数学理卷·2019届四川省成都外国语学校高二上学期期中考试（2017-11）

数学理卷·2019届四川省成都外国语学校高二上学期期中考试（2017-11）

成都外国语学校2017-2018学年度高二上半期考试 数学试题(理科)‎ 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。‎ ‎ 2. 本堂考试120分钟，满分150分。‎ ‎ 3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。‎ ‎ 4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。‎ 第Ⅰ卷（60分）‎ 一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的）。‎ ‎1.设命题( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎3.是直线与直线相互垂直 的（ ）‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.过点,且圆心在直线上的圆的方程为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.已知曲线上的动点，向量和满足 ‎，则曲线的离心率是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知双曲线 的离心率为，则的渐近线方程为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.已知两定点,如果动点满足，则点的轨迹所表示的图形的面积等于（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎8.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过点的直线与相交于两点，且 的中点为,则的方程为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.四棱柱中，与的交点为点，设，则下列与相等的向量是 ( ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的 体积为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎ 第10题图 ‎ ‎11.已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知点是椭圆上位于第一象限内的任一点，过点作圆的两条切线（点是切点），直线分别交轴、轴于点，则的面积(是坐标原点)的最小值是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（90分）‎ 1. 填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）.‎ ‎13.已知直线经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为　　 . ‎ ‎14.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 　 . 15.若函数 没有零点，则实数的取值范围为 　 . ‎ ‎16.已知由直线：为给定的正常数，为参数，）构成 的集合为，给出下列命题：‎ l 当时，中直线的斜率为；‎ l 中的所有直线可覆盖整个坐标平面。‎ l 当时，存在某个定点，该定点到中的所有直线的距离均相等。‎ l 当时，中两条平行直线间的距离的最小值为。‎ 其中正确的命题是___________.‎ 三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)。‎ ‎17．（本小题满分10分）已知两直线，，当为何值时，与：（1）相交？ （2）平行？ （3）垂直？‎ ‎18.（本小题满分12分）若,命题设和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题是的充分不必要条件，求使且为真命题的的取值范围。‎ ‎19.（本小题满12分）如图，在三棱锥 中，，，，平面平面，为的中点．‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎20.（本小题满12分）如图，在平面直角坐标系中，点 ，直线，设圆的半径为，圆心在上．‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．‎ ‎21.（本小题满12分）已知抛物线，过点（其中）作互相垂直的两直线 、，直线与抛物线相切于点（在第一象限内），直线与抛物线相交于 两点．‎ ‎（1）求证：直线 恒过定点；‎ ‎（2）记直线的斜率分别为，当 取得最小值时，求点的坐标．‎ ‎22.（本小题满12分）已知，两点分别在 轴和轴上运动，且，若动点满足．‎ ‎（1）求出动点的轨迹对应曲线的标准方程；‎ ‎（2）一条纵截距为的直线与曲线交于 两点，若以为直径的圆恰过原点，求出直线的方程；‎ ‎（3）直线与曲线交于两点，，试问：当 t 变化时，是否存在一直线，使 的面积为？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由．‎ 成都外国语学校2017-2018学年度高二上半期考试 数学试题(理科)‎ 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。‎ ‎ 2. 本堂考试120分钟，满分150分。‎ ‎ 3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。‎ ‎ 4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。‎ 第Ⅰ卷（60分）‎ 一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的）。‎ ‎1.设命题( C )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ B ）‎ A． B. C. D.‎ ‎3.是直线与直线相互垂直 的（ B ）‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.过点,且圆心在直线上的圆的方程为（ C ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.已知曲线上的动点，向量和满足，则曲线的离心率是（ A ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知双曲线 的离心率为，则的渐近线方程为（ C ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.已知两定点,如果动点满足，则点的轨迹所表示的图形的面积等于（ B ）‎ A． B. C. D.‎ ‎8.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过点的直线与相交于两点，且的中点为,则的方程为（ B ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.四棱柱中，与的交点为点，设，则下列与相等的向量是 ( ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ D ）‎ ‎ ‎ A. B. D. D.‎ ‎11.已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ B ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知点是椭圆上位于第一象限内的任一点，过点作圆的两条切线（点是切点），直线分别交轴、轴于点，则的面积(是坐标原点)的最小值是（ A ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（90分）‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）.‎ ‎ 13.已知直线经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程 为　　 ▲ 　. 或 ‎14.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为 .4 ‎ ‎15.若函数 没有零点，则实数的取值 范围为　▲ . ‎ ‎16.已知由直线：为给定的正常数，为参数，）构成 的集合为，给出下列命题：‎ l 当时，中直线的斜率为；‎ l 中所有的直线可覆盖整个坐标平面。‎ l 当时，存在某个定点，该定点到中所有的直线的距离均相等。‎ l 当时，中两条平行直线间的距离的最小值为。‎ 其中正确的命题是___3,4________‎ 三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)。‎ ‎ 17．（本小题满分10分）已知两直线，，当为何值时，与：（1）相交？ （2）平行？ （3）垂直？‎ 解：（1）即，化简得，解得。(3分)‎ ‎ （2）由得。当时， 重合，不符合题意。故。（3分）‎ ‎ （3），得，解得。（4分）‎ ‎18.（本小题满分12分）若,命题设和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题是的充分不必要条件，求使且为真命题的的取值范围。‎ 解：是方程的两个实根，，，，。‎ 不等式对任意实数恒成立，成立即可。，‎ 计算得出，。（5分）‎ ‎，，，‎ 是的充分不必要条件，‎ ‎，得，。（4分）且为 真命题，。（3分）‎ ‎19.（本小题满12分）如图，在三棱锥 中，，，，平面平面，为的中点．‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎（1）证明： 因为 且 ，‎ 所以 ，‎ 又 ，满足 ，‎ 所以 ．‎ 因为 ，，，‎ 所以 ．（5分）‎ ‎（2） 取 中点 ，连 ，．‎ 在 中， 且 ，‎ 又 ，‎ 所以 ，‎ 在 中， 且 ，‎ 由(1)知 ，则 ，‎ 又因为 ，‎ 所以 ，即 ，‎ 在 中，，，‎ 所以 ，‎ 所以 ，‎ 设点 到平面 的距离为 ，‎ 则由 得 ，‎ 解得 。（7分）‎ ‎19.（本小题满12分）如图，在平面直角坐标系中，点 ，直线，设圆的半径为，圆心在上．‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．‎ 解：（1） 由题设，圆心 是直线 和 的交点，‎ 解得点 ，于是切线的斜率必存在．‎ 设过 的圆 的切线方程为 由题意，得 ‎ 解得：‎ 故所求切线方程为 ‎（5分）‎ ‎    （2） 因为圆心在直线 上，所以圆 的方程为 设点 ，因为 ，所以 化简得 即 所以点 在以 为圆心， 为半径的圆上．‎ 由题意，点 在圆 上，所以圆 与圆 有公共点，则 即 整理，得 由 ，得 ‎ 由 ，得 ‎ 所以点 的横坐标 的取值范围为 ．（7分）‎ ‎(理) 21.（本小题满12分）已知抛物线，过点（其中）作互相垂直的两直线 、，直线与抛物线相切于点（在第一象限内），直线与抛物线相交于 两点．‎ ‎ （1）求证：直线 恒过定点；‎ ‎（2）记直线的斜率分别为，当 取得最小值时，求点的坐标．‎ ‎（1） 设直线 的斜率为 ，则 直线的方程为 ．‎ 由 得 ．‎ 由直线 与抛物线 相切，得 ，‎ 解得 ，从而 点坐标为 ．‎ 由 ，可设 的方程为 ，‎ 整理，得 ，‎ 故直线 恒过定点 ．（4分）‎ ‎    （2） 设 ，．‎ 由 得 ，‎ 则 ，．‎ 而 ，‎ 同理可得 ，所以 故当 时， 有最小值为 ，此时 ．（8分）‎ ‎(文) 21.（本小题满12分）已知抛物线的焦点为，点．‎ ‎（1）设是抛物线上的动点，求的最小值；‎ ‎（2）过点的直线与抛物线交于两点，若的面积为，求直线的方程．‎ ‎（1） 设 ，所以 ，‎ 则 所以当 时，．（4分）‎ ‎    （2） 方法一：‎ 设直线 ，，，焦点 ，‎ ‎ 由 消去 得 ．‎ 由韦达定理可得 所以 的面积为 所以 ，所以直线 的方程为 ．（8分）‎ 方法二：‎ 若直线 的斜率不存在，则 ，，，‎ 所以 的面积 ，不符合，‎ 所以直线 的斜率必存在．‎ 设直线 ，，，焦点 ．‎ ‎ 由 消去 得 ．‎ 由韦达定理可得 所以 到 的距离 ．所以 的面积 所以 ，所以直线 的方程为 ．‎ ‎22.（本小题满12分）已知，两点分别在 轴和轴上运动，且，若动点满足．‎ ‎（1）求出动点的轨迹对应曲线的标准方程；‎ ‎（2）一条纵截距为的直线与曲线交于 两点，若以为直径的圆恰过原点，求出直线的方程；‎ ‎（3）直线与曲线交于两点，，试问：当 t 变化时，是否存在一直线，使 的面积为？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由．‎ 解：（1） 因为 ．‎ 即 ，‎ 所以 ，，‎ 所以 ，，‎ 又因为 ，所以 ‎ 即：，‎ 即 ，‎ 所以椭圆的标准方程为 ．‎ ‎    （2） 直线 斜率必存在，且纵截距为 ，‎ 设直线 为 ，‎ 联立直线 和椭圆方程 ‎ 得：，‎ 由 ，得 ‎ 设 ，‎ 则 ，，‎ 以 为直径的圆恰过原点，‎ 所以 ，，‎ 即 ，‎ 也即 ，‎ 即 ，‎ 将 式代入，‎ 得 ，‎ 即 ，‎ 解得 ，满足（）式，所以 ．‎ ‎    （3） 由方程组 ‎ 得 ，‎ 设 ，，‎ 则 ，‎ ‎，‎ 所以 ‎ 因为直线 过点 ，‎ 所以 的面积 ‎ 令 ，‎ 则 不成立．‎ 所以不存在直线 满足题意．‎