甘肃省兰州四中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题

甘肃省兰州四中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题

‎2018-2019学年甘肃省兰州四中高二第一学期期中考试数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的．）‎ ‎1.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )‎ A. 9 B. ‎12 ‎C. 15 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列通项性质即可得出．‎ ‎【详解】解：∵{an} 是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．‎ ‎∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．‎ ‎2.若，则下列不等式中成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用实数的运算性质和作差比较，结合不等式的基本性质，即可求解.‎ ‎【详解】对于A中，，‎ 所以，所以不正确；‎ 对于B中，根据实数的运算性质，当时，是正确的；‎ 对于C中，，可得，所以不正确；‎ 对于D中，，所以是正确的，是不正确的，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，利用实数的运算性质和作差比较法，结合不等式的基本性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎3.在△ABC中,已知，则角A=（ ）‎ A. 30°或150° B. 60°或120° C. 60° D. 30°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理得，解之可求得，再根据三角形的大边对大角，可得选项.‎ ‎【详解】根据正弦定理得：，因为,所以.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查三角形的正弦定理，在运用时注意三角形中的大边对大角的性质，属于基础题.‎ ‎4.在三角形中，，则的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，选A 考点：余弦定理 ‎5.已知单调递增的等比数列中，，，则数列的前项和（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质，可得到是方程的实数根，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，等比数列中，，，‎ 根据等比数列的性质，可得，，‎ 所以是方程的实数根，解得或，‎ 又因为等比数列为单调递增数列，所以，‎ 设等比数列的首项为，公比为 可得，解得，‎ 所以数列的前项和.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则是( )‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，所以，所以，‎ 所以，所以，即，所以是等腰三角形．故选A．‎ ‎7.等比数列的前项和为，若，，则等于（ ）‎ A. -3 B. ‎5 ‎C. -31 D. 33‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，等比数列中，，‎ 可得，解得，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.‎ ‎8.不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把不等式化简为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，不等式，可转化为，‎ 根据一元二次不等式的解法，可得不等式的解集为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了计算能力.‎ ‎9.已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据正弦定理由可得,‎ ‎,在中,‎ ‎,为边长为1的正三角形,.故B正确.‎ 考点：正弦定理.‎ ‎【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求.‎ ‎10.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1 =an+3，若an＝2014，则n＝（ ）‎ A. 667 B. ‎668 ‎C. 669 D. 672‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以数列是等差数列，，所以 考点：1．等差数列定义；2．等差数列的通项．‎ ‎11.已知是坐标原点，点，若点为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（　　）‎ A. [﹣1，0] B. [0，1] C. [0，2] D. [﹣1，2]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，利用向量数量积运算可得目标函数，化目标函数为直线方程的斜截式，由数形结合得的取值范围．‎ ‎【详解】满足约束条件的平面区域如图所示：联立，解得S（1，1），P（0,2）.‎ ‎∵，，∴，令，化为，‎ 作出直线，由图可知，平移直线至S时，目标函数有最小值0；‎ 平移直线至P时，目标函数有最大值2．∴的取值范围是[0，2]．‎ 故选C ‎【点睛】本题考查简单的线性规划的简单应用，平面向量数量积公式的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．‎ ‎12.已知不等式的解集为，若，则“”的概率为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：解分式不等式得集合P，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.‎ 详解：，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 选．‎ 点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.已知数列前项和，则的通项公式为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的关系式，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，数列前项和，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，适合上式，所以的通项公式为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用数列的前n项和求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的和的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎14.太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶‎1 km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示，过C作CD⊥AB，垂足为D，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=‎1km，‎ ‎△ABC中，BC=，△CBD中，CD=BCcos15°==km．故填．‎ ‎15.已知函数，那么当取得最小值时，的值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用基本不等式，确定等号成立的条件，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 根据基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎16.设的内角所对的边分别为，若，则角=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.‎ ‎【详解】，则，，故.‎ 根据余弦定理：，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.‎ 三、解答题（本大题包括6小题，共70分）‎ ‎17.在等差数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设的前项和为，若，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）利用等差数列的求和公式，求得，再偶，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ 因为，，可得，解得，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 可得数列的前n项和为，‎ 令，即，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了方程思想，以及运算能力.‎ ‎18.在中，分别为角所对的边，已知.‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)18.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得；‎ ‎(Ⅱ)有(I)的结论结合均值不等式的结论可得的最大值是18.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为，由正弦定理可得，‎ 由余弦定理， ‎ 得，解得，‎ 所以 ‎（Ⅱ）由余弦定理，得， ‎ 又， ‎ 所以 即，当且仅当时，等号成立. ‎ 所以的最大值为18.‎ 另解（Ⅱ）：由（Ⅰ）和正弦定理知：,‎ 且 ‎,‎ 所以，‎ 所以的最大值为18.‎ 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎19.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点.‎ ‎（1）写出税收（万元）与的函数关系式；‎ ‎（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，可知降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额 ‎200a（1+2x%），从而可求税收y（万元）与x的函数关系式； （Ⅱ）利用税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，可建立不等关系，从而可得x的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担,‎ 收购总金额为万元.‎ 依题意有 ‎（2）原计划税收为万元 依题意有 化简得 ‎.‎ 取范围是.‎ 点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）试求的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，，试求的面积 ‎【答案】（Ⅰ）最小正周期为，递减区间为；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用倍角公式、诱导公式和降幂公式，化简得到函数的，再结合三角函数的图象与性质，即可求解；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）及，求得，利用余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，函数 ‎，‎ 所以函数的的最小正周期为，‎ 令，解得，‎ 所以函数的单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 因为，可得，即，‎ 又因为，所以，‎ 又由，‎ 由余弦定理可得，即，‎ 即，解得 所以的面积，‎ 即的面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎21.已知数列为等差数列，且，．‎ ‎(1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．‎ ‎（3）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】解: (1)∵数列为等差数列,设公差为,‎ 由,得,,‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴‎ ‎∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 .‎ ‎（3）∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴…‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分 由,得,,‎ ‎∴， …………………… 3分 ‎. …………………… 4分 ‎(2)∵, …………………… 5分 ‎∴， …………………… 6分 ‎∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分 ‎（3）∵，，‎ ‎∴………………… 10分 ‎∴………… 12分 考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n项和的求法．‎ 点评：裂项法是求前n项和常用的方法之一．常见的裂项有：，，，，，‎ ‎22.已知函数，其中．‎ ‎（I）若，求在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（II）解关于x不等式 ‎【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】(Ⅰ)最小值为，最大值为；‎ ‎(Ⅱ)当时，不等式解集为 当时，不等式解集 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 ‎ ‎