热点14 空间几何体-2017年高考数学二轮核心考点总动员

热点14 空间几何体-2017年高考数学二轮核心考点总动员

‎ 2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇 热点14 空间几何体 ‎【热点考法】本热点的题型为选择填空题，主要考查由三视图求原几何体的表面积、体积、文科求体积占多数，理科则求面积居多，考查空间想象能力、运算求解能力，难度为中档或以下试题，分值为5分.‎ ‎【热点考向】‎ 考向一 空间几何体的三视图 ‎【解决法宝】在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果.在处理三视图问题时，要根据“长对正，宽相等、高平齐”的原则由三视图确定对应几何体中的量，或由几何体确定三视图中的量.‎ 例1【辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）‎ ‎【分析】先由三视图确定主视图和侧视图完全相同时，再根据几何体确定俯视图.‎ ‎【解析】俯视图是正方形，曲线在其上面的投影恰为正方形的对角线，故选B.‎ 考向二 几何体的表面积 ‎【解决法宝】利用三视图求解几何体的表面积，关键是确定几何体的形状和相关数据，计算出各个面的面积，再求和即为表面积，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”.‎ 例2【重庆八中2017届高三上学期二调，9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A．50 B．50.5 C．51.5 D．60‎ ‎【分析】由三视图知，对应的几何体是底面是直角边为和的直角三角形的直三棱柱消去一个同底的三棱锥且三棱锥的高为，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算，在求各面面积之和即可．‎ 考向三 几何体的体积 ‎【解决法宝】1.求简单几何体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式进行计算.‎ 2. 求几何体的体积的常用方法有割补法和等积变换法.‎ （1） 割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、椎体等，分别求出柱体、椎体等的体积，从而得出几何体的体积.‎ （2） 等体积转化法:利用三棱锥的每一个面可做底面.①求体积时，可选择容易计算的方式来求解；②利用“等积性”可求“点到面的距离”.‎ ‎3.利用三视图为载体求解几何体的体积，关键是是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解.‎ 例3【河北衡水中学2017届上学期一调，3】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由三视图知，该几何体是一个三棱锥与三棱柱的组合体，可以确定其相关数据，即可计算其体积．‎ 考向四 球的切接问题 ‎【解决法宝】①涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解，球内接正棱锥、正棱柱、圆柱、圆锥的球心在高上，球的截面性质是求解此类问题重要工具.‎ ‎②若球面四点P，A，B，C构成的线段PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则，把有关元素“补形”为一个球内接长方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法．‎ 例4.【江西南昌市2017届摸底考试，9】已知一个几何体的三视图如图所示，若该几何体外接球的表面积为，则（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【分析】由三视图知，对应的几何体为一个三棱锥，侧棱垂直底面，底面为一等腰直角三角形，高为1，底为2，将三棱锥补成一个长方体，由球的表面积求出球的半径，由长方体的对角线性质即可列出关于h的方程，即可解出h。‎ ‎【解析】几何体为一个三棱锥，侧棱垂直底面，侧棱长为；底面为一等腰直角三角形，高为1，底为2，因为外接球的表面积为，所以外接球的半径为，因此，选D.‎ ‎【热点集训】‎ ‎1. 【湖南永州市2017届高三第一次模拟，7】右图是一个几何体的三视图，其中俯视图中的曲线为四分之一圆，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知，该几何体为一棱长为的正方体截取个圆柱，其中圆柱底面半径为，高为，则所求表面积为.‎ ‎2.【山东省菏泽市2016届高三下学期一模考试数学（理）试题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】该几何体是半个圆锥，故故答案为A. ‎ ‎3.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，8】一个几何体的三视图如图所示, 且其侧视图是一个等边三角形, 则这个几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎4.【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，6】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，该几何体为底面半径为、高为的圆锥的，所以该几何体的体积，故选D.‎ ‎5.【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评，10】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故.故选D.‎ ‎6.【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 该几何体可以看作是个圆柱体和一个三棱锥组合而成，故体积． ‎ ‎7. 【河北唐山市2017届高三年级期末,5】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ）‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，所以该几何体的表面积为，故选B．‎ ‎8.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，9】某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】.‎ ‎ 9.【新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试】一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图可得，故选A. ‎ ‎10.【河北邯郸2017届9月联考，5】如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】因为该几何体是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的，所以其体积为 ‎，故应选. ‎ ‎11.【四川巴中市2017届“零诊”，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】分析三视图可知，该空间几何体为圆切去，故，‎ 故其表面积，故选D.‎ ‎12. 【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，11】已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎13. 【湖南永州市2017届高三第一次模拟，10】设三棱柱的侧棱与底面垂直，，，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知，若棱柱的所有顶点都在球面上，则同高的长方体个顶点也在球面上，且外接球的直径为长方体的体对角线，由球体体积可得直径为，由于长方体底面为边长为的正方形，故侧面的对角线为，由余弦定理可知，直线与直线所成角的余弦值为.‎ ‎14. 【河北衡水中学2017届高三摸底联考，6】在四面体中，，则该四面体外接球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为所以，设的中点为，连接，则三角形的外心为在线段上，且，又三角形的外心为，又，所以平面，过垂直于平面的直线与过垂直于平面的直线交于点，则为四面体外接球的球心，在三角形中，由余弦定理得，所以，所以，设外接圆半径为，则，所以，故选D.‎ ‎ 15 .【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），15】如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由已知中的三视图可得,该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,其外接球,‎ 与以俯视图为底面,以为高的直三棱柱的外接球相同, 如图所示，由底面边长为,高为,故底面为等腰直角三角形, 可得底面外接圆的半径为:, 由棱柱高为,可得球心距为,故外接球的半径为:, 故外接球的表面积,故答案为. ‎ ‎16.【广东珠海市2017届上学期调研测试（1），16】已知三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球的表面上，且三棱柱的体积为，则球的表面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎17.【宁夏中卫一中2016届高三上学期期末】如图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的表面积为　　．‎ ‎【答案】 80+4π ‎【解析】空间几何体正四棱住内挖空了一个圆柱，‎ 底面边长为4，高为3的长方体，‎ 圆柱的底面半径为1，‎ 这个几何体的表面积为2×4×4﹣2π×12+4×4×3+2π×1×3=32﹣2π+48+6π=80+4π ‎，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎19.【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，16】如图是某几何体的三视图，当最大时，该几何体的体积为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎20.【2017届北京市朝阳区第一学期期末统考】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】三棱锥的直观图如图所示：‎ 由三视图可知平面ABC，平面PAB，且，， ‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，，∴全面积为.‎ ‎21.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛，15】若某多面体的三视图如图所示（单位：）则此多面体的体积是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知，该几何体是棱长为的正方体切去一个三棱锥所剩下的部分，故其体积.‎ ‎22. 【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评，15】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，则的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切，设球的半径为，∵的内切圆半径为，∴，又，∴，∴.‎ ‎23.【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，16】已知四面体的每个顶点都在球的表面上，，，底面，为的重心，且直线与底面所成角的正切值为，则球的表面积为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取中点，连接，则，因为底面，所以直线与底面所成角为，则，所以，设外接圆的半径为，则，所以，从而球的表面积为.‎ ‎ ‎