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文档介绍
2019高三数学(人教A版理)一轮课时分层训练46 利用空间向量证明平行与垂直
课时分层训练(四十六) 利用空间向量证明平行与垂直 (对应学生用书第318页) A组 基础达标 (建议用时:30分钟) 一、选择题 1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α相交 B [∵n=-2a, ∴a与平面α的法向量平行,∴l⊥α.] 2.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ).若a,b,c三向量共面,则实数λ等于( ) A. B. C. D. D [由题意得c=ta+μb =(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ), ∴ ∴] 3.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是( ) 【导学号:97190253】 A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 D [∵=λ+μ, ∴、、共面, ∴AB与平面CDE平行或在平面CDE内.] 4.(2017·西安月考)如图778,F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有( ) 图778 A.B1E=EB B.B1E=2EB C.B1E=EB D.E与B重合 A [分别以DA、DC、DD1为x、y、z 轴建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),=(0,1,-2),=(2,2,z),∵·=0×2+1×2-2z=0,∴z=1,∴B1E=EB.] 5.如图779所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则: 图779 ①A1M∥D1P; ②A1M∥B1Q; ③A1M∥平面DCC1D1; ④A1M∥平面D1PQB1. 以上说法正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 C [=+=+,=+=+,∴∥,所以A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.①③④正确.] 二、填空题 6.如图7710所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________. 图7710 垂直 [以A为原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M,O,N,·=·=0,∴ON与AM垂直.] 7.(2017·广州质检)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________. α∥β [设平面α的法向量为m=(x,y,z), 由m·=0,得x·0+y-z=0⇒y=z, 由m·=0,得x-z=0⇒x=z,取x=1, ∴m=(1,1,1),m=-n, ∴m∥n,∴α∥β.] 8.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y=________. 【导学号:97190254】 [由条件得 解得x=,y=-,z=4, ∴x+y=-=.] 三、解答题 9.如图7711,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.证明:平面PQC⊥平面DCQ. 图7711 [证明] 如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA,DP,DC分别为x轴,y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. 依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0), 则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0). ∴·=0,·=0. 即PQ⊥DQ,PQ⊥DC, 又DQ∩DC=D,∴PQ⊥平面DCQ, 又PQ⊂平面PQC,∴平面PQC⊥平面DCQ. 10.(2017·郑州调研)如图7712所示,四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=,E为PD上一点,PE=2ED. 图7712 (1)求证:PA⊥平面ABCD; (2)在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF∥平面AEC?若存在,指出F点的位置,并证明;若不存在,说明理由. [解] (1)证明:∵PA=AD=1,PD=, ∴PA2+AD2=PD2, 即PA⊥AD. 又PA⊥CD,AD∩CD=D,∴PA⊥平面ABCD. (2)以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1), E,=(1,1,0),=.设平面AEC的法向量为n=(x,y,z), 则 即令y=1, 则n=(-1,1,-2). 假设侧棱PC上存在一点F,且=λ(0≤λ≤1), 使得BF∥平面AEC,则·n=0. 又∵=+=(0,1,0)+(-λ,-λ,λ)=(-λ,1-λ,λ), ∴·n=λ+1-λ-2λ=0,∴λ=, ∴存在点F,使得BF∥平面AEC,且F为PC的中点. B组 能力提升 (建议用时:15分钟) 11.如图7713,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( ) 图7713 A.(1,1,1) B. C. D. C [设AC与BD相交于O点,连接OE,由AM∥平面BDE,且AM⊂平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,∴AM∥EO, 又O是正方形ABCD对角线交点, ∴M为线段EF的中点. 在空间坐标系中,E(0,0,1),F(,,1). 由中点坐标公式,知点M的坐标.] 12.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是________. 【导学号:97190255】 ①②③ [∵·=0,·=0, ∴AB⊥AP,AD⊥AP, 则①②正确. 又与不平行, ∴是平面ABCD的法向量,则③正确. ∵=-=(2,3,4),=(-1,2,-1), ∴与不平行, 故④错误.] 13.(2017·北京房山一模)如图7714,四棱锥PABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点. 图7714 求证:(1)PB∥平面EFH; (2)PD⊥平面AHF. [证明] 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. ∴A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,2,0),D(0,2,0), P(0,0,2),E(0,0,1), F(0,1,1),H(1,0,0). (1)∵=(2,0,-2),=(1,0,-1), ∴=2,∴PB∥EH. ∵PB⊄平面EFH,且EH⊂平面EFH, ∴PB∥平面EFH. (2)∵=(0,2,-2),=(1,0,0),=(0,1,1), ∴·=0×0+2×1+(-2)×1=0, ·=0×1+2×0+(-2)×0=0, ∴PD⊥AF,PD⊥AH. 又∵AF∩AH=A,∴PD⊥平面AHF.查看更多