2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 48抛物线

2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 48抛物线

考点规范练48　抛物线 基础巩固组 ‎1.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.-‎17‎‎16‎ B.-‎15‎‎16‎ C.‎17‎‎16‎ D.‎‎15‎‎16‎ ‎2.抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为(　　)‎ A.y=2x2 B.y2=2x ‎ C.x2=2y D.y2=-2x ‎3.(2017安徽合肥模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则y‎1‎y‎2‎x‎1‎x‎2‎的值一定等于(　　)‎ A.-4 B.4 C.p2 D.-p2‎ ‎4.(2017浙江超级联考)设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上,又抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=(　　)‎ A.4 B.4或-4 C.-2 D.-1或2‎ ‎5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上,且|AK|=‎2‎|AF|,则△AFK的面积为(　　)‎ A.4 B.8 C.16 D.32‎ ‎6.(2017江西九校联考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线y2-x2=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　　. ‎ ‎7.已知F1,F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点,P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为　　　　　. ‎ ‎8.若抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-‎1‎‎2‎,则实数m的值是　　　　　. ‎ 能力提升组 ‎9.设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”,x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,x*a)的轨迹是(　　)‎ A.圆 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 ‎10.(2017浙江金丽联考)过点(0,-2)的直线交抛物线y2=16x于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且y‎1‎‎2‎‎-‎y‎2‎‎2‎=1,则△OAB(O为坐标原点)的面积为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎1‎‎8‎ D.‎‎1‎‎16‎ ‎11.(2017山西五校联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(5,m)到焦点的距离为6,P,Q分别为抛物线C和圆M:(x-6)2+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量PQ在x轴正方向上的投影为(　　)‎ A.2-‎5‎‎5‎ B.2‎5‎-1 C.1-‎21‎‎21‎ D.‎21‎-1‎ ‎12.(2017浙江台州模拟改编)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为(　　)‎ A.(0,1] B.[1,+∞) C.[1,2] D.[2,+∞)‎ ‎13.(2017浙江绍兴期末)已知抛物线y2=4x的焦点F,若A,B是该抛物线上的点,∠AFB=90°,线段AB中点M在抛物线的准线上的射影为N,则‎|MN|‎‎|AB|‎的最大值为(　　)‎ A.‎2‎ B.1 C.‎2‎‎2‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎14.(2017浙江模拟训练冲刺卷)已知点F为抛物线x2=4y的焦点,O为坐标原点,点M是抛物线准线上一动点,A在抛物线上,且|AF|=2,则|OA|=　　　　　;|MA|+|MO|的最小值是　　　　　. ‎ ‎15.已知P为抛物线C:y2=4x上的一点,F为抛物线C的焦点,其准线与x轴交于点N,直线NP与抛物线交于另一点Q,且|PF|=3|QF|,则点P坐标为　　　　　. ‎ ‎16.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是　　　　　. ‎ ‎17.已知直线l经过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线交于A,B两点,点O为坐标原点.‎ ‎(1)求抛物线准线方程;‎ ‎(2)若△AOB的面积为4,求直线l的方程.‎ 答案：‎ ‎1.B　抛物线方程可化为x2=-y‎4‎,其准线方程为y=‎‎1‎‎16‎‎.‎ 设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知‎1‎‎16‎-y0=1⇒y0=-‎‎15‎‎16‎‎.‎ ‎2.B　设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px,‎ 则y‎1‎‎2‎‎=2px‎1‎,‎y‎2‎‎2‎‎=2px‎2‎,‎两式相减可得2p=y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎‎×‎(y1+y2)=kAB×2=2,即可得p=1,故抛物线C的方程为y2=2x.‎ ‎3.A　①若焦点弦AB⊥x轴,则x1=x2=p‎2‎,则x1x2=p‎2‎‎4‎,y1y2=-p2,则y‎1‎y‎2‎x‎1‎x‎2‎=-4;‎ ‎②若焦点弦AB不垂直于x轴,可设AB:y=kx-‎p‎2‎,‎ 联立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+p‎2‎k‎2‎‎4‎=0,‎ 则x1x2=p‎2‎‎4‎‎.‎又y‎1‎‎2‎=2px1,y‎2‎‎2‎=2px2,‎ ‎∴‎y‎1‎‎2‎y‎2‎‎2‎‎=4p2x1x2=p4,又∵y1y2<0,∴y1y2=-p2.‎ 故y‎1‎y‎2‎x‎1‎x‎2‎=-4.‎ ‎4.D　由题意可设抛物线方程为y2=-2px(p>0),由抛物线定义得2=1+p‎2‎,p=2,所以a2=4,a=±2,故选D.‎ ‎5.B　∵抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,∴K(-2,0).‎ 设A(x0,y0),过点A向准线作垂线AB垂足为B,则B(-2,y0).‎ ‎∵|AK|=‎2‎|AF|,‎ 又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,‎ ‎∴由|BK|2=|AK|2-|AB|2,‎ 得y‎0‎‎2‎=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,‎ 解得A(2,±4).‎ 故△AFK的面积为‎1‎‎2‎|KF|·|y0|=‎1‎‎2‎‎×‎4×4=8.‎ ‎6.2‎3‎　y2=2px的准线为x=-‎p‎2‎‎.‎ 由于△ABF为等边三角形.‎ 因此不妨设A‎-p‎2‎,‎p‎3‎,B‎-p‎2‎,-‎p‎3‎‎.‎又点A,B在双曲线y2-x2=1上,从而p‎2‎‎3‎‎-‎p‎2‎‎4‎=1,所以p=2‎‎3‎‎.‎ ‎7.x=-2　将双曲线方程化为标准方程得x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎‎3‎a‎2‎=1,抛物线的准线为x=-2a,联立x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎‎3‎a‎2‎=1,‎y‎2‎‎=8ax‎⇒‎x=3a,即点P的横坐标为3a.而由‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=12,‎‎|PF‎1‎|-|PF‎2‎|=2a‎⇒‎|PF2|=6-a,‎ ‎∴|PF2|=3a+2a=6-a,得a=1,‎ ‎∴抛物线的准线方程为x=-2.‎ ‎8‎.‎‎3‎‎2‎　由于A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,故可设直线AB方程为y=-x+n,代入抛物线方程y=2x2得2x2+x-n=0,由x1x2=-‎1‎‎2‎得n=1,设A,B中点为P(x0,y0),则x0=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=-‎1‎‎4‎,y0=-x0+1=‎5‎‎4‎,点(x0,y0)在直线y=x+m上,代入得m=‎‎3‎‎2‎‎.‎ ‎9.D　由x*a=(x+a)2-(x-a)2=4ax,则x*a‎=‎4ax.‎ 即y2=4ax(x≥0,y≥0).‎ ‎10.D　由题意得,y‎1‎‎2‎=16x1,y‎2‎‎2‎=16x2,‎ ‎∴y‎1‎‎2‎-‎y‎2‎‎2‎‎=16(x1-x2)‎⇒y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=‎‎16‎y‎1‎‎+‎y‎2‎,‎ ‎∴AB:y=‎16‎y‎1‎‎+‎y‎2‎x-2,令y=0,∴x=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎8‎,‎ ‎∴S=‎1‎‎2‎y‎1‎‎+‎y‎2‎‎8‎‎·‎|y1-y2|=‎1‎‎16‎‎|y‎1‎‎2‎-‎y‎2‎‎2‎|=‎1‎‎16‎,故选D.‎ ‎11.A　因为6=p‎2‎+5,所以p=2,所以抛物线C:y2=4x,‎ 设P(x,y),则|PM|=‎‎(x-6‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎=‎(x-6‎)‎‎2‎+4x=‎(x-4‎)‎‎2‎+20‎.‎ 所以当x=4,|PQ|取得最小值‎20‎-1=2‎5‎-1,此时不妨取P的坐标为(4,-4),则直线PM的斜率为2,即tan∠PMO=2,所以cos∠PMO=‎1‎‎5‎,故当|PQ|取得最小值时,向量PQ在x轴正方向上的投影为(2‎5‎-1)cos∠PMO=2-‎5‎‎5‎,故选A.‎ ‎12.‎ B　如图所示,可知A(-a,a),B(a,a),‎ 设C(m,m2),AC=(m+a,m2-a),BC=(m-a,m2-a).‎ ‎∵该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,‎ ‎∴AC·‎BC‎=(m+a)(m-a)+(m2-a)2=0.‎ 化为m2-a+(m2-a)2=0.‎ ‎∵m‎≠‎a,∴m2=a-1≥0,解得a≥1.‎ ‎∴a的取值范围为[1,+∞).‎ ‎13.‎ C　设|AF|=a,|BF|=b,点A,B在准线上的射影点分别为Q,P,连接AQ,BQ,如图.‎ 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|.‎ 在梯形ABPQ中,根据中位线定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.‎ 由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,‎ ‎∵ab‎≤‎a+b‎2‎‎2‎,‎ ‎∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2‎×a+b‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎(a+b)2.‎ 得到|AB|‎≥‎‎2‎‎2‎(a+b).‎ 所以‎|MN|‎‎|AB|‎‎≤‎1‎‎2‎‎(a+b)‎‎2‎‎2‎‎(a+b)‎=‎‎2‎‎2‎,即‎|MN|‎‎|AB|‎的最大值为‎2‎‎2‎‎.‎故选C.‎ ‎14‎.‎5‎　‎‎13‎　易知F(0,1).设A(x,y),由|AF|=2,得y+1=2,则y=1,代入x2=4y得x=±2,所以A(±2,1),则|OA|=‎5‎‎.‎设B(0,-2),因点M在抛物线准线上,则|MO|=|MB|,从而|MA|+|MO|的最小值就是|MA|+|MB|的最小值.因为A,B为定点,所以|MA|+|MB|的最小值即为|AB|=‎13‎,故|MA|+|MO|的最小值是‎13‎‎.‎ ‎15.(3,±2‎3‎)　∵y2=4x,∴焦点坐标F(1,0),准线方程x=-1.‎ 过P,Q分别作准线的射影分别为A,B,‎ 则由抛物线的定义可知:|PA|=|PF|,|QF|=|BQ|.‎ ‎∵|PF|=3|QF|,‎ ‎∴|AP|=3|QB|,即|AN|=3|BN|,‎ ‎∴P,Q的纵坐标满足yP=3yQ,‎ 设Py‎2‎‎4‎‎,y,y≠0,则Qy‎2‎‎36‎‎,‎y‎3‎‎.‎ ‎∵N,Q,P三点共线,‎∴yy‎2‎‎4‎‎+1‎=‎y‎3‎y‎2‎‎36‎‎+1‎,‎ 解得y2=12,∴y=±2‎3‎,此时x=y‎2‎‎4‎‎=‎‎12‎‎4‎=3,‎ 即点P坐标为(3,±2‎3‎).‎ ‎16.2

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