高中数学必修2同步练习：第一章 空间几何体（B）

高中数学必修2同步练习：第一章 空间几何体（B）

必修二 第一章 空间几何体（B）‎ 一、选择题 ‎1、不同直线M、n和不同平面α、β．给出下列命题：‎ ‎①⇒M∥β； ②⇒n∥β；‎ ‎③⇒M，n异面； ④⇒M⊥β．‎ 其中假命题的个数为(　　)‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎2、如图所示，正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为(　　)‎ A．a2 B．a2‎ C．a2 D．a2‎ ‎3、一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是(　　)‎ A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③‎ ‎4、下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是(　　)‎ ‎5、一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中(　　)‎ A．AB∥CD B．AB∥平面CD C．CD∥GH D．AB∥GH ‎6、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为(　　)‎ A．12 B．36 C．27 D．6‎ ‎7、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为(　　)‎ ‎8、若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是(　　)‎ A． B． C．1 D． ‎9、如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是(　　)‎ A．6 B．3 C．6 D．12‎ ‎10、下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数有(　　)‎ A．4 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎11、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是(　　)‎ A．0 B．9 C．快 D．乐 ‎12、过平面外一点P：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎13、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于(　　)‎ A．4 B．6 C．8 D．12‎ ‎14、如图所示，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(　　)‎ A．线段B‎1C B．线段BC1‎ C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段 D．BC的中点与B‎1C1的中点连成的线段 ‎15、已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，点P在平面ABC外，PH⊥面ABC于H，则垂足H是△ABC的(　　)‎ A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 ‎16、下列说法不正确的是(　　)‎ A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 ‎17、若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为(　　)‎ ‎①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；‎ ‎③a∥α，a⊥b⇒b⊥α．‎ A．1 B．‎2 C．3 D．0‎ ‎18、下列几何图形中，可能不是平面图形的是(　　)‎ A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．四边形 二、填空题 ‎19、已知A、B、C、D四点在同一个球面上，AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，若AB＝6，AC＝2，AD＝8，则B、C两点间的球面距离是________．‎ ‎20、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．‎ ‎21、下列有关棱柱的说法：‎ ‎①棱柱的所有的面都是平的；‎ ‎②棱柱的所有的棱长都相等；‎ ‎③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；‎ ‎④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；‎ ‎⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等．‎ 其中正确的有________．(填序号)‎ ‎22、如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是________．(填序号)‎ ‎23、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．‎ ‎24、三棱锥D－ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角A－BC－D的大小为________．‎ ‎25、如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，相对的面分别是________．‎ 三、解答题 ‎26、如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N．求：‎ ‎(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；‎ ‎(2)PC和NC的长．‎ ‎27、已知四棱锥P－ABCD，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．‎ ‎28、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．‎ ‎(1)求证：FH∥平面EDB；‎ ‎(2)求证：AC⊥平面EDB；‎ ‎(3)求四面体B－DEF的体积．‎ ‎29、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：‎ ‎(1)该几何体的体积V；‎ ‎(2)该几何体的侧面积S．‎ ‎30、如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度为h1，且水面高是锥体高的，即h1＝h，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h2，求h2的大小．‎ ‎31、如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD ‎，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．‎ 试求：(1)AD应取多长？(2)容器的容积．‎ ‎32、如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：‎ ‎(1)DE＝DA；‎ ‎(2)平面BDM⊥平面ECA；‎ ‎(3)平面DEA⊥平面ECA．‎ ‎33、如图，棱柱ABC－A1B‎1C1的侧面BCC1B1是菱形，B‎1C⊥A1B．‎ ‎(1)证明：平面AB‎1C⊥平面A1BC1；‎ ‎(2)设D是A‎1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求的值．‎ ‎34、四棱锥P—ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：‎ ‎(1)根据图中的信息，在四棱锥P—ABCD的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种)：‎ ‎①一对互相垂直的异面直线________；‎ ‎②一对互相垂直的平面________；‎ ‎③一对互相垂直的直线和平面________；‎ ‎(2)四棱锥P—ABCD的表面积为________．‎ ‎35、画出如图所示的四边形OABC的直观图．(要求用斜二测画法，并写出画法)‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D　[命题①正确，面面平行的性质；命题②不正确，也可能n⊂β；命题③不正确，如果m、n有一条是α、β的交线，则m、n共面；命题④不正确，m与β的关系不确定．]‎ ‎2、C　[根据正棱锥的性质，底面ABCD是正方形，∴AC＝a．在等腰三角形SAC中，SA＝SC＝a ‎，又AC＝a，‎ ‎∴∠ASC＝90°，即S△SAC＝a2．]‎ ‎3、A　[当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时可得④；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②．故选A．]‎ ‎4、D ‎5、C　[‎ 原正方体如图，由图可得CD∥GH，C正确．]‎ ‎6、B　[由三视图知该直三棱柱高为4，底面正三角形的高为3，所以正三角形边长为6，所以V＝×36×4＝36，故选B．]‎ ‎7、A ‎8、D　[设上，下底半径分别为r1，r2，‎ 过高中点的圆面半径为r0，由题意 得r2＝4r1，r0＝r1，∴＝＝．]‎ ‎9、D　[△OAB为直角三角形，两直角边分别为4和6，S＝12．]‎ ‎10、C　[(2)和(4)对．]‎ ‎11、B ‎12、B　[①④正确．]‎ ‎13、A ‎　[由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S－ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，‎ AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形．∠DAB＝90°，‎ ‎∴V＝SA×(AB＋CD)×AD＝×2××(2＋4)×2＝4，故选A．]‎ ‎14、A　[‎ 连接AC，AB1，B1C，‎ ‎∵BD⊥AC，AC⊥DD1，‎ BD∩DD1＝D，‎ ‎∴AC⊥面BDD1，∴AC⊥BD1，‎ 同理可证BD1⊥B1C，‎ ‎∴BD1⊥面AB1C．‎ ‎∴P∈B1C时，始终AP⊥BD1，选A．]‎ ‎15、C　[‎ 如图所示，由已知可得PA⊥面PBC，PA⊥BC，又PH⊥BC，‎ ‎∴BC⊥面APH，BC⊥AH．‎ 同理证得CH⊥AB，∴H为垂心．]‎ ‎16、C　‎ ‎17、A　[①正确．]‎ ‎18、D　[四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．]‎ 二、填空题 ‎19、π 解析　‎ 如图所示，由条件可知AB⊥BD，AC⊥CD．由此可知AD为该球的直径，设AD的中点为O，则O为球心，连接OB、OC，由AB＝6，AD＝8，AC＝2，得球的半径OB＝OC＝OA＝OD＝4，BC＝＝＝4，所以球心角∠BOC＝60°，所以B、C两点间的球面距离为R＝π．‎ ‎20、27π 解析　若正方体的顶点都在同一球面上，则球的直径d等于正方体的体对角线的长．‎ ‎∵棱长为3，∴d＝ ＝3 ⇒R＝．‎ ‎∴S＝4πR2＝27π．‎ ‎21、①④⑤‎ ‎22、①④‎ ‎23、36‎ 解析　正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．‎ ‎24、90°‎ 解析　‎ 由题意画出图形，数据如图，取BC的中点E，‎ 连接AE、DE，易知∠AED为二面角A—BC—D的平面角．‎ 可求得AE＝DE＝，由此得AE2＋DE2＝AD2．‎ 故∠AED＝90°．‎ ‎25、①与④，②与⑥，③与⑤‎ 解析　将展开图还原为正方体，可得①与④相对，②与⑥相对，③与⑤相对．‎ 三、解答题 ‎26、解　(1)正三棱柱ABC－A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线的长为＝．‎ ‎(2)‎ 如图所示，将平面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．‎ 设PC＝x，则P1C＝x．‎ 在Rt△MAP1中，‎ 在勾股定理得(3＋x)2＋22＝29，‎ 求得x＝2．‎ ‎∴PC＝P1C＝2．‎ ‎∵＝＝，‎ ‎∴NC＝．‎ ‎27、解　由三视图知底面ABCD为矩形，‎ AB＝2，BC＝4．‎ 顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，即棱锥的高为2，‎ 则体积VP－ABCD＝SABCD×PE＝×2×4×2＝．‎ ‎28、‎ ‎(1)证明　如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由于H为BC的中点，‎ 故GH綊AB．‎ 又EF綊AB，∴EF綊GH．∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH．而EG⊂平面EDB，FH⊄平面EDB，‎ ‎∴FH∥平面EDB．‎ ‎(2)证明　由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC．‎ 又EF∥AB，∴EF⊥BC．‎ 而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．‎ ‎∴EF⊥FH．∴AB⊥FH．‎ 又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．‎ ‎∴FH⊥平面ABCD．∴FH⊥AC．‎ 又FH∥EG，∴AC⊥EG．又AC⊥BD，EG∩BD＝G，‎ ‎∴AC⊥平面EDB．‎ ‎(3)解　∵EF⊥FB，∠BFC＝90°∴BF⊥平面CDEF．‎ ‎∴BF为四面体B－DEF的高．‎ 又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝．‎ VB－DEF＝××1××＝．‎ ‎29、解　‎ 由已知该几何体是一个四棱锥P－ABCD，如图所示．‎ 由已知，AB＝8，BC＝6，高h＝4，‎ 由俯视图知底面ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO＝4，即为棱锥的高．作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接PM、PN，则PM⊥AB，PN⊥BC．‎ ‎∴PM＝＝＝5，‎ PN＝＝＝4．‎ ‎(1)V＝Sh＝×(8×6)×4＝64．‎ ‎(2)S侧＝2S△PAB＋2S△PBC＝AB·PM＋BC·PN＝8×5＋6×4＝40＋24．‎ ‎30、解　当锥顶向上时，设圆锥底面半径为r，水的体积为：‎ V＝πr2h－π2·h＝πr2h．‎ 当锥顶向下时，设水面圆半径为r′，‎ 则V＝π·r′2·h2．‎ 又r′＝，‎ 此时V＝π··h2＝，‎ ‎∴＝πr2h，‎ ‎∴h2＝h，‎ 即所求h2的值为h．‎ ‎31、解　‎ ‎(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，‎ AD＝x，则OD＝72－x，由题意得 ，∴．‎ 即AD应取36 cm．‎ ‎(2)∵2πr＝·OD＝·36，∴r＝6 cm，‎ 圆台的高h＝ ‎＝＝6．‎ ‎∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)‎ ‎＝π·6·(122＋12×6＋62)‎ ‎＝504π(cm3)．‎ ‎32、证明　(1)如图所示，‎ 取EC的中点F，连接DF，∵EC⊥平面ABC，‎ ‎∴EC⊥BC，又由已知得DF∥BC，∴DF⊥EC．‎ 在Rt△EFD和Rt△DBA中，‎ ‎∵EF＝EC＝BD，‎ FD＝BC＝AB，‎ ‎∴Rt△EFD≌Rt△DBA，‎ 故ED＝DA．‎ ‎(2)取CA的中点N，连接MN、BN，则MN綊EC，‎ ‎∴MN∥BD，∴N在平面BDM内，‎ ‎∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又CA⊥BN，‎ ‎∴BN⊥平面ECA，BN⊂平面MNBD，‎ ‎∴平面MNBD⊥平面ECA．‎ 即平面BDM⊥平面ECA．‎ ‎(3)∵BD綊EC，MN綊EC，‎ ‎∴BD綊MN，‎ ‎∴MNBD为平行四边形，‎ ‎∴DM∥BN，∵BN⊥平面ECA，‎ ‎∴DM⊥平面ECA，又DM⊂平面DEA，‎ ‎∴平面DEA⊥平面ECA．‎ ‎33、(1)证明　因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1．‎ 又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，‎ 所以B1C⊥平面A1BC1．又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．‎ ‎(2)解　设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．‎ 因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．‎ 又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，‎ 即＝1．‎ ‎34、(1)①PA⊥BC(或PA⊥CD或AB⊥PD)　②平面PAB⊥平面ABCD(或平面PAD⊥平面ABCD或平面PAB⊥平面PAD或平面PCD⊥平面PAD或平面PBC⊥平面PAB)　③PA⊥平面ABCD(或AB⊥平面PAD或CD⊥平面PAD或AD⊥平面PAB或BC⊥平面PAB)‎ ‎(2)2a2＋a2‎ 解析　(2)依题意：正方形的面积是a2，‎ S△PAB＝S△PAD＝a2．‎ 又PB＝PD＝a，∴S△PBC＝S△PCD＝a2．‎ 所以四棱锥P—ABCD的表面积是S＝2a2＋a2．‎ ‎35、解　直观图如下图所示．‎ ‎(1)画轴：在直观图中画出x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．‎ ‎(2)确定A′，B′，C′三点，在x′轴上取B′使O′B′＝4．过(2,0)，(4,0)两点作y′轴的平行线，过(0,2)，(0，－1)两点作x′轴的平行线，得交点A′，C′．‎ ‎(3)顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，C′O′并擦去辅助线，就得到四边形OABC的直观图O′A′B′C′．‎