2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ）‎ A．10 B．9 C．8 D．7‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：∵由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7‎ ‎∴可以做出每210 /7 =30人抽取一个人，‎ ‎∴从高三学生中抽取的人数应为300 /30 =10．‎ 故选A．‎ ‎2．已知椭圆的两个焦点是，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由椭圆的两个焦点是求得，且可判断其焦点位置，由点在椭圆上求得，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，因为椭圆的两个焦点是， ，且焦点在轴上，‎ 又因为椭圆过点，‎ ‎，‎ 根据，可得，‎ 故椭圆的标准方程为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，属于简单题. 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．‎ ‎3．设满足约束条件则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.‎ ‎【详解】‎ 作出表示的可行域，如图， ‎ 由可得，‎ 将变形为，‎ 平移直线，‎ 由图可知当直经过点时，‎ 直线在轴上的截距最小，‎ 最小值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎4．设，，则x0＝(　　)‎ A．e2 B．e C． D．ln 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意求导，可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ ‎，‎ 故可化为， 故，故选B .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的求导法则，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.‎ ‎5．某个容量为的样本的频率分布直方图如右，则在区间[4, 5）上的数据的频数 为 （ ）‎ A．70 B． ‎ C．30 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由频率分布直方图求得各组的频率，即可计算出在区间[4，5）上的数据所占的频率，用其自乘以容量即可得到所求的频数 解答：解：由图，各组的频率分别为0.05，0.1，0.15，x，0.4， 故x=1-0.05-0.1-0.15-0.4=0.3 在区间[4，5）上的数据的频数为为100×0.3=30 故选C 点评：本题考查频率分布直方图的理解，求解本题的关键是知道直方图中各个小正方形的面积和为1，由此求出区间[4，5）上的数据的频率，进而算出频数．‎ ‎6．下列四个数中，数值最小的是(　　)‎ A．25 B．111 C．11 100(2) D．10 111(2)‎ ‎【答案】D ‎【解析】将四个答案中的二进制均转化为十进制的数,比较大小可得结果.‎ ‎【详解】‎ 将二进制化为十进制，可得 ‎，‎ 因为，‎ 所以数值最小的是，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 由二进制转化为十进制的方法,我们只要依次累加各位数字上的数乘以该数位的权重,即可得到十进制数；二进制、八进制、十进制与十六进制，它们之间区别在于数运算时是逢几进一位，比如二进制是逢进一位，十进制也就是我们常用的是逢进一位.‎ ‎7．已知命题若是实数，则是的充分不必要条件；命题 “” 的否定是“”，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】“”是“”的既不充分也不必要条件，所以为假命题；“ ”的否定是“”，所以为假命题；因此为真命题.故选择D.‎ ‎8．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间。已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是( )‎ A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 ‎【答案】D ‎【解析】从图象可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用该药物的血药浓度应大于最低有效浓度，药物发挥治疗作用，A正确；第一次服药后3小时与第2次服药1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，B正确，D错误；服药5.5小时后，血药浓度小于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，正好能发挥作用，C正确．故选D．‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的的值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：输入第一次符合条件，得到第二次符合条件，得到第三次符合条件，得到第四次不符合条件，输出，结束. 选.‎ ‎【考点】算法与程序框图.‎ ‎10．已知定义在R上的函数的图象如图所示,则的解集为(　　)‎ A．(-∞,0)∪(1,2) B．(1,2)‎ C．(-∞,1) D．(0,1)∪(2,+∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图可知时，函数递减，此时或，或者当时，，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 不等式等价为当时， , ‎ 即时，函数递减，此时或，‎ 或者当时，,‎ 即时，函数递增，此时，‎ 所以不等式的解集为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的求解，考查函数单调性和导函数符号之间的关系，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎11．设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：，，，，所以，根据,所以 ‎,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，故选C.‎ ‎【考点】双曲线的性质 ‎12．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：选项A中，令 具有性质，故选A.‎ ‎【考点】导数及其性质.‎ 二、填空题 ‎13．直线被圆截得的弦长为________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】圆心到直线y=x距离为 ，所以弦长为 ‎ 点睛：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 ‎(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．‎ ‎14．在上随机取两个实数，则满足不等式的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出不等式组 表示的平面区域，结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，画出不等式组表示的平面区域，如图所示，‎ 在上随机取两个实数，则满足不等式的概率为 ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎15．抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义，问题转化为求的最小值，根据平面几何知识,当三点共线时最小，由此即可求出的最小值，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点为，点，‎ 求周长的最小值，即求的最小值，‎ 设点在准线上的射影为，‎ 根据抛物线的定义，可知，‎ 因此，的最小值，即的最小值，‎ 根据平面几何知识,可得当三点共线时最小，‎ 因此最小值为，‎ ‎，‎ 周长的最小值为，故答案为12.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.‎ ‎16．是定义在上的函数,其导函数为．若，则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式,令，根据，利用导数研究函数的单调性，结合，由单调性即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 不等式,‎ 令， ‎ ‎，‎ 函数在上单调递增，而，‎ ‎，‎ 不等式的解集为，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.‎ 三、解答题 ‎17．某公司的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据(由资料显示y与x呈线性相关关系)：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ 根据上表提供的数据得到回归方程中的 ‎（1）求；‎ ‎（2）预测销售额为105万元时约需多少万元的广告费．‎ ‎【答案】（1）（2）万元 ‎【解析】（1）先求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，根据所给的的值，写出线性回归方程，把样本中心点代入求出的值；（2）由（1）可得线性回归方程，将代入所求的回归方程，可预测销售额为万元时所需的广告费.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎，‎ 这组数据的样本中心点是， ‎ ‎，所以 ‎ 把样本中心点代入得 ‎ 解得 ，‎ ‎(2)由（1）可得线性回归方程是 ，‎ 当时，,‎ 预测销售额为105万元时约需15万元的广告费.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎18．交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为，早高峰时段，基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵，从某市交通指挥中心随机选取了二环以内个交通路段，依据交通指数数据绘制直方图如图所示．‎ ‎（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；‎ ‎（2）现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，求选中路段中恰有一个路段的交通指数的概率．‎ ‎【答案】（1）中位数，平均数；（2）.‎ ‎【解析】(1)频率直方图中，根据直方图左右两边面积相等处横坐标能估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数；每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；(2)由题知严重拥堵中交通指数的有4个，记为，交通指数的有2个,记为，从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，利用列举法能求出恰有一个路段的交通指数的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1)频率直方图中，对应的小矩形最高 ,‎ 据此直方图能估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数；‎ 由频率直方图能估计早高峰时段交通拥堵指数的平均数为 ‎.‎ ‎ (2)由题知严重拥堵中交通指数的有4个，记为，‎ 交通指数的有2个,记为，‎ 从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，‎ 基本事件总数有15个，分别为：‎ ‎，‎ ‎，‎ 选中路段中选中路段中恰有一个路段的交通指数包含的基本事件有8个，‎ 分別为：，‎ 恰有一个路段的交通指数的概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.‎ ‎19．已知圆C与y轴相切，圆心C在直线上，且截直线的弦长为,求圆C的方程.‎ ‎【答案】；.‎ ‎【解析】根据圆心在直线上，可设圆心为，根据圆与轴相切，得到圆的半径，根据勾股定理求出的值，可得到圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 圆心在直线上，‎ 可设圆心为，‎ 又圆与轴相切，‎ 圆的半径，‎ 因为圆截直线的弦长为,‎ ‎，解得，‎ 圆心为或，半径为，‎ 所求圆的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的方程和性质、直线与圆的位置关系，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③‎ 待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.‎ ‎20．椭圆的左、右焦点分别为、，，、分别是椭圆的上下顶点，且的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线不经过点，且与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2），详见解析.‎ ‎【解析】（1）根据椭圆，、分别是椭圆的上下顶点，的面积为1.，结合性质 ，列出关于，的方程组，求出 、 即可得结果；（2）由，根据平面向量数量积公式，结合韦达定理可得，求得的值，即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，、分别是椭圆的上下顶点，且的面积为1.‎ 所以，且，‎ 解得 椭圆方程： .‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ 因为以为直径的圆经过点，‎ 所以，‎ 即 ‎，‎ 结合 ‎ 可得 ‎ 解得或 又直线不经过，所以，，直线定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程与简单性质以及直线与椭圆的位置关系、直线过定点问题，属于难题. 判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.‎ ‎21．已知函数 ， .‎ ‎（1）若存在极值点1，求的值；‎ ‎（2）若存在两个不同的零点，求证： （为自然对数的底数， ）.‎ ‎【答案】(1) ；(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由存在极值点为1，得，可解得a.‎ ‎（2）函数的零点问题，实质是对函数的单调性进行讨论， 时， 在上为增函数（舍）；当时，当时， 增，当时， 为减，又因为存在两个不同零点，所以，解不等式可得.‎ 试题解析：(1) ，因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以. ‎ ‎(2) ‎ ‎①当时， 恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；‎ ‎②当时，由得，‎ 当时， ，所以为增函数，‎ 当时， ，所为增函减数，‎ 所以当时， 取得极小值 又因为存在两个不同零点，所以，即 整理得，令， ， 在定义域内单调递增， ，由知，故成立.‎