数学卷·2018届辽宁省盘锦高中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届辽宁省盘锦高中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年辽宁省盘锦高中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．等差数列{an}中，若a2+a8=15﹣a5，则a5的值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎2．“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是（　　）‎ A．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y全不为0‎ B．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0‎ C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2+y2=0‎ D．若x，y∈R且xy≠0，则x2+y2≠0‎ ‎3．若点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（﹣1，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎4．下列命题错误的是（　　）‎ A．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件 B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x=1，则x2﹣3x+2≠0”‎ C．对命题：“对∀k＞0，方程x2+x﹣k=0有实根”的否定是：“∃k＞0，方程x2+x﹣k=0无实根”‎ D．若命题P：x∈A∪B，则￢P是x∉A且x∉B ‎5．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（　　）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 ‎6．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎7．如果实数x、y满足，目标函数z=kx+y的最大值为12，最小值3，那么实数k的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．不存在 ‎8．已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），P是此椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该椭圆的方程是（　　）‎ A． +y2=1 B． +y2=1 C．x2+=1 D．x2+=1‎ ‎9．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5‎ ‎10．椭圆上上一点p到两焦点距离之积为m，则m取最大值时，p点的坐标是（　　）‎ A．或 B．或 C．（5，0）或（﹣5，0） D．（0，3）或（0，﹣3）‎ ‎11．过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎12．已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数．若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡上．‎ ‎13．已知变量x，y满足，则的取值范围是　　．‎ ‎14．在各项为正数的等比数列{an}中，已知a3+a4=11a2a4，且前2n项的和等于它的前2n项中偶数项之和的11倍，则数列{an}的通项公式an=　　．‎ ‎15．设椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，如果在椭圆上存在一点p，使∠F1PF2为钝角，则椭圆离心率的取值范围是　　．‎ ‎16．已知ab=，a，b∈（0，1），则+的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题卡的对应位置．（共70分．）‎ ‎17．设条件p：“|x﹣a|≤1”，条件q：“（x﹣2）（x﹣3）≤0”‎ ‎（1）当a=0时，判断p是q的什么条件；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2（+），a3+a4=32（+）．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=an2+log2an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎19．已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x﹣2y=0上．‎ ‎（Ⅰ）求此椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．‎ ‎20．已知命题p：∃x0∈[﹣1，1]，满足x02+x0﹣a+1＞0，命题q：∀t∈（0，1），方程x2+=1都表示焦点在y轴上的椭圆．若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{bn}满足anbn=log3an，数列{bn}的前n项和为Tn．求|Tn﹣|．‎ ‎22．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过两点．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若椭圆E的左、右焦点分别是F、H，过点H的直线l：x=my+1与椭圆E交于M、N两点，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省盘锦高中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．等差数列{an}中，若a2+a8=15﹣a5，则a5的值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等差数列的性质化简已知的式子，从而求出a5的值．‎ ‎【解答】解：由题意得，a2+a8=15﹣a5，‎ 所以由等差数列的性质得a2+a8=2a5=15﹣a5，‎ 解得a5=5，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是（　　）‎ A．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y全不为0‎ B．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0‎ C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2+y2=0‎ D．若x，y∈R且xy≠0，则x2+y2≠0‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的题设，得到否命题的题设，再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的结论，得到否命题的结论．由此能够得到命题“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题．‎ ‎【解答】解：先否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的题设，‎ 得到否命题的题设“若x，y∈R且x2+y2≠0”，‎ 再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的结论，‎ 得到否命题的结论“则x，y不全为0”．‎ 由此得到命题“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是：‎ 若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．若点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（﹣1，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】直接利用已知条件判断点与不等式的关系，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，‎ 可知（2，﹣3）满足x﹣y≥0，满足x+y﹣2≤0，‎ 所以不满足ax﹣y﹣1≤0，即2a+3﹣1＞0，解得a＞﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．下列命题错误的是（　　）‎ A．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件 B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x=1，则x2﹣3x+2≠0”‎ C．对命题：“对∀k＞0，方程x2+x﹣k=0有实根”的否定是：“∃k＞0，方程x2+x﹣k=0无实根”‎ D．若命题P：x∈A∪B，则￢P是x∉A且x∉B ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】A、解出不等式“x2﹣3x+2＞0的解集，再根据充分必要条件进行判断；‎ B、根据逆否命题的定义，进行判断；‎ C、根据否命题的定义，进行判断；‎ D、D中的x∈A∪B即x∈A或B，否命题中同时不或否定为且．‎ ‎【解答】解：x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣若x＞2，则x﹣＞，所以（x﹣）2﹣＞0，所以x＞2是x2﹣3x+2＞0的充分条件，由x2﹣3x+2＞0，得x＜1，x＞2，所以x＞2是x2﹣3x+2＞0的不必要条件，故A正确．‎ 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是，“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故B不正确．‎ ‎“对∀k＞0，方程x2+x﹣k=0有实根”的否定是，“∃x＞0，方程x2+x﹣k=0无实根”故C正确．‎ 命题p：x∈A∪B，即x∈A或x∈B，所以其否定为x∉A且x∉B，故D正确．‎ 故选B；‎ ‎　‎ ‎5．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（　　）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 ‎【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程．‎ ‎【分析】已知椭圆的焦点和椭圆上的一个动点，由椭圆定义有|PF1|+|PF2|=2a，又|PQ|=|PF2|，代入上式，可得|F1Q|=2a．再由圆的定义得到结论．‎ ‎【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a，‎ ‎|PQ|=|PF2|，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a．‎ 即|F1Q|=2a．‎ ‎∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，‎ ‎∴动点Q的轨迹是圆．‎ 故选A ‎　‎ ‎6．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，‎ 所以a4a5a6=5．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．如果实数x、y满足，目标函数z=kx+y的最大值为12，最小值3，那么实数k的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．不存在 ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再通过对斜率的分类讨论得到最大最小值点，与原题相结合即可得到答案．‎ ‎【解答】解：可行域如图：得：A（1，4.4），B（5，2），C（1，1）．‎ 所以：l1：x﹣4y+3=0的斜率k1=；L2：3x+5y﹣25=0的斜率k2=﹣．‎ ‎①当﹣k∈（0，）时，C为最小值点，A为最大值点；‎ ‎②当﹣k＞时，C为最小值点，A为最大值点，； ‎ ‎③当﹣＜﹣k＜0时，C为最小值点，A为最大值点，；‎ ‎④当﹣k＜﹣时，C为最小值点，B为最大值点，‎ 由④得k=2，其它情况解得不符合要求．‎ 故k=2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），P是此椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该椭圆的方程是（　　）‎ A． +y2=1 B． +y2=1 C．x2+=1 D．x2+=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据已知条件得：，所以，这样即可根据椭圆的定义求出a2，因为c2=5，所以可求出b2，所以椭圆的标准方程就可求出．‎ ‎【解答】解：如图，根据已知条件知：，‎ ‎∵|PF1||PF2|=2；‎ ‎∴=；‎ ‎∴a2=6，b2=6﹣5=1；‎ ‎∴椭圆的标准方程为：．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．‎ ‎【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a≥x2，恒成立 即只需a≥（x2）max=4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，‎ 而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．‎ 故选C ‎　‎ ‎10．椭圆上上一点p到两焦点距离之积为m，则m取最大值时，p点的坐标是（　　）‎ A．或 B．或 C．（5，0）或（﹣5，0） D．（0，3）或（0，﹣3）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆的方程，得|PF1|+|PF2|=2a=10，结合基本不等式可知：当且仅当|PF1|=|PF2|=5时，点P到两焦点的距离之积为m有最大值25，并且此时点P位于椭圆短轴的顶点处，可得点P坐标为（0，3）或（0，﹣3）．‎ ‎【解答】解：∵椭圆方程，∴椭圆的a=5，b=3‎ 设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，得|PF1|+|PF2|=2a=10‎ ‎∵|PF1|+|PF2|≥2‎ ‎∴点P到两焦点的距离之积m满足：m=|PF1|×|PF2|≤（）2=25‎ 当且仅当|PF1|=|PF2|=5时，m有最大值25‎ 此时，点P位于椭圆短轴的顶点处，得P（0，3）或（0，﹣3）‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，由此能求出△POQ面积最小值．‎ ‎【解答】解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），‎ ‎∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，‎ ‎∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，‎ ‎∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，‎ ‎∴P（，0），Q（0，），‎ ‎∴△POQ面积S==×，‎ ‎∵﹣1≤sin2θ≤1，‎ ‎∴当sin2θ=1时，△POQ面积取最小值．‎ ‎　‎ ‎12．已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数．若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：根据题意：a2=a1+d=2d，a3=a1+2d=3d，b2=b1q=d2q，b3=b1q2=d2q2‎ ‎∴=‎ ‎∵是正整数，q是小于1的正有理数．‎ 令=t，t是正整数，则有q2+q+1=‎ ‎∴q=‎ 对t赋值，验证知，当t=8时，有q=符合题意 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡上．‎ ‎13．已知变量x，y满足，则的取值范围是　[，]　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出可行域，变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，数形结合可得．‎ ‎【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），‎ 变形目标函数可得==1+，‎ 表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，‎ 由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；‎ 当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=；‎ 故答案为：[，]‎ ‎　‎ ‎14．在各项为正数的等比数列{an}中，已知a3+a4=11a2a4，且前2n项的和等于它的前2n项中偶数项之和的11倍，则数列{an}的通项公式an=　　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由前2n项的和等于它的前2n项中偶数项之和的11倍，得到前两项的关系，设a1=m，比例为k，求出k的值，进而求出m的值，即可确定出数列的通项公式．‎ ‎【解答】解：由前2n项的和等于它的前2n项中偶数项之和的11倍，得：a1+a2=11a2，即a2=0.1a1，‎ 设a1=m，比例为k，可得k=0.1，‎ 则有a3+a4=m（k2+k3）=11a2a4=11m2k4，即1+k=11mk2，‎ ‎∴1.1=11m×0.01，即m=10，‎ 则an=10×0.1n﹣1=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．设椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，如果在椭圆上存在一点p，使∠F1PF2为钝角，则椭圆离心率的取值范围是　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由∠F1PF2为钝角，得到 •＜0有解，转化为c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：设P（x0，y0），则|x0|＜a，‎ 又∠F1PF2为钝角，当且仅当 •＜0有解，‎ 即c2＞x02+y02有解，即c2＞（x02+y02）min．‎ 又y02=b2﹣x02，‎ ‎∴x02+y02=b2+x02∈[b2，a2），‎ 即（x02+y02）min=b2．‎ 故c2＞b2，c2＞a2﹣c2，‎ ‎∴＞，即e＞，‎ 又0＜e＜1，‎ ‎∴＜e＜1．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知ab=，a，b∈（0，1），则+的最小值为　4+　．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】先根据条件消掉b，即将b=代入原式得+，再裂项并用贴“1”法，最后运用基本不等式求其最小值．‎ ‎【解答】解：因为ab=，所以，b=，‎ 因此， +=+‎ ‎=+=+‎ ‎=++2=2（+）+2‎ ‎=（+）[（4a﹣1）+（4﹣4a）]+2‎ ‎= [1+2++]+2‎ ‎≥（3+2）+2=4+，‎ 当且仅当：a=，取“=”，‎ 即， +的最小值为：4+，‎ 故答案为：4+．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题卡的对应位置．（共70分．）‎ ‎17．设条件p：“|x﹣a|≤1”，条件q：“（x﹣2）（x﹣3）≤0”‎ ‎（1）当a=0时，判断p是q的什么条件；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）将a=0代入，分别求出条件p，q对应的x的范围，根据充要条件的定义，可得答案；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，a﹣1≤2，且a+1≥3，解得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=0时，条件p：“|x|≤1”⇔“﹣1≤x≤1”，‎ 条件q：“（x﹣2）（x﹣3）≤0”⇔“2≤x≤3”，‎ 此时p是q的既不充分也不必要条件 ‎（2）条件p：“|x﹣a|≤1”⇔“a﹣1≤x≤a+1”，‎ 若p是q的必要不充分条件，则a﹣1≤2，且a+1≥3，‎ 解得：a∈[2，3]．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2（+），a3+a4=32（+）．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=an2+log2an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由题意，化简已知可得a1a2=2，a3a4=32，两式相比可得公比，进而得首项，易得通项公式；‎ ‎（2）结合（1）可得数列{bn}的通项公式，由分组求和可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵，‎ ‎，‎ 又因为数列{an}各项均为正数．‎ ‎∴a1a2=2，a3a4=32，‎ ‎∴，∴q=2‎ 又a1a2=a1•a1q=2，∴a1=1‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎∴bn=an2+log2an，‎ ‎∴bn=4n﹣1+n﹣1，‎ 前n项和Sn=（1+4+42+…+4n﹣1）+（0+1+2+…+n﹣1）‎ ‎=+n（n﹣1）‎ ‎=+n（n﹣1）．‎ ‎　‎ ‎19．已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x﹣2y=0上．‎ ‎（Ⅰ）求此椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出A、B两点的坐标，由方程组得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x1+x2，y1+y2；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程x﹣2y=0，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l：x﹣2y=0的对称点为（x0，y0），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得x0、y0；代入圆的方程 x02+y02=4，得出b的值，从而得椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则由得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，‎ 由根与系数的关系，得，‎ 且判别式△=4a2b2（a2+b2﹣1）＞0，即a2+b2﹣1＞0（*）；‎ ‎∴线段AB的中点坐标为（）．‎ 由已知得，‎ ‎∴a2=2b2=2（a2﹣c2），∴a2=2c2；故椭圆的离心率为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，从而椭圆的右焦点坐标为F（b，0），‎ 设F（b，0）关于直线l：x﹣2y=0的对称点为（x0，y0），‎ 则且，‎ 解得．‎ 由已知得 x02+y02=4，∴，‎ ‎∴b2=4，代入（Ⅰ）中（*）满足条件 故所求的椭圆方程为．‎ ‎　‎ ‎20．已知命题p：∃x0∈[﹣1，1]，满足x02+x0﹣a+1＞0，命题q：∀t∈（0，1），方程x2+=1都表示焦点在y轴上的椭圆．若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】在命题p中，因为∃x0∈[﹣1，1]，满足，所以只要的最大值满足不等式即可，这样求出该最大值，即可得到a的取值范围．同样根据命题q中的方程表示椭圆，求出a的取值范围．容易判断命题p和q中一真一假，所以分p真，q假和p假，q真讨论，求对应的a的取值范围，然后求这两种情况的并集即可．‎ ‎【解答】解：因为∃x0∈[﹣1，1]，满足，所以只须；‎ ‎∵，∴x0=1时，的最大值为3﹣a，∴3﹣a＞0，所以命题p：a＜3；‎ 因为∀t∈（0，1），方程都表示焦点在y轴上的椭圆，所以t2﹣（2a+2）t+a2+2a+1＞1即t2﹣（2a+2）t+a2+2a=（t﹣a）（t﹣（a+2））＞0对t∈（0，1）恒成立，只须a+2≤0或a≥1，得a≤﹣2或a≥1；‎ 根据已知条件知，p和q中一真一假：‎ 若p真q假，得，即﹣2＜a＜1；‎ 若p假q真，得，得a≥3‎ 综上所述，﹣2＜a＜1，或a≥3；‎ ‎∴a的取值范围为（﹣2，1）∪[3，+∞）．‎ ‎　‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{bn}满足anbn=log3an，数列{bn}的前n项和为Tn．求|Tn﹣|．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当n≥2时，通过an=Sn﹣Sn﹣1计算即得结论；‎ ‎（Ⅱ）通过（I）、利用对数性质可知数列{bn}的通项公式，进而利用错位相减法计算即得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵2Sn=3n+3，‎ ‎∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n+3）﹣（3n﹣1+3）=3n﹣1，‎ 又∵a1=S1=（3+3）=3不满足上式，‎ ‎∴an=；‎ ‎（Ⅱ）由（I）可知bn==，‎ ‎∴Tn=+++…+，‎ ‎∴Tn=+++…++，‎ 两式错位相减得： Tn=+﹣+++…+﹣‎ ‎=﹣+（+++…+）﹣‎ ‎=+﹣‎ ‎=﹣，‎ ‎∴Tn=﹣，‎ ‎∴|Tn﹣|=．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过两点．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若椭圆E的左、右焦点分别是F、H，过点H的直线l：x=my+1与椭圆E交于M、N两点，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）设椭圆E的方程为，由椭圆E经过A（﹣2，0）、两点，知，由此能求出椭圆E的方程．‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设y1＞0，y2＜0，设△FMN的内切圆的半径为R，则S△FMN=4R，当S△FMN最大时，R也最大，△FMN的内切圆的面积也最大，由此能求出△FMN的内切圆的面积的最大值及直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆E的方程为，‎ ‎∵椭圆E经过A（﹣2，0）、两点，‎ ‎∴，‎ ‎∴a2=4，b2=3‎ ‎∴椭圆E的方程为+=1．…‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设y1＞0，y2＜0，‎ 如图，设△FMN的内切圆的半径为R，‎ 则S△FMN=（|MN|+|MF|+|NF|）R ‎= [（|MF|+|MH|）+（|NF|+|NH|）]R=4R，‎ 当S△FMN最大时，R也最大，△FMN的内切圆的面积也最大，‎ ‎∵S△FMN=|FH||y1|+|FH||y2|，|FH|=2c=2，‎ ‎∴S△FMN=|y1|+|y2|=y1﹣y2．‎ 由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，‎ 则△=（6m）2+4×9（3m2+4）＞0恒成立，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴…‎ 设，则t≥1，且m2=t﹣1，‎ ‎∴，‎ 设，则，‎ ‎∵t≥1，∴f'（t）＜0，‎ ‎∴函数f（t）在[1，+∞）上是单调减函数，‎ ‎∴f（t）max=f（1）=3，即S△FMN的最大值是3．‎ ‎∴4R≤3，R，即R的最大值是，‎ ‎∴△FMN的内切圆的面积的最大值是，‎ 此时m=0，直线l的方程是x=1．‎