【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第一章 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件学案
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、知识梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p q且q p
[注意] 不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．
常用结论
1．充要条件的两个结论
(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r
的充分不必要条件．
(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．
2．一些常见词语及其否定
词语
是
都是
都不是
等于
大于
否定
不是
不都是
至少一个是
不等于
不大于
二、习题改编
1．(选修11P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )
A．“若x
y，则x2>y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”
解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.
2．(选修11P10练习T3(2)改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(5)q不是p的必要条件时，“p q”成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
二、易错纠偏
(1)不明确命题的条件与结论；
(2)对充分必要条件判断错误；
(3)含有大前提的命题的否命题易出错．
1．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( )
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．
2．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
解析：綈p：a≥0；綈q：a2≤a，即0≤a≤1，故綈p是綈q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
3．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．
答案：存在a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.
四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)
(2020·长春质量检测(二))命题“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【解析】 命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－10)；q：x<或x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______．
解析：因为p是q的充分不必要条件，又m>0，所以≤，所以00)．若綈p是綈q的充分不必要条件，则m的取值范围为______．
【解析】 条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤1＋m，又綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．故有，所以0b2”是“a>b”的充分条件
B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件
解析：选C.对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是ab，但是a2bc2得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是ab，但是|a|<|b|，
所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选C.
4．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．
A．①③ B．②
C．②③ D．①②③
解析：选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．
5．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件．
解析：因为(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0 x＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2⇒(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分条件．
答案：必要不充分
6．已知命题p：x≤1，命题q：<1，则綈p是q的______．
解析：由题意，得綈p：x>1，q：x<0或x>1，故綈p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要条件
7．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，
当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得
解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
8．已知命题p：(x＋3)(x－1)>0；命题q：x>a2－2a－2.若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：已知p：(x＋3)(x－1)>0，可知p：x>1或x<－3，因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，得a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，即a∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
[综合题组练]
1．(创新型)(2020·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是( )
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.
2．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x，y∈R，则“x＋y≤1”是“x≤且y≤”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当“x＋y≤1”时，如x＝－4，y＝1，满足x＋y≤1，但不满足“x≤且y≤”．当“x≤且y≤”时，根据不等式的性质有“x＋y≤1”．故“x＋y≤1”是“x≤且y≤”的必要不充分条件．故选B.
3．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x的不等式|x－1|3 D．a≥3
解析：选D.|x－1|0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．
解析：当x<0时，x＋≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．
答案：②④
