2020八年级数学上册第十二章全等三角形12

2020八年级数学上册第十二章全等三角形12

第十二章 ‎12.2.4‎“HL”‎ 知识点1: 斜边、直角边定理(HL) ‎ 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)‎ 关键提醒:1. “HL”这个结论是直角三角形特有的判定方法,对于一般的三角形不适用.因此,在应用“HL”证明两个三角形全等,一定要指出两个三角形是直角三角形,或指出含有90°的角.‎ ‎2. 对于直角三角形证明全等的方法有五种:SSS、SAS、ASA、AAS和HL.‎ ‎3. 在直角三角形中,若已知两条边对应相等时,这样的两个三角形一定是全等的.‎ 知识点2：灵活地选择三角形全等的条件 ‎ 一般三角形的全等方法的证明有四个:SSS、SAS、ASA、AAS.而对于直角三角形则还有HL.选择合适的判定方法,可以使证明过程简化.‎ 归纳整理:(1)根据提供的不同的已知条件,证明两个三角形全等通常有以下四种思路:‎ ‎(2)当两个三角形是直角三角形时,则首先考虑HL能否证明全等.‎ ‎(3)已知两边和一边的对角不能判定两个三角形全等,即SSA不能判定两个三角形全等.‎ ‎(4)三个角对应相等的两个三角形也不一定全等.‎ 考点1：利用“HL” 证明两个三角形全等 ‎【例1】如图,AC=AD,∠C=∠D=90°,求证:BC=BD.‎ 4‎ ‎            ‎ 证明:在Rt△ABC和Rt△ABD中,‎ ‎∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).‎ ‎∴BC=BD(全等三角形的对应边相等).‎ 点拨：本题条件中已知两三角形为直角三角形,可考虑利用HL证明.‎ 考点2：灵活选择方法证明三角形全等 ‎【例2】如图,两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图(1)摆放,使直角顶点重合. 将图(1)中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图(2),点F、G分别是CD、DE与AB的交点,点H是DE与AC的交点.‎ ‎(1)不添加辅助线,写出图(2)中所有与△BCF全等的三角形;‎ ‎(2)将图(2)中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E‎1C,点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1 ,如图(3).探究线段D‎1F1与AH1之间的数量关系,并写出推理过程;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若D1E1与CE交于点I,求证:G1I=CI.‎ ‎           ‎ ‎(1)              (2)                 (3)‎ 解:(1)图(2)中与△BCF全等的有△GDF、 △GAH、△ECH.‎ ‎(2)D‎1F1=AH1.‎ 证明如下∵　∠A=∠D1=30°,CA=CD1,∠F1CA=∠H1CD1,‎ ‎∴　△AF‎1C ≌△D1H‎1C.∴　F‎1C=H‎1C.‎ 又　CD1=CA,∴　CD1-F‎1C=CA-H‎1C,即D‎1F1=AH1.‎ ‎(3)如图,连接CG1.‎ 4‎ 在△D‎1G1F1和△AG1H1中,‎ ‎∵　∠D1=∠A,∠D‎1G1F1=∠AG1H1,D‎1F1=AH1,‎ ‎∴　△D‎1G1F1 ≌△AG1H1.∴　G‎1F1=G1H1.‎ 又　H‎1C=F‎1C,G‎1C=G‎1C,∴　△CG‎1F1≌△CG1H1.∴　∠1=∠2.‎ ‎∵　∠B=60°,∠BCF=30°,∴　∠BFC=90°.‎ 又　∠DCE=90°,∴　∠BFC=∠DCE.∴　BA∥CE.‎ ‎∴　∠1=∠3.∴　∠2=∠3.∴　G1I=CI.‎ 点拨:(1)本题要结合直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半,以及ASA判定三角形全等的方法解决;(2)首先根据ASA证明△AF‎1C ≌△D1H‎1C,然后再根据全等三角形的性质得到线段相等,进而求解.(3)首先根据AAS证明三角形全等,然后再依据全等三角形的性质和三角形中各角之间的关系求解.‎ 考点3：利用全等三角形证两直线平行与垂直 ‎【例1】如图,已知:点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AC=DF.能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使AB∥ED成立,并给出证明.‎ 供选择的三个条件(请从其中选择一个):‎ ‎①AB=DE;②BC=EF;③∠ACB=∠DFE.‎ 解:由上面两条件不能证明AB∥ED.有两种添加方法.‎ 第一种:FB=CE,AC=DF,添加①AB=DE.‎ 4‎ 证明如下:因为FB=CE,所以BC=EF,又AC=DF,AB=DE,所以△ABC≌△DEF(SSS).所以∠ABC=∠DEF,所以AB∥ED.‎ 第二种:FB=CE,AC=DF,添加③∠ACB=∠DFE.‎ 证明如下:因为FB=CE,所以BC=EF,又∠ACB=∠DFE,AC=DF,所以△ABC≌△DEF(SAS).所以∠ABC=∠DEF,所以AB∥ED.‎ 点拨：两直线平行的判定方法是“同位角相等,两直线平行”或“内错角相等,两直线平行”或“同旁内角互补,两直线平行”,因此在本题中,要使AB∥ED,只需证∠ABC=∠DEF,这可化归为证“全等三角形的对应角相等”,而题中给出全等的两个条件后,尚缺一个条件,通过题中给出的条件,添加一个,可以满足SSS或SAS,问题便可以解决了.‎ 考点4：利用全等三角形证线段之间的和差关系 ‎【例4】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:‎ ‎(1)FC=AD;‎ ‎(2)AB=BC+AD.‎ 证明:(1)因为E是CD的中点,所以DE=CE.‎ 因为AD∥BC,所以∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE.‎ 所以△ADE≌△FCE.所以FC=AD.‎ ‎(2)因为△ADE≌△FCE,所以AE=FE.又因为BE⊥AE,‎ 所以在△ABE和△FBE中,‎ ‎ ‎ 所以△ABE≌△FBE,所以AB=FB.‎ 因为FB=BC+FC=BC+AD.所以AB=BC+AD.‎ 点拨：当题中出现“平行+中点”的条件时,根据“AAS”或“SAS”定理容易证得全等三角形,从而得到相等的角或边;欲证一线段等于另两线段之和,可通过“延长”的方法将所证两线段合为一线段,再证其与另一线段相等,当然,也可利用“截取”的方法将最长线段一分为二,分别等于另外两线段.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 4‎