2013-2017高考数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-3 抛物线及其性质（理科）

2013-2017高考数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-3 抛物线及其性质（理科）

第3节 抛物线及其性质 题型120 抛物线的定义与标准方程 ‎1.（2013浙江理15）设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段 的中点，若，则直线的斜率等于________.‎ ‎2.(2013全国新课标卷理11）设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（ ）.‎ A. 或 B. 或 ‎ C. 或 D. 或 ‎ ‎3.（2013山东理11） 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.(2013天津理5）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点． 若双曲线的离心率为， 的面积为， 则（ ）.‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.（2014 湖南理 15）如图所示，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过，两点，则________.‎ ‎6.（2015陕西理14）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，‎ 则________．‎ ‎6．解析 的焦点坐标为，抛物线准线方程为 ‎，所以.‎ 命题意图 考查双曲线、抛物线的基本概念.‎ ‎7.（2016全国乙理10）以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点.已知， ，则的焦点到准线的距离为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎7. B 分析 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理.‎ 解析 设抛物线为，圆的方程为，如图所示.‎ 设，，点在抛物线上，所以，得，‎ 联立①②，解得，即.则的焦点到准线的距离为4 .故选B.‎ ‎8.（2016浙江理9）若抛物线上的点到焦点的距离为，则到轴的距离是_______．‎ ‎8. 解析 由题意知，该抛物线的焦点，准线为.因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，所以点到轴的距离为9.‎ ‎9.（2017北京理18（1））已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点.‎ ‎（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎9.解析 （1）由抛物线过点，得.所以抛物线的方程为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为.‎ ‎10.（2017全国2卷理科16）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．‎ ‎10．解析 由，得，焦点为，准线.如图所示，由为的中点，故易知线段为梯形的中位线.因为，，所以.又由抛物线的定义知，且，所以.‎ 题型121 与抛物线有关的距离和最值问题——暂无 ‎1.（2014 新课标1理10）已知抛物线： 的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.（2017全国1卷理科10）已知为抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 解析 解法一：设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，‎ ‎，，，直线，直线.联立 ‎，消去整理得，‎ 所以，同理 ‎，从而，当且仅 当时等号成立.故选A.‎ 解法二：设的倾斜角为，抛物线的准焦距为．作垂直准线于点，垂直 轴于点，如图所示.‎ 易知，‎ 所以，‎ 即，同理，所以.‎ 又与垂直，即的倾斜角为，.‎ 而，即，‎ 所以 ‎，当时取等号，即的最小值为.故选A.‎ 题型122 抛物线中三角形、四边形的面积问题——暂无 ‎1.（2014 新课标2理10）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于于两点，为坐标原点，则的面积为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎2.（2014 四川理 10）已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎3.（2015浙江理5）如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不 同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之 比是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3. 解析 依题意，．故选A．‎ ‎4.（2016天津理14）设抛物线（为参数，）的焦点为，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为_________.‎ ‎4. 解析 抛物线的普通方程为，，.‎ 又，则.由抛物线的定义得，所以，‎ 则.由，得，‎ 所以，，‎ 即，．‎ ‎5.（2016上海理20）有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．‎ ‎（1）求菜地内的分界线的方程；‎ ‎（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到 面积的“经验值”为．设是上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值．‎ ‎5.解析 （1）不妨设设分界线上任一点为，依题意 化简得．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 设以为一边，另一边过点的矩形的面积为，则，‎ 设五边形面积为，过作交于点，‎ 则，‎ 因为，，‎ 所以五边形的面积更接近的面积．‎ 题型（附） 抛物线（线性规划）‎ ‎1.（2013江苏9）抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含 三角形内部和边界）.若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 .‎