2019-2020学年安徽省池州市贵池区高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省池州市贵池区高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020 学年安徽省池州市贵池区高一上学期期中数学试 题 一、单选题 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 与 ,根据交集的定义即可求出 . 【详解】 ， ，则 . 故选: . 【点睛】 本题考查交集的运算,难度容易. 2．下列四个图形中，是函数图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断. 【详解】 由函数定义可知,对定义域内的任何一个 ,都有唯一的一个 值与 对应.则由定义可知 不满足函数的定义,因为图象中一个 对应着两个 或多个 ,所以不满足函数 取值的唯一性, 满足函数定义. 故选: . {2, 4, 7, 9}A = {1, 4,6,9}B = A B = {1, 2, 4,6,7,9} {4,9} {1, 2,6,7,} {2,7} A B A B {2, 4, 7, 9}A = {1, 4,6,9}B = {4,9}A B = B x y x , ,A B C x y y D D 【点睛】 本题考查了函数的定义及应用,一对一，多对一是函数关系,一对多不是函数关系,难度容 易. 3．函数 （ 且 ）的图象恒过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】计算当 时， ，得到答案. 【详解】 ，当 时， ，即函数图像恒过定点 故选： 【点睛】 本题考查了函数过定点问题，属于基础题型. 4．函数 的定义域为（ ） A． B． 且 C． 且 D． 【答案】C 【解析】要使函数有意义,则需 ,即可得到定义域. 【详解】 要使函数有意义,则需 ,即 ,解得 且 故选: . 【点睛】 本题考查函数定义域的求法,注意对数的真数大于 ,分式的分母不为 ,难度容易. 5．已知 ， ，若集合 ，则 的值为（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B ( ) 1 2xf x a −= + 0a > 1a ≠ ( )0,3 ( )1,3 ( )1,2− ( )1,3− 1x = ( )1 3f = ( ) 1 2xf x a −= + 1x = ( )1 3f = ( )1,3 B 1( ) lg(2 1)f x x = − 1| 2x x >   1 2x x ≥ }1x ≠ 1 2x x }1x ≠ 1| 2x x ≥   2 1 0,lg(2 1) 0x x− > − ≠ 2 1 0 lg(2 1) 0 x x − >  − ≠ 1 2 2 1 1 x x  >  − ≠ 1 2x x }1x ≠ C 0 0 a R∈ b R∈ { }2, ,1 , ,0ba a a ba   = +   2019 2019a b+ 【解析】根据两集合相等,对应元素相同,列出方程,求出 , 的值即可. 【详解】 且分母 , ,且 . 解得 . 故选: . 【点睛】 本题考查集合的相等关系就是对应的元素要相同,要注意元素的互异性,难度容易. 6．有下列函数：① ；② ；③ ； ④ ，其中是偶函数的有：（　　） A．① B．①③ C．①② D．②④ 【答案】A 【解析】① ，为偶函数；②定义域 关于原 点不对称，非奇非偶函数；③ ，为奇函数；④ ，为奇非偶函数，故选 A. 7．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用指数函数和对数函数图象及单调性即可得出. 【详解】 ,且 , 又 . 故选: . 【点睛】 本题考查指数与对数大小的比较,注意中间量 的灵活应用,难度容易. 8．已知 ，则函数 的大致图像是（ ） a b { }2, ,1 , ,0ba a a ba   = +   0a ≠ 20, 1b a∴ = = 2a a b≠ + 2019 20191 1a a b= − ∴ + = − B 2 3 2y x x= − + 2 , ( 2,2]y x x= ∈ − 3y x= 1y x= − ( ) ( ) ( )2 3 2f x x x f x− = − − − + = ( ]2,2− ( ) ( ) ( )3 3f x x x f x− = − = − = − ( ) ( ) ( ) ( )1 ,f x x f x f x f x− = − − ≠ − ≠ − 1.22a = 0.81 2b − =    2 52logc = a b c， ， c b a< < c a b< < b a c< < b c a< < 0.8 0.8 1.21 2 22b a − = = < =   1b > 5 52log 2 log 4 1c = = < c b a∴ < < A 1 ( 1)f x x− = ( )f x A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用平移变换即可得出函数 的大致图象. 【详解】 , 函数 的图象是由 向左平移一个单位得到. 故选: . 【点睛】 本题考查了函数图象变换的知识,难度容易. 9．若函数 为 R 上的单调递增函数，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先去掉绝对值,将 化简为分段函数 ,根据 分段函数在 上单调递增,借助二次函数的单调性,得到参数 满足的条件,从而求得结 果. 【详解】 由已知可得 ,当 是 上的单调递增函数,则有 且 ,解得: . ( )f x ( 1)f x x− = ∴ ( )f x ( 1)f x − B ( ) | | ( 1)f x x x a x= + − a (1, )+∞ ( , 1]−∞ − [1, )+∞ ( ,1)−∞ ( )f x 2 2 ( 1) 0( ) ( 1) 0 x a x xf x x a x x  + − ≥= − + − < ， ， R a 2 2 ( 1) 0( ) ( 1) 0 x a x xf x x a x x  + − ≥= − + − < ， ， ( )f x R 0 1- 0 x a ≥  ≤ 0 1 0 x a <  − ≥ 1a ≥ 故选: . 【点睛】 本题考查分段函数在 上单调递增,求参数取值范围的问题,考查二次函数图象和性质在 分段函数中的应用,难度一般. 10．己知函数 ，函数 是 的反函数，若正数 满 足 ，则 的值等于（ ） A．4 B．8 C．10 D．32 【答案】C 【解析】由函数 ,函数 是 的反函数,可知 ,由对数的运 算性质可知 ,代 值即可求解. 【详解】 函数 ,函数 是 的反函数,则 , 故选: . 【点睛】 本题考查了反函数的求法及对数的运算求值,难度一般. 11．若函数 在 上的值域为 ，则 在 上的值域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数 h（x），根据函数的奇偶性及对称性即可求解． 【详解】 C R ( ) 3xf x = ( )g x ( )f x 1 2 2018 2019, , , ,x x x x… 1 2 2018 2019 243x x x x⋅ … ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1 2 2017 2018 2019g x g x g x g x g x+ + + + + ( ) 3xf x = ( )g x ( )f x 3( )=logg x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1 2 2017 2018 2019 3 1 2 2018 2019=2logg x g x g x g x g x x x x x+ + + + + ⋅ … ⋅  ( ) 3xf x = ( )g x ( )f x 3( )=logg x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2017 2018 2019 2 3 1 2 2018 2019 3 1 2 2018 2019 3 5 3 =log =2log =2log 243 =2log 3 =10. g x g x g x g x g x x x x x x x x x ∴ + + + + + ⋅ … ⋅ ⋅ … ⋅  C ( ) 3 1f x ax bx= + + [ ],m n [ ]2,4 ( ) 3 2g x ax bx= + − [ ],n m− − [ ]4, 2− − [ ]6, 3− − [ ]1,1− [ ]5, 3− − 函数 在[m,n]上的值域为[2,4]， 设 h（x）＝ = ，则 h（x）在[m,n]上的值域为[1,3]， 且满足 h（﹣x）＝ h（x）， ∴h（x）是定义域 R 上的奇函数；∴h（x）在[ n, m]上的值域为[ 3, 1] 又 g（x）＝h（x） 2，∴g（x）在[ n, m]上的值域为[ 5, 3] 故选：D． 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性的应用问题，构造函数是解题的关键，是基础题． 12．若对于定义在 R 上的函数 ，当且仅当存在有限个非零自变量 x，使得 ，则称 为类偶函数，若函数 为类偶函 数，则 a 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 有有限个非零解,化简为 有有限个非零解，即 ，即可解得答案． 【详解】 根据题意,由 有有限个非零解, 即 有有限个非零解， 即 有有限个非零解, 即 有有限个非零解， 即 , 解得: ， 故选: . 【点睛】 本题考查根的存在性及根的个数判断,函数奇偶性的判断,难度较难. 二、填空题 ( ) 3 1f x ax bx= + + 3ax bx+ ( ) 1f x − ( ) ( )3a x b x− + − = − - − - − - - − - − ( )f x ( ) ( )f x f x− = ( )f x 3 2( ) 3 (2 4)f x x a x a= + − − ( 2,2)− ( , 2)−∞ − (2, )+∞ ( ,2)−∞ ( ) ( )f x f x− = 23 (2 4)=0x a+ − 2 4 0a − < ( ) ( )f x f x− = 3 2 3 2-3 -(2 4) 3 (2 4)x a x a x a x a− − = + − − 33 (2 4) =0x a x+ − 23 (2 4)=0x a+ − 2 4 0a − < 2a < D 13．设函数 ，则 ______. 【答案】2 【解析】根据分段函数解析式分别求出 ,进而求出 的值. 【详解】 , . 故答案为: . 【点睛】 本题考查分段函数求函数值,难度容易. 14．函数 （常数 ）为奇函数且在 是减函数，则 ______. 【答案】 【解析】函数 （常数 ）为奇函数且在 是减函数,则 , 求出 的取值范围,再验证得出 的值,即可得出 的解析式. 【详解】 函数 （常数 ）在 是减函数, ,即 ,又 , 或 ; 当 时, ,为偶函数,不满足条件; 当 时, ,为奇函数,满足条件. 故答案为: . 【点睛】 本题考查幂函数的单调性与奇偶性,难度较易. 15．若函数 在区间 有最小值 ，则实数 =_______. 【答案】 或 2 【解析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出 的值. 1 , 1( ) 1, 1 xf x x x  ≥=   < (0) (1)f f+ = (0), (1)f f (0) (1)f f+ 1 , 1( ) 1, 1 xf x x x  ≥=   <  (0)=1, (1)=1f f∴ (0)+ (1)=2f f∴ 2 3 9( ) af x x −= *Na∈ (0, )+∞ ( )f x = 3x− 3 9( ) af x x −= *Na∈ (0, )+∞ 3 9 0a − < a a ( )f x  3 9( ) af x x −= *Na∈ (0, )+∞ ∴ 3 9 0a − < 3a < *Na∈ ∴ =1a =2a =1a 6( )f x x−= =2a 3( ) −=f x x 3x− 1log 12ay x = +   3 ,62  −   -2 a 1 2 a 【详解】 当 时, 在 为增函数, ,求得 ,即 ; 当 时, 在 为减函数, ,求得 ,即 . 故答案为: 或 . 【点睛】 本题考查复合函数单调性,对数方程的解法,难度一般. 16．规定 为不超过 x 的最大整数，对任意实数 x，令 ， ， .若 ， ，则 x 的取值范围是 ________. 【答案】 【解析】由 , ,可知 , , 可知 ,即 ,所以 求出不等式解集即可. 【详解】 因为 , ,即 所以 ; 因为 , , 所以 ,即 ,所以 ,又 即 ， 解得: 综上: . 故答案为: 【点睛】 本题考查了取整函数求 取值范围问题,考查了复合函数求解析式问题,难度较难. 1a > 1log 12ay x = +   3 ,62  −   min 3 3log 1 -22 4ay f    = − = − + =       -2 1 4a = =2a 0 1a< < 1log 12ay x = +   3 ,62  −   ( ) ( )min 6 log 3 1 -2ay f= = + = -2 4a = 1= 2a 1 2 2 [ ]x 1( ) [4 ]f x x= ( ) 4 [4 ]g x x x= − 2 1( ) ( ( ))f x f g x= 1( ) 2f x = 2 ( ) 3f x = 11 3,16 4     1( ) [4 ]f x x= 1( ) 2f x = 2 4 3x≤ < 2 ( ) 3f x = 2 1( ) ( ( ))f x f g x= 1( ( ))=3f g x 3 4 ( ) 4g x≤ < 3 4 [4 ] 14 x x≤ − < 1( ) [4 ]f x x= 1( ) 2f x = [4 ]=2x 2 4 3x≤ < 2 ( ) 3f x = 2 1( ) ( ( ))f x f g x= 1( ( ))=3f g x 3 4 ( ) 4g x≤ < 3 4 [4 ] 14 x x≤ − < [4 ]=2x 3 4 2 14 x≤ − < 11 3416 4x≤ < 11 3416 4x≤ < 11 3,16 4     x 三、解答题 17．设 ， . （1）写出集合 A 的所有子集； （2）若 ，求 a 的值. 【答案】（1）∅， ， ， （2） 或-1 或-2 【解析】(1)由题可知 ,即可写出集合 A 的所有子集; (2)由 讨论 , , 三种情况所对应的 a 的值即可. 【详解】 解(1)由题可知 所以集合 A 的所有子集是∅， ， ， (2)当 时， ，当 时， ，当 时， ∴ 或-1 或-2 【点睛】 本题考查子集的定义,集合间的关系,难度较易. 18．计算 （1） （2）已知： ，求 【答案】（1）32（2） 【解析】(1)根据指数和对数的运算法则,直接计算即可得出结果; (2)根据已知方程利用指数运算法则,化简求值即可. 【详解】 解（1）原式 （2）∵ ， ∴原式= 【点睛】 本题考查指数和对数的运算,指数式的化简求值,难度较易. { }2| 3 2 0A x x x= − + = { }| 2 0B x ax= + = B A⊆ { }1 { }2 { }1,2 0a = { }1,2A＝ { }| 2 0B x ax= + = B = ∅ { }1B = { }2B = { }1,2A＝ { }1 { }2 { }1,2 B = ∅ 0a = { }1B = 2a = − { }2B = 1a = − 0a = 1 5 3 4 2 244 10.064 16 log 3 log 24 ( 2) − + + + − 1 1 2 2 3a a −+ = 1 2 2 2 2 a a a a − − + + + − 1 5 5 132 3 322 2 = + + − = 1 7a a−+ = 2 2 47a a−+ = 1 5 19．已知二次函数 ，满足条件 和 . （1）求函数 的解析式； （2）若 ，求函数 在 A 上的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】(1)由 即可得出 ,将 代入 即可解得 ,进而得到 的解析式; (2) 由 的对称轴是 与 的位置关系不确定,故分三种情况讨论,确定 单调性,即可求出函数 在 A 上的最小值. 【详解】 解:（1）∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴ ，解得： ， ， ∴ （2） 的对称轴是 ， 当 ， 当 即 时， 当 即 时， ∴ 【点睛】 本题考查二次函数求解析式问题,讨论确定的二次函数在不确定区间上的最小值问题,难 度一般. 20．已知函数 是定义在 R 上的奇函数. （1）求 的解析式及值域； 2( )f x ax bx c= + + (0) 0f = ( 2) ( ) 4f x f x x− − = − ( )f x [ , 1]( )A m m m R= + ∈ ( )f x 2( ) 2f x x x= + 2 min 2 2 , 1 ( ) 1, 2 1 4 3, 2 m m m f x m m m m  + ≥ −  − − < < −  + + ≤ − (0) 0f = 0c = ( )f x ( 2) ( ) 4f x f x x− − = − ,a b ( )f x ( )f x 1x = − [ , 1]m m + ( )f x 0 0f =（ ） 0c = ( 2) ( ) 4f x f x x− − = − 2 2( 2) ( 2) 4a x b x ax bx x− + − − − =− 4 4 2 4ax a b x− + − = − 4 4 4 2 0 a a b − = −  − = 1a = 2b = 2( ) 2f x x x= + ( )f x 1x = − 1m ≥ − 2 min ( ) ( ) 2f x f m m m= = + 1 1m m< − < + 2 1m− < < − min( ) ( 1) 1f x f= − =− 1 1m + ≤ − 2m ≤ − 2( ) ( 1) 4 3minf x f m m m= + = + + 2 min 2 2 , 1 ( ) 1, 2 1 4 3, 2 m m m f x m m m m  + ≥ −  − − < < −  + + ≤ − ( ) 2 1 2 x af x = − + ( )f x （2）判断 在 R 上的单调性，并用单调性定义予以证明. 【答案】（1） ， （2） 在 R 上是增函数．见解析 【解析】(1)由 是定义在 R 上的奇函数,则有 ,即可解得 , 即可得出 的解析式, 由 ,可知 ,即 ,进而可 求出 值域; (2) 设 ， ,再利用作差法判断 的大小关系即可得证. 【详解】 由题知， ，即： ， ∴ ， ∴ ． 此时 ， ∴ 为奇函数． ∵ ∴ ∴ ∴ （2） 在 R 上是增函数． 证明：设 ， ， 则 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴函数 在 R 上是增函数． 【点睛】 本题考查函数奇偶性,求函数解析式,求函数的值域,利用定义法证明函数的单调性等问 题,难度一般. 21．已知函数 ， . （1）若存在唯一实数 x，使 ，求实数 b 的值； （2）设 ，且 在 上单调递增，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） 或 （2） ( )f x 4( ) 2 1 2 xf x = − + ( ) ( 2, 2)f x ∈ − ( )f x ( ) 2 1 2 x af x = − + (0) 0f = 4a = ( )f x 2 (0, )x ∈ +∞ 1 2 (1, )x+ ∈ +∞ 4 (0,4)1 2x ∈+ ( )f x 1 2,x x R∀ ∈ 1 2x x< ( ) ( )2 1,f x f x (0) 0f = 2 01 2a a− =+ 4a = 4( ) 2 1 2 xf x = − + 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4( ) 2 2 2 ( )1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x xf x f x− ⋅ − ⋅ ⋅ −  − = − = − = = − = − − = − + + + + +  ( )f x 2 (0, )x ∈ +∞ 1 2 (1, )x+ ∈ +∞ 4 (0,4)1 2x ∈+ ( ) ( 2, 2)f x ∈ − ( )f x 1 2,x x R∀ ∈ 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 1 2 1 22 1 4 2 24 4 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x xf x f x − − = − =+ + + + 1 2x x< 2 12 2 0x x− > ( )( )1 21 2 1 2 0x x+ + > ( ) ( )2 1 0f x f x− > ( )f x 2( )f x x= ( ) 1g x x= − ( ) ( )f x bg x= 2( ) ( ) ( ) 4F x f x m g x m m= − ⋅ + − − | ( ) |F x [0,2] 0b = 4b = [ 2, 0] [4, )− ∪ +∞ 【解析】(1)由已知存在唯一实数 x,使 ,即转化为方程 只有 一个根,即 即可求出 . (2)先求得 ,又 在 上单调递增,则有 在 上 单调递增，且 或 在 上单调递减,且 ，即可求出 m 的取值范 围. 【详解】 解：(1)由已知存在唯一实数 x，使 ， 即方程 只有一个根 ∴ ∴ 或 (2)∵ ∴ , 又 在 上单调递增 ∴ 在 上单调递增，且 或 在 上单调递减，且 ， ∴ 或 ∴ 或 . ∴ 或 . 故实数 m 的取值范围是 【点睛】 本题考查二次函数图象和二次函数的单调性,及已知单调区间求参数范围问题,难度较难. 22．定义在 上的函数 ，对任意 x，y∈I，都有 ；且当 时， . （1）求 的值； （2）证明 为偶函数； （3）求解不等式 . 【答案】（1） （2）见解析（3） 或 ( ) ( )f x bg x= 2 0x bx b− + = 0∆ = b 2 2( ) 4F x x mx m= − + − | ( ) |F x [0,2] ( )F x [0,2] (0) 0F ≥ ( )F x [0,2] (0) 0F ≤ ( ) ( )f x bg x= 2 0x bx b− + = 2 4 0b b∆ = − = 0b = 4b = 2( ) ( ) ( ) 4F x f x m g x m m= − ⋅ + − − 2 2( ) 4F x x mx m= − + − | ( ) |F x [0,2] ( )F x [0,2] (0) 0F ≥ ( )F x [0,2] (0) 0F ≤ 02 (0) 0 m F  ≤  ≥ 22 (0) 0 m F  ≥  ≤ 2 0 4 0 m m ≤  − ≥ 2 4 4 0 m m ≥  − ≤ 2 0m−   4m≥ [ 2, 0] [4, )− ∪ +∞ ( 2, 0) (0, 2)I = − ∪ ( )f x ( ) ( ) ( ) 2f xy f x f y= + − 0 1x< < ( ) 2f x > ( 1)f − ( )f x (2 1) 2f x − < ( 1) 2f − = 1| 02x x − < < 31 2x < <  【解析】(1)利用赋值法即可求出 的值; (2)根据偶函数的定义即可判断 为偶函数; (3)根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可. 【详解】 解：(1)令 ，则 令 ，则 (2)令 ，则 ，∴ 为偶函数. (3)令 ， ， 设 ，则 且 ∴ ∴ ∴ 在 上单调递减 又∵ 为偶函数 ∴ 或 ∴ 或 ∴ 或 【点睛】 本题考查抽象函数及其应用，考查了奇偶函数定义、单调性的证明，函数性质的综合应 用，难度较难. ( 1)f − ( )f x 1x y= = (1) 2f = 1x y= = − ( 1) 2f − = 1y = − ( ) ( ) ( 1) 2 ( )f x f x f f x− = + − − = ( )f x 1xy x= 2x x= 1 20 2x x< < < 1 2 xy x = 0 1y< < ( ) ( ) 1 1 2 2 2xf x f x f x  − = −    ( ) ( )1 2f x f x> ( )y f x= (0,2) ( )f x 2 2 1 1x− < − < − 1 2 1 2x< − < 1 02 x− < < 31 2x< < 1| 02x x − < < 31 2x < < 