数列{an},设bn=an,又已知b1+b2+b3=,b1b2b3=,求{an}的通项公式.‎ ‎【解】 因为b1+b2+b3=a1+a2+a3=,b1b2b3=a1+a2+a3=,‎ 所以a1+a2+a3=3.‎ 由a1,a2,a3成等差数列,可设a1=a2-d,a3=a2+d,于是a2=1.‎ 由++=,‎ 得2d+2-d=,‎ 解得d=2或d=-2.‎ 当d=2时,a1=1-d=-1,an=-1+2(n-1)=2n-3;‎ 当d=-2时,a1=1-d=3,an=3-2(n-1)=-2n+5.‎ 5‎ ‎10.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数. ‎ ‎【导学号:18082087】‎ ‎【解】 设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),‎ 依题意,‎2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,‎ 即a=1,a2-9d2=-8,‎ ‎∴d2=1,∴d=1或d=-1.‎ 又四个数成递增等差数列,所以d>0,‎ ‎∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有(  )‎ A.a1+a101>0 B.a2+a101<0‎ C.a3+a99=0 D.a51=51‎ ‎【解析】 根据性质得:a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=‎2a51,由于a1+a2+a3+…+a101=0,所以a51=0,又因为a3+a99=‎2a51=0,故选C.‎ ‎【答案】 C ‎2.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为(  )‎ A.14 B‎.15 C.16 D.17‎ ‎【解析】 设公差为d,∵a4+a6+a8+a10+a12=120,‎ ‎∴‎5a8=120,a8=24,∴a9-a11=(a8+d)-(a8+3d)=a8=16.‎ ‎【答案】 C ‎3.数列{an}中,a1=1,a2=,且+=,则an=________.‎ ‎【解析】 因为+=,‎ 所以数列为等差数列,‎ 又=1,公差d=-=-1=,‎ 所以通项公式=+(n-1)d=1+(n-1)×=,所以an=.‎ ‎【答案】  ‎4.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项?‎ ‎【解】 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn},c1=11,‎ 又等差数列5,8,11,…的通项公式为an=3n+2,‎ 5‎ 等差数列3,7,11,…的通项公式为bn=4n-1.‎ 所以数列{cn}为等差数列,且公差d=12,①‎ 所以cn=11+(n-1)×12=12n-1.‎ 又a100=302,b100=399,cn=12n-1≤302,②‎ 得n≤25,可见已知两数列共有25个相同的项.‎ 5‎
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