2017-2018学年山西省太原市第五中学高二下学期3月阶段性考试 数学理 Word版

2017-2018学年山西省太原市第五中学高二下学期3月阶段性考试 数学理 Word版

太原五中2017—2018学年度第二学期阶段性练习 高 二 数 学（理）‎ 命题、校对： 郭贞 时间：2018.3.7‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎2．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 3. 设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ）‎ ‎ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎4.从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )‎ ‎（A）3 （B）2 （C）2 （D）2‎ 6. 若，则=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7．下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）‎ A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2‎ C．A1 000和n=n+1 D．A1 000和n=n+2‎ 8. 函数在的图像大致为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎ ‎ ‎9．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为( )‎ A．2 B． C． D．‎ ‎10．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为( )‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎11．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上。若，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．2 C． D．2‎ ‎12．已知函数有唯一零点，则=（ ）‎ A． B． C． D．1‎ 二、 填空题:本题共4小题，每小5分，共20分 ‎13. 设x，y满足约束条件则的最小值为 .‎ ‎14.在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，‎ ‎，，则V的最大值是 ‎ 15. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线， ．‎ ‎16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最小值为60°。‎ 其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）‎ ‎ ‎ 三、解答题:本题共6小题，17题10分，18题-22题每小题12分，共70分 ‎17．(本小题满分10分）的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求．‎ ‎18.（本小题满分12分）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.‎ 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ ‎ ‎ 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.‎ ‎（I）若=19，求y与x的函数解析式；‎ ‎（II）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5，求的最小值；‎ ‎（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？‎ ‎20．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面， 是的中点．‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，‎ 求二面角的余弦值．‎ ‎21.（本小题满分12分）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.‎ ‎（I）证明为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎（II）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.‎ ‎22．（本小题满分12分）已知函数 。‎ ‎（1）若 ，求的值；‎ ‎（2）设为整数，且对于任意正整数， ，求的最小值。‎ 太原五中2017—2018学年度第二学期阶段性测试 高 二 数 学（理科）‎ 命题、校对： 郭贞 时间：2018.3.7‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(每小题5分，共60分)‎ ‎1．已知集合，，则中元素的个数为( B )‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【考点】 交集运算；集合中的表示方法。‎ ‎【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。‎ ‎2．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 3. 设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ A ）‎ ‎ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 试题分析：若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.‎ ‎4.从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（ C ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．‎ ‎5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( B )‎ ‎（A）3 （B）2 （C）2 （D）2‎ 试题分析：几何体是四棱锥，如图 红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，，故选B.‎ 6. 若，则=（ D ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】∵，，‎ 故选D．‎ ‎7．下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ D ）‎ A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2‎ C．A1 000和n=n+1 D．A1 000和n=n+2‎ ‎【考点】程序框图 ‎【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.‎ 8. 函数在的图像大致为（ D ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎ ‎ ‎ 考点：函数图像与性质 ‎9．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为( A )‎ A．2 B． C． D．‎ 试题分析：由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，‎ 即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．‎ ‎【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 ‎【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎10．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为( A )‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎【考点】抛物线的简单几何性质 ‎【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以 ‎11．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上。若 ‎，则的最大值为（ A ）‎ A．3 B．2 C． D．2‎ 试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系 设 ,‎ 根据等面积公式可得圆的半径，即圆C的方程是 ，‎ ‎【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理 ‎【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。‎ ‎(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。‎ ‎12．已知函数有唯一零点，则=（ C ）‎ A． B． C． D．1‎ 试题分析：函数的零点满足，‎ 设，则，‎ 当时，，当时，，函数 单调递减，‎ 当时，，函数 单调递增，‎ ‎【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 ‎【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 设x，y满足约束条件则的最小值为 .‎ 试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，‎ 易求得，‎ 由得在轴上的截距越大，就越小，‎ 所以，当直线过点时，取得最小值，‎ 所以的最小值为.‎ ‎【考点】线性规划 ‎【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.‎ ‎14.在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则V的最大值是 ‎ 试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为 考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．‎ 15. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线， ．‎ ‎【解析】 ‎ 的切线为：（设切点横坐标为）‎ 的切线为：‎ ‎∴‎ 解得 ‎ ‎∴．‎ ‎16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最小值为60°。‎ 其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】 异面直线所成的角 ‎【名师点睛】(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：‎ ‎①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；‎ ‎②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；‎ ‎③计算：求该角的值，常利用解三角形；‎ ‎④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角。‎ ‎(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围。‎ 三、解答题 ‎17．(本小题满分10分）的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎ “边转角”“角转边”，另外要注意三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．‎ ‎18.（本小题满分12分）已知为等差数列，前n项和为，‎ 是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎18.【解析】（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.‎ 由已知，得，而，所以.‎ 又因为，解得.所以，.‎ 由，可得 ①.‎ 由，可得 ②，‎ 联立①②，解得，，由此可得.‎ 所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.‎ ‎（II）解：设数列的前项和为，‎ 由，，有，‎ 故，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎ ‎ 得.‎ 所以，数列的前项和为.‎ ‎19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ ‎ ‎ 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.‎ ‎（I）若=19，求y与x的函数解析式；‎ ‎（II）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5，求的最小值；‎ ‎（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？‎ ‎【答案】（I）；（II）19；（III）19.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.‎ ‎（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.‎ 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.‎ 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.‎ 考点：函数解析式、概率与统计 ‎20．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面， 是的中点．‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明略；（2）．‎ ‎【考点】 判定线面平行、面面角的向量求法 ‎【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．‎ ‎（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cos θ|＝|cos|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．‎ ‎21.（本小题满分12分）设圆的圆心为，直线过点且与 轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.‎ ‎（I）证明为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎（II）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（）（II）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用椭圆定义求方程；（II）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值。‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，，故，‎ 所以，故.‎ 又圆的标准方程为，从而，所以.‎ 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：‎ ‎（）.‎ ‎22．（本小题满分12分）已知函数 。‎ ‎（1）若 ，求的值；‎ ‎（2）设为整数，且对于任意正整数， ，求的最小值。‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得 ；‎ ‎(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得，结合 可知实数 的最小值为 ‎ 试题解析：解：（1）的定义域为.‎ 故 。‎ 而 ，所以 的最小值为 。‎ ‎【考点】 导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值；利用导数证明不等式 ‎【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎