北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高二数学 一､选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.‎ ‎1.已知椭圆的一个焦点为,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用，求得的值.‎ ‎【详解】由于，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.‎ ‎2.已知数列满足,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用递推关系式，依次求得的值.‎ ‎【详解】依题意.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求项的值，属于基础题.‎ ‎3.已知命题:,,则为( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.‎ ‎【详解】由于特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A选项不正确，C选项正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题.‎ ‎4.已知,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值排除错误选项，然后证明正确选项成立.‎ ‎【详解】对于A选项，若，如，但是，即，所以A选项错误.‎ 对于B选项，若，如，但是，即，所以B选项错误.‎ 对于C选项，若，如，但是，即，所以C选项错误.‎ 对于D选项，若，则，则，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.‎ ‎5.已知向量,且,那么( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得，从而求得.‎ ‎【详解】由于，所以，解得，所以，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查空间向量平行求参数，考查空间向量模的计算，属于基础题.‎ ‎6.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的　　‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；‎ 当“平面α和平面β相交”，则 “直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.‎ 故选A.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7.已知向量,,,若共面,则等于( )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出的值.‎ ‎【详解】由于共面，所以存在，使得，即 ‎，所以，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查空间向量共线的表示，考查空间向量的坐标运算，属于基础题.‎ ‎8.德国著名数学家高斯,享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时,定义了一个函数,其中表示不超过的最大整数,比如. 根据以上定义,当时,数列,,( )‎ A. 是等差数列,也是等比数列 B. 是等差数列,不是等比数列 C. 是等比数列,不是等差数列 D. 不是等差数列,也不是等比数列 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得,,，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】由于，所以，所以，即三个数为.而，，所以数列,,不是等差数列,也不是等比数列 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.‎ ‎9.设有四个数的数列,该数列前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为. 则实数m的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出这个数，根据已知条件列方程组，由此求得表达式，进而求得的取值范围.‎ ‎【详解】设的前项为，由于数列的前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为，所以，由（3）（4）得，所以 即，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得，整理得.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎10.曲线.给出下列结论:‎ ‎①曲线关于原点对称;‎ ‎②曲线上任意一点到原点的距离不小于1;‎ ‎③曲线只经过个整点(即横､纵坐标均为整数的点).‎ 其中,所有正确结论的序号是( )‎ A. ①② B. ② C. ②③ D. ③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入，化简后可确定①的真假性.对分成等种情况进行分类讨论，得出，由此判断曲线上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线的两个整点，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.‎ ‎【详解】①，将代入曲线，得，与原方程不相等，所以曲线不关于原点对称，故①错误.‎ ‎②，对于曲线，由于，所以，所以对于任意一个，只有唯一确定的和它对应.函数是单调递减函数.当时，有唯一确定的；当时，有唯一确定的.所以曲线过点 ‎，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于.当时，，所以.当时，，所以.当时，，且 ‎，‎ 所以.‎ 综上所述，曲线上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.‎ ‎③，由②的分析可知，曲线过点，这是两个整点.由可得，当且时，若为整数，必定不是某个整数的三次方根，所以曲线只经过两个整点.故③正确.‎ 综上所述，正确的为②③.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.‎ 二､填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎11.设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义，求得到右焦点的距离.‎ ‎【详解】依题意，而到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.‎ ‎12.不等式的解集为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为所以，‎ 即不等式的解集为.‎ ‎13.能说明“若,则”为假命题的一组､值是______,________.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). (答案不唯一)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式两边取倒数，不等号改变方向为假命题，只需为正数且为负数即可满足题意.‎ ‎【详解】不等式两边取倒数，不等号改变方向为假命题，只需为正数且为负数，所以可取，此时.‎ 故答案为：(1). 1 (2). (答案不唯一)‎ ‎【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.‎ ‎14.在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.‎ 详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此 点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.‎ ‎15.某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加万元.若该渔船预计使用年,其总花费(含购买费用)为________ 万元;当______时,该渔船年平均花费最低(含购买费用).‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用渔船的费用，加上每年捕捞的费用，求得年总花费，总花费除以 后，利用基本不等式求得当为何值时，平均花费最低.‎ ‎【详解】每年的费用是首项为，公差为的等差数列，所以总费用 ‎.平均费用为，当且仅当时，等号成立，也即时，该渔船年平均花费最低.‎ 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列前项和，考查数列在实际生活中的应用，考查数列最值的求法，属于基础题.‎ ‎16.若 表示从左到右依次排列的9盏灯,现制定开灯与关灯的规则如下:‎ ‎(1)对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作;‎ ‎(2)灯在任何情况下都可以进行一次操作;对任意的,要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作.如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯关闭最少需要_____次操作;如果除灯外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要_____次操作.‎ ‎【答案】 (1). 3 (2). 21‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用列举法求得把灯关闭最少需要的操作次数.（2）先用列举法求得关闭前个灯最少需要的操作次数，然后乘以再加上，得到使所有灯都开着最少需要的操作次数.‎ ‎【详解】（1）如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯关闭最少需要的操作如下，设为开灯，0为关灯：初始状态，操作如下，共次.‎ ‎（2）①关闭前个灯最少需要的操作如下，设为开灯，0为关灯：初始状态，操作如下：，共次.‎ ‎②此时前盏灯的状态如下：，操作次，变为，打开.‎ ‎③将步骤①倒过来做一遍，打开前个灯，共次操作.‎ 综上所述，如果除灯外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要次操作 故答案为：(1). 3 (2). 21‎ ‎【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，属于基础题.‎ 三､解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知等比数列的公比为,且,,成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设的前项和为,且,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ) 的值是.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用等差中项的性质列方程，并转成的形式，解方程求得的值，进而求得数列的通项公式.‎ ‎（II）根据等比数列前项和公式求得，令解方程，求得的值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)因为为公比为的等比数列,‎ 所以,,, ‎ 依题意得 , ‎ 即,‎ 整理得, 解得.‎ 所以数列的通项公式为. ‎ ‎(Ⅱ)依题意 ,‎ ‎. ‎ 所以,整理得, ‎ 解得 所以的值是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的计算，考查等比数列前项和的求法，考查等差中项的性质，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎18.已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)若,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)求关于的不等式的解集.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 或. (Ⅱ) . (Ⅲ)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围.‎ ‎（II）将不等式对恒成立转化为，结合二次函数的性质列一元二次不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎（III）对分成三种情况，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得不等式的解集.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由得,‎ 整理得, 解得或. ‎ ‎(Ⅱ)对恒成立,则, ‎ 所以, ‎ 整理得,‎ 解得.‎ ‎(Ⅲ)解,得,‎ ‎①当时,即时,或 ; ‎ ‎②当时,即时,或 ; ‎ ‎③当时,即时, . ‎ 综上,当时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎19.已知椭圆的右焦点为,离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设点为椭圆的上顶点,点在椭圆上且位于第一象限,且,求的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据焦点坐标、离心率以及，求得的值，进而求得椭圆的方程.‎ ‎（II）利用椭圆方程和，求得点的坐标，由此求得的面积.‎ ‎【详解】(Ⅰ)依题意 ,, ‎ 解得,,‎ 所以椭圆的方程为. ‎ ‎(Ⅱ)设点,因为点在椭圆上,所以…①,‎ 因为,所以,得…②, ‎ 由①②消去得,,‎ 解得(舍),, ‎ 代入方程②得,所以, ‎ 所以,又, ‎ 所以的面积 ‎【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆内的三角形面积问题，属于基础题.‎ ‎20.如图,四棱锥中,平面,, .,,,是的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:⊥平面;‎ ‎(Ⅱ)若二面角的余弦值是,求的值;‎ ‎(Ⅲ)若,在线段上是否存在一点,使得⊥. 若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) . (Ⅲ)不存在，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）通过证明，证得平面.‎ ‎（II）建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值列方程，解方程求得的值.‎ ‎（III）设出点的坐标，利用列方程，推出矛盾，由此判断满足条件的点不存在.‎ ‎【详解】(Ⅰ)证明:因为 平面,,‎ 所以 平面.‎ 又因为 平面,所以 . 在中,,是的中点,‎ 所以 . ‎ 又因为 ,所以 平面. ‎ ‎(Ⅱ)解:因 平面,‎ 所以,. ‎ 又因为 ,‎ 所以 如图建立空间直角坐标系.‎ 则,,,,‎ ‎,,‎ ‎,. ‎ 设平面的法向量为.‎ 则 ‎ 即 令,则,,‎ 于是. ‎ 因为平面,所以. 又,‎ 所以平面.‎ 又因为, ‎ 所以 取平面的法向量为.‎ 所以 , ‎ 即,解得.‎ 又因为,所以.‎ ‎(Ⅲ)结论:不存在.理由如下:‎ 证明:设.‎ 当时,.‎ ‎,. ‎ 由知,,,.这与矛盾. ‎ 所以,在线段上不存在点,使得.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查根据二面角的余弦值求参数，考查存在性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎21.已知抛物线,抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程;‎ ‎(Ⅱ)过的直线交抛物线于不同的两点,交直线于点,直线交直线于点. 是否存在这样的直线,使得? 若不存在,请说明理由;若存在,求出直线的方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ，. (Ⅱ)存在，或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据抛物线的定义求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.‎ ‎（II）设出直线方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去后根据判别式大于零求得的取值范围，写出韦达定理.结合得到直线与直线的斜率相等（或者转化为），由此列方程，解方程求得 的值，也即求得直线的方程.‎ ‎【详解】(Ⅰ)因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, ‎ 所以 ‎ 所以准线方程为. ‎ ‎(Ⅱ)显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.‎ 联立得 消去得. ‎ 由,解得. 所以且.‎ 由韦达定理得,.‎ 方法一:‎ 直线的方程为,‎ 又,所以,所以, ‎ 因为,所以直线与直线的斜率相等 又,所以. ‎ 整理得,即,‎ 化简得,,即. ‎ 所以,整理得,‎ 解得. 经检验,符合题意.‎ 所以存在这样的直线,直线的方程为或 ‎ 方法二:‎ 因为,所以,所以.‎ 整理得,即, ‎ 整理得.‎ 解得,经检验,符合题意.‎ 所以存在这样的直线,直线的方程为或.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎22.若无穷数列满足:对任意两个正整数,与至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.‎ ‎(Ⅰ)求证:若数列为等差数列,则为“和谐数列”;‎ ‎(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列从第项起为等差数列;‎ ‎(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足,且存在使得，,求p的所有可能值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 见解析(Ⅲ) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用等差数列的定义，证得等差数列为“和谐数列”.‎ ‎（II）利用等差数列定义，通过证明，证得数列从第项起为等差数列.‎ ‎（III）对依次进行验证，当时，结合（II）的结论和等差数列前项和公式进行列式，求得的可能取值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)证明:因为数列为等差数列,‎ 所以对任意两个正整数,有 , ‎ 所以 .‎ 所以 数列为“和谐数列”. ‎ ‎(Ⅱ)证明:因为数列为“和谐数列”,‎ 所以 当,时,只能成立, 不成立.‎ 所以 ,即. ‎ 当,时,也只能成立,不成立.‎ 所以 ,,,‎ 即,‎ 所以. ‎ 令,则数列满足.‎ 所以,数列从第3项起为等差数列.‎ ‎(Ⅲ)解:①若,则,与矛盾,不合题意. ‎ ‎②若,则,,但,不合题意 ‎③若,则,,由,得, ‎ 此时数列为:,符合题意.‎ ‎④若,设,‎ 则.‎ 所以,‎ 即 .‎ 因为,所以.‎ 所以不合题意.‎ 所以. ‎ 因为p为整数,所以为整数,所以.‎ 综上所述,p的所有可能值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义数列的概念的理解和运用，考查等差数列的定义，考查等差数列前项和公式，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.‎