湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试 高二数学试卷（B卷）‎ 第Ⅰ卷选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，再计算得到答案.‎ ‎【详解】由已知得，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题型.‎ ‎2.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用命题的否定定义得到答案.‎ ‎【详解】命题“，”的否定是：，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生对于命题否定的掌握情况.‎ ‎3.已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 焦点在轴上 B. 渐近线方程为 C. 虚轴长为4 D. 离心率为 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程确定双曲线焦点、渐近线方程、虚轴长以及离心率，再判断得到答案.‎ ‎【详解】双曲线的方程为，则双曲线焦点在轴上；渐近线方程为；‎ 虚轴长为；离心率为，判断知正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的焦点，渐近线，虚轴长和离心率，意在考查学生对于双曲线基础知识的掌握情况.‎ ‎4.设，是实数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.‎ 考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.‎ ‎5.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用单调性分别判断与0,1的大小关系得到答案.‎ ‎【详解】，，.故 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了数值的大小比较，通过比较与0,1的大小关系是解题的关键.‎ ‎6.有下列四个命题 ‎①“若，则”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若，则无实根”；④“若，则”的逆否命题.‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别写出①的逆命题，②的否命题，计算③的判别式，④逆否命题与原命题同真同假，分别判断得到答案.‎ ‎【详解】①逆命题是“若，则”，应是，故①错；②的否命题是“如果两个三角形不全等，则它们的面积不相等”，错；③判别式，有实根；④由逆否命题与原命题同真同假，若，则，④错 故选：D ‎【点睛】本题考查了逆命题，否命题，逆否命题，原命题的真假，意在考查学生的推断能力.‎ ‎7.记为等差数列的前项和.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件得到公差与首项的方程组，计算得到答案.‎ ‎【详解】设数列公差为，由题意得，所以 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎8.已知向量，满足，，，的夹角是，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，，，的夹角是，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎9.若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 方程化为y＝ax＋b和.从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，＋∞)，‎ 但B中直线有a<0，b<0矛盾，应排除；D中直线有a<0，b>0矛盾，应排除；‎ 再看A中双曲线的a<0，b>0，但直线有a>0，b>0，也矛盾，应排除；‎ C中双曲线的a>0，b<0和直线中a，b一致．选C.‎ ‎10.已知函数是奇函数，其中，则函数的图象（ ）‎ A. 关于轴对称 B. 关于点对称 C. 可由函数的图象向右平移个单位得到 D. 可由函数的图象向左平移个单位得到 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据奇函数得到，化简得到，再依次判断每个选项的正误得到答案.‎ ‎【详解】函数是奇函数，为奇函数，故为偶函数.‎ 则，其中，故∴‎ ‎，‎ 则函数的图象可由函数 的图象向左平移个单位得到的，C，D错；‎ 由，得，时，正确；‎ 由，得，无整数解，错误.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的对称性和平移，根据奇函数得到是解题的关键.‎ ‎11.已知是两个定点，点是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且，记和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，不妨令 在双曲线的右支上 由双曲线的定义   ① 由椭圆的定义   ② 又 故  ③‎ ‎ 得 ④ 将④代入③得 即 ‎ 即 ‎ 故选D ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程．‎ ‎12.已知函数，若数列满足，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题中条件可求出数列的前几项，结合递推关系可知数列从第三项起构成周期数列，则，即可得到答案。‎ ‎【详解】由题意，，，则，，，，，‎ 故数列从第三项起构成周期数列，周期为3，故.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的递推关系，考查了周期数列，考查了分段函数，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于基础题。‎ 第Ⅱ卷非选择题（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.从2名男同学和1名女同学中任选2名同学参加社区服务，则选中的2人恰好是1名男同学和1名女同学的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将2名男同学分别记为，1名女同学分别记为 ‎，写出所有情况和满足条件的情况，相除得到答案.‎ ‎【详解】将2名男同学分别记为，1名女同学分别记为.所有可能情况有：‎ ‎，，，共3种.合题意的有，，2种.所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题型.‎ ‎14.若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件得到圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式得到答案.‎ ‎【详解】依题意圆心到直线的距离，解得 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，根据恰有3个点判断直线和圆的位置关系是解题的关键，意在考查学生的计算能力.‎ ‎15.若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR| 的最大值是 ．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．‎ ‎16.从椭圆上的动点作圆的两条切线，切点为和，直线与轴和轴的交点分别为和，则面积的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，计算出切线方程得到的方程为，表示出面积为，再利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】设，，，‎ 直线和的方程分别为，.‎ 因点在和上，所以，.‎ 可知两点坐标满足方程，所以直线的方程为 可得直线与轴和轴的交点分别为和，‎ 所以的面积是.‎ 因为，又，所以.‎ 所以 当且仅当时，面积取得最小值.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥曲线中面积的最值问题，表示出是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“方程表示双曲线”.‎ ‎（1）若是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题和都是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据方程表示焦点在轴上的椭圆得到，计算得到答案.‎ ‎（2）命题为真命题时满足或，求交集得到答案.‎ ‎【详解】（1）命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”，则，解得.‎ ‎（2）命题：“方程表示双曲线”，则，解得或.‎ 若“和”都是真命题，，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数范围，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18.的内角的对边分别为，设.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理得到得到答案.‎ ‎（2）根据正弦定理得到，，代入化简计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）由已知得，‎ 由正弦定理得，‎ 由余弦定理得因为，所以.‎ ‎（2）由（1）知，，由题意及正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，，，.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.‎ ‎19.某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：‎ 员工编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 年薪（万元）‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6.5‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎8.5‎ ‎9‎ ‎51‎ ‎（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；‎ ‎（2）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元、5.5万元、6万元、8.5万元，预测该员工第六年的年薪为多少？‎ 附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，，其中、为样本均值.‎ ‎【答案】（1）平均值为11万元，中位数为7万元（2）预测该员工年后的年薪收入为10.9万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用平均数和中位数的定义计算得到答案.‎ ‎（2）设分别表示工作年限及相应年薪，利用公式直接计算得到回归方程，代入数据计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）平均值 万元，中位数为7万元.‎ ‎（2）设分别表示工作年限及相应年薪，则，，‎ ‎，‎ 由线性回归方程：，时，‎ 可预测该员工年后的年薪收入为10.9万元.‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎20.已知数列中，，，其前项和满足.‎ ‎（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）变换得到即，得到证明，计算得到答案.‎ ‎（2）计算得到，利用错位相减法计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）由已知，‎ 即，且.‎ ‎∴数列是以为首项，公差为1的等差数列.‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）知，它的前项和为 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（1）（2）：‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的证明，数列的通项公式及错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.‎ ‎21.已知圆过点，且与圆关于直线对称．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过点作两条相异直线分别与圆相交于，且直线和直线的倾斜角互补，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）直线和一定平行；‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：（1）依题意，可设圆方程为，且、满足方程组 ‎ ‎ 由此解得．又因为点在圆上，所以 ‎．故圆的方程为． ‎ ‎（2）设则，且= ‎ 设，则由与圆相交，求得的取值范围为[-2，2]‎ 则的最小值为了 ‎ 或者令,,则=‎ 因为，则的最小值为了 ‎ ‎（3）由题意可知，直线和直线的斜率存在且互为相反数，‎ 故可设所在的直线方程为，所在的直线方程为． ‎ 由消去，并整理得 ：‎ ‎． ①‎ 设，又已知P的横坐标1一定是该议程的根，则、1为方程①的两相异实数根，由根与系数的关系得．同理，若设点B，则可得． ‎ 于是＝=1． ‎ 而直线的斜率也是1，且两直线不重合，因此，直线与平行．‎ ‎22.已知动圆过定点，并且内切于定圆.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）若上存在两个点，，（1）中曲线上有两个点，，并且，，三点共线，，，三点共线，，求四边形的面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据几何关系得到，得到轨迹为椭圆，代入数据计算得到答案.‎ ‎（2）直线斜率不存在时，直接计算面积为；当斜率存在时，设 ‎，联立方程，根据韦达定理得到，再利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】（1）设动圆的半径为，则，，所以，‎ 由椭圆的定义知动圆圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆 ‎，，所以，动圆圆心的轨迹方程是.‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，直线的斜率为0，易得，，四边形的面积.‎ 当直线斜率存在时，设其方程为 联立方程得，消元得 设，，则 ‎.‎ ‎∵，∴直线的方程为 ‎，得 设，，则 四边形的面积，‎ 令，，上式 令，‎ ‎，∴，∴‎ 综上所述：最小值为24.‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程，面积的最值，意在考查学生的计算能力，忽略斜率不存在的情况是容易犯的错误.‎ ‎ ‎