数学卷·2018届江苏省宿迁市高二上学期期末考试（2017-01）

数学卷·2018届江苏省宿迁市高二上学期期末考试（2017-01）

宿迁市2016~2017学年度第一学期高二期末考试 数 学 ‎（考试时间120分钟，试卷满分160分)‎ 参考公式：样本数据的方差，其中.‎ 开始 结束 输出S Y N ‎（第5题）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1. 写出命题“若，则”的逆命题 ▲ .‎ Read x If x<5 Then y←2x-2‎ Else y←x2-2‎ End If Print y ‎（第3题）‎ ‎2. 抛物线的焦点坐标是 ▲ .‎ ‎（第4题）‎ ‎3. 如图所示的伪代码，如果输入x的值为5，则输出的结果y为 ▲ . ‎ ‎4. 如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为，‎ 则阴影部分的面积为 ▲ .‎ ‎5. 如图是一个算法流程图，则输出的结果为 ▲ . ‎ ‎6．某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在的1000名 学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩 O y x l ‎3‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎（第8题）‎ y=f(x)‎ 在[120，130)内的学生共有 ▲ 人．‎ ‎0.015‎ ‎0.020‎ ‎100 110 120 130 140 150‎ ‎0.025‎ a ‎0.010‎ O 成绩(分)‎ 频率/组距 ‎（第6题）‎ ‎ ‎ ‎7. 设函数，则函数的单调递增区间是 ▲ . ‎ ‎8. 如图，直线l是曲线在处的切线，表示函数的导函数，‎ 则的值为 ▲ . ‎ x O y B2‎ A2‎ B1‎ A1‎ ‎（第10题）‎ ‎9. 已知是圆的一条弦，是弦的中点，‎ 若，则实数的值是 ▲ .‎ ‎10.如图，椭圆的上、下顶点分别为 ‎,,左、右顶点分别为,，若线段的垂直 平分线恰好经过，则椭圆的离心率是 ▲ . ‎ ‎11.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ▲ .‎ ‎12.若方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是 ▲ . ‎ ‎13.在平面直角坐标中，已知,，圆上存在唯一的点 满足，则实数的取值集合是 ▲ . ‎ ‎14. 设a＞0，函数f(x)＝x＋，g(x)＝x－lnx，若对任意的x2∈[，1]，存在，‎ f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是 ▲ . ‎ 二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图，有一个数字被污损，用（且）表示.‎ ‎（1）若乙同学算出自己历史平均成绩是92分，求的值及乙同学历史成绩的方差；‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎ 5 4 3 0‎ ‎8‎ ‎6 8‎ 甲 乙 ‎2 8 ‎ ‎（第15题）‎ ‎（2）求甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率.‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 已知，.‎ ‎（1）使成立的实数x的取值集合记为A，成立的实数的取值集合记为B，‎ 当时，求；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎17. （本小题满分14分）‎ 已知圆，点.‎ ‎（1）若线段的中垂线与圆相切，求实数的值；‎ ‎（2）过直线上的点引圆的两条切线，切点为，若，‎ 则称点为“好点”. 若直线上有且只有两个“好点”，求实数的取值范围.‎ ‎18. （本小题满分16分）‎ 某工厂打算建造如图所示的圆柱形容器（不计厚度，长度单位：米），按照设计要求，该容器的底面半径为，高为，体积为立方米，且.已知圆柱的侧面部分每平方米建造费用为千元，圆柱的上、下底面部分每平方米建造费用为千元，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，该容器的建造总费用为千元．‎ ‎（1）求关于的函数表达式，并求出函数的定义域；‎ h r ‎（第18题）‎ ‎（2）问为多少时，该容器建造总费用最小？‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，是斜边长为2的等腰直角三角形，直线l过A2且垂直于x轴，D为l上异于A2的一动点，直线A1D交椭圆于点C.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若A1C=2CD，求直线OD的方程；‎ ‎（3）求证：为定值. ‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 已知函数，，是两个任意实数且.‎ ‎（1）求函数的图象在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在上是增函数，求的取值范围；‎ ‎（3）求证：.‎ 数学参考答案与评分标准 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1.若，则； 2. ； 3. 23； 4. 2； 5. 22；‎ ‎6．300； 7. ； 8. ； 9. ； 10. ；‎ ‎11. ； 12. ； 13. ； 14. ；‎ 二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.（1）因为乙同学历史平均成绩是92分，所以，‎ 解得. ……………………3分 此时乙同学的历史成绩的方差为 ‎=；………6分 ‎（2）甲同学的历史平均成绩为分， …………………8分 若甲的历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩，‎ 则，得. ……………………10分 因为,所以且，‎ 记甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩为事件,‎ 则事件包含4个基本事件，而基本事件总数共有6个，‎ 所以事件的概率. ……………………13分 答：（1）的值为6，乙同学历史成绩的方差为；‎ ‎（2）甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率为.……14分 ‎16.（1）因为，所以，则A；……………2分 因为，所以，‎ 所以， ……………4分 当时，， ……………6分 所以. ……………7分 ‎ （2）因为是的充分不必要条件，所以且， ……………10分 则， ……………12分 解得，‎ 所以当时，是的必要不充分条件. ……………14分 ‎17.（1）由得的中点坐标为，直线的斜率为，……..2分 所以的中垂线方程为，即， …………..4分 又因为的中垂线与圆相切，‎ 所以圆心到中垂线的距离，即. ……………………6分 ‎（2）连接，‎ 在中，，‎ 所以，……………………………………………………….8分 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，记为圆，‎ 则圆的方程为，……………………………………………..10分 又因为直线的方程为，且直线上有且只有两个“好点”，‎ 则直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，‎ 故实数的取值范围是. …………………….14分 ‎18.（1）设容器的容积为,‎ 由题意知，故，………………………………..2分 因为，所以，……………………………………………….4分 故建造费用,‎ 即. ………………………………………….6分 ‎（2）由（1）得，‎ 令得, ……..8分 ‎①当即时,‎ 若，则，函数单调递减；‎ 若，则，函数单调递增；‎ 所以时，函数取得极小值，也是最小值. ……………….....12分 ‎②当即时，‎ 因为，则，函数单调递减；‎ 则时，函数取得最小值. ………………………………………...14分 综上所述： 若，当时，建造总费用最少；‎ 若，当时，建造总费用最少. ………………..16分 ‎19.（1）因为是斜边长为2的等腰直角三角形，‎ 所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以椭圆标准方程为. ………4分 ‎（2）设，，‎ 因为AC=2CD，所以,‎ 所以有， ……………6分 所以，解得，代入椭圆方程得，‎ 则当时，，,直线OD的方程为y=x； ……………8分 当 时，,直线OD的方程为.……………10分 ‎（3）（解法一）设，‎ 则直线A1D： ，即，‎ 代入椭圆得 ‎. ………………………12分 因为，所以，，‎ 则， …………………………14分 所以（定值）. …16分 ‎（解法二）由已知直线A1D斜率存在，设A1D的方程为，‎ 设由得，‎ 即， ……12分 则,,,‎ 则，‎ 故. ………………14分 由令x=2,得y=4k,则，故 所以，=（定值）………………16分 ‎20.（1）因为， ………………1分 则切线的斜率为，切点为，‎ 所以函数的图象在处切线方程为； ……………3分 ‎（2）由得，‎ 因为函数在实数集上是增函数，‎ 所以恒成立， ………………5分 则恒成立，‎ 令，‎ 由得， ………………7分 当时，，函数递减；‎ 当时，，函数递增；‎ 所以当时，函数，‎ 故实数的取值范围是. ………………9分 ‎（3）要证明，即证明，‎ 只需证明，不妨设，，‎ 只需证明（），‎ 只需证明对恒成立， ………………11分 设，‎ 则，‎ 设，当时恒成立，‎ 则递增，，即， ………………13分 则，故函数递增，有恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 所以，即. ………………16分