人教A版理科数学课时试题及解析(29)等比数列B

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人教A版理科数学课时试题及解析(29)等比数列B

课时作业(二十九)B [第29讲 等比数列]‎ ‎[时间:35分钟 分值:80分]‎ ‎1. 已知数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn表示{an}的前n项的和.若a1=3,a‎2a4=144,则S10的值是(  )‎ A.511 B.1 ‎023 C.1 533 D.3 069‎ ‎2. 在等比数列{an}中,若a‎2a3a6a9a10=32,则的值为(  )‎ A.4 B.‎2 C.-2 D.-4‎ ‎3. 等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1,S3,S2成等差数列,则数列{an}的公比等于(  )‎ A.1 B. C.- D. ‎4. 在△ABC中,tanA是以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tanB是以为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则tanC=________.‎ ‎5. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a2 011=3S2 010+2 012,a2 010=3S2 009+2 012,则公比q等于(  )‎ A.3 B. C.4 D. ‎6. 在等比数列{an}中,a1=4,公比为q,前n项和为Sn,若数列{Sn+2}也是等比数列,则q等于(  )‎ A.2 B.-‎2 C.3 D.-3‎ ‎7. 设等差数列{an}的公差d≠0,a1=4d.若ak是a1与a2k的等比中项,则k=(  )‎ A.3或-1 B.3或1‎ C.3 D.1‎ ‎8. 在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数),前n项和为Sn=3n+k,则实数k为(  )‎ A.0 B.‎1 C.-1 D.2‎ ‎9. 在等比数列{an}中,a1=1,且a1+1,a2+2,a3+2依次成等差数列,则{an}的前6项和等于________.‎ ‎10. 已知a,b,c是递减的等差数列,若将其中两个数的位置对换,得到一个等比数列,则的值为________.‎ ‎11. 在等比数列{an}中,首项a1=,a4=(1+2x)dx,则公比q为________.‎ ‎12.(13分) 设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(λ+1)-λan,其中λ是不等于-1和0的常数.‎ ‎(1)证明:{an}是等比数列;‎ ‎(2)设数列{an}的公比q=f(λ),数列{bn}满足b1=,bn=f(bn-1)(n∈N,n≥2),求数列的前n项和Tn.‎ ‎13.(12分) 设数列{an}为等比数列,数列{bn}满足:bn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an,n∈N*,已知b1=m,b2=,其中m≠0.‎ ‎(1)求数列{an}的首项和公比;‎ ‎(2)当m=1时,求bn;‎ ‎(3)设Sn为数列{an}的前n项和,若对于任意的正整数n,都有Sn∈[1,3],求实数m的取值范围.‎ 课时作业(二十九)B ‎【基础热身】‎ ‎1.D [解析] 由已知a‎2a4=144,得a1q·a1q3=144,则q4==16,即q=2,‎ ‎∴S10===3 069,故选D.‎ ‎2.B [解析] 根据等比数列的性质,有a‎2a10=a‎3a9=a,又已知a‎2a3a6a9a10=32,则a=32,即a6=2,a1q5=2,‎ ‎∴==a1q5=2,故选B.‎ ‎3.C [解析] 由已知S1,S3,S2成等差数列,得 ‎2S3=S1+S2,即2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,‎ 化简,得‎2a1(1+q+q2)=a1(2+q),即2q2+q=0,‎ 解得q=-,故选C.‎ ‎4.1 [解析] 由已知,有解得 ‎∴tanC=-tan(A+B)=-=1.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5.C [解析] 由已知,有a2 011=3S2 010+2 012,a2 010=3S2 009+2 012,‎ 两式相减,得a2 011-a2 010=‎3a2 010,即a2 011=‎4a2 010,‎ 则公比q=4,故选C.‎ ‎6.C [解析] 由已知,有S1=a1=4,S2=a1+a2=4(1+q),S3=a1+a2+a3=4(1+q+q2),‎ 因为数列{Sn+2}是等比数列,‎ 所以(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),‎ 即(4q+6)2=6(6+4q+4q2),解得q=3,故选C.‎ ‎7.C [解析] 由数列{an}是等差数列,得ak=a1+(k-1)d,a2k=a1+(2k-1)d.‎ ‎∵ak是a1与a2k的等比中项,‎ ‎∴a=a‎1a2k,即[a1+(k-1)d]2=a1[a1+(2k-1)d],‎ 化简,得(k-1)2d2-a1d=0.‎ 把a1=4d代入,得k=3,故选C.‎ ‎8.C [解析] 解法一:由Sn=3n+k,得a1=S1=3+k,a2=S2-S1=(32+k)-(3+k)=6,‎ a3=S3-S2=(33+k)-(32+k)=18.‎ 由an+1=can(c为非零常数),知数列{an}是等比数列,则 a=a‎1a3,即62=18(3+k),解得k=-1,故选C.‎ 解法二:由题意知,数列{an}是公比为c的等比数列,且c≠0,c≠1.‎ 设=t,则 Sn==-tqn+t=3n+k,‎ ‎∴k=t=-1,故选C.‎ ‎9.63 [解析] 设等比数列{an}的公比为q,‎ 则a2=q,a3=q2,‎ 由a1+1,a2+2,a3+2依次成等差数列,得 ‎2(a2+2)=(a1+1)+(a3+2),‎ 即2(q+2)=(1+1)+(q2+2),‎ 化简,得q2-2q=0,解得q=2.‎ 则数列{an}的前6项和为S6==63.‎ ‎10.20 [解析] 依题意,得 ‎①或②或③ 由①得a=b=c与“a,b,c是递减的等差数列”矛盾;‎ 由②消去c整理得(a-b)(a+2b)=0,又a>b,‎ ‎∴a=-2b,c=4b,=20;‎ 由③消去a整理得(c-b)(c+2b)=0,又b>c,‎ 因此有c=-2b,a=4b,=20.‎ ‎11.3 [解析] a4=(1+2x)dx=(x+x2)=(4+42)-(1+12)=18,‎ 又a4=a1q3,a1=,则q3=27,即q=3.‎ ‎12.[解答] (1)证明:∵Sn=(λ+1)-λan,‎ ‎∴Sn-1=(λ+1)-λan-1(n≥2),‎ ‎∴an=-λan+λan-1,即(1+λ)an=λan-1.‎ 又λ≠-1且λ≠0,∴=.‎ 又a1=1,∴{an}是以1为首项,为公比的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知q=f(λ)=,‎ ‎∴bn=f(bn-1)=(n≥2),‎ 故有==+1,∴-=1(n≥2),‎ ‎∴是以3为首项,1为公差的等差数列.‎ ‎∴Tn=3n+=.‎ ‎【难点突破】‎ ‎13.[解答] (1)由已知b1=a1,所以a1=m;‎ b2=‎2a1+a2,所以‎2a1+a2=m,解得a2=-;‎ 所以数列{an}的公比q=-.‎ ‎(2)当m=1时,an=n-1,‎ bn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an,①‎ ‎-bn=na2+(n-1)a3+…+2an+an+1,②‎ ‎②-①得-bn=-n+a2+a3+…+an+an+1,‎ 所以-bn=-n+ ‎=-n-,‎ bn=+-n=.‎ ‎(3)Sn==·,‎ 因为1-n>0,‎ 所以由Sn∈[1,3]得≤≤,‎ 注意到,当n为奇数时,1-n∈;‎ 当n为偶数时,1-n∈,‎ 所以1-n的最大值为,最小值为.‎ 对于任意的正整数n都有≤≤,‎ 所以≤≤2,解得2≤m≤3.‎
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