专题05 追及与相遇（精讲）-2019年高考物理双基突破
专题五 追及与相遇（精讲）
一、追及类问题
1．基本思想
对于追及问题的处理，要通过两质点的速度比较进行分析，找到隐含条件（即速度相同时，而质点距离最大或最小）。再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应的方程求解，必要时可借助两质点的速度图象进行分析。
2．追击类问题的提示
（1）匀加速运动追击匀速运动，当二者速度相同时相距最远。
（2）匀速运动追击匀加速运动，当二者速度相同时追不上以后就永远追不上了，此时二者相距最近。
（3）匀减速直线运动追匀速运动，当二者速度相同时相距最近，此时假设追不上，以后就永远追不上了。
（4）匀速运动追匀减速直线运动，当二者速度相同时相距最远。
（5）匀加速直线运动追匀加速直线运动，应当以一个运动当参照物，找出相对速度、相对加速度、相对位移。
3．追及问题的分析思路
（1）根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物体运动时间之间的关系．
（2）通过对运动过程的分析，画出简单的图示，找出两物体的运动位移间的关系式。追及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同。
（3）寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离，等等。利用这些临界条件常能简化解题过程。
（4）求解此类问题的方法，除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外，还有利用二次函数求极值，及应用图象法和相对运动知识求解。
【题1】羚羊从静止开始奔跑，经过50m能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60 m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持此速度4.0 s。设猎豹距离羚羊xm时开时攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0 s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？
【答案】x<55m
【解析】先分析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度所用的时间，再分析猎豹追上羚羊前，两者所发生的位移之差的最大值，即可求x的范围。
设猎豹从静止开始匀加速奔跑60m达到最大速度用时间t2，则，
s=4s。
羚羊从静止开始匀加速奔跑50m达到最大速度用时间t1，则，
s=4s。
二、相遇问题
1．相遇问题的两类情况
（1）同向运动的两物体追及即相遇，各自位移之差等于开始时两物体之间的距离。
（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
相遇问题的主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同。
2．相遇问题的分析思路
（1）列出两物体运动的位移方程，注意两个物体运动时间之间的关系。
（2）利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系。
（3）寻找问题中隐含的临界条件。
（4）与追及中的解题方法相同。
【题2】在某铁路与公路交叉的道口外安装的自动拦木装置。如图所示，当高速列车到达A点时，道口公路上应显示红灯，警告来越过停车线的汽车迅速制动，而且超过停车线的汽车能在列车到达道口前安全通过道口。已知高速列车的速度V1=120km/h，汽车过道口的速度V2=5km/h，汽车驶至停车线时立即制动后滑行的距离是S0＝5m，道口宽度s＝26m，汽车长l=15m。若栏木关闭时间tl＝16s，为保障安全需多加时间t2=20s。问：列车从A点到道口的距离L应为多少才能确保行车安全？
【答案】L= 2304m
三、追及、相遇问题的实质和处理方法
1．追及、相遇问题的实质
讨论追及、相遇问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题。
（1）两个等量关系：即时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
（2）一个临界条件：即二者速度相等，它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
（3）能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0
xB，则不能追上。
（4）若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动。
2．解答追及、相遇问题的常用方法
（1）物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的图景。
（2）数学极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于时间t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论。若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。
（3）图象法：将两个物体运动的速度—时间关系在同一图象中画出，然后利用图象分析求解相关问题。x−t图像中的交点表示两物体相遇，v−t图像中的交点表示两物体的速度相等，并不一定相遇。
利用图象分析追及、相遇问题，是常见的物理模型，以下是利用v－t图象分析这类问题的要点。
①由斜率分析、计算加速度。
②由“面积”求位移。
③由运动性质和“相对位移”变化（看图线走势）判断相遇（或距离最大）时刻。
题型1 x−t图像中的追及、相遇问题
【题3】A、B两质点在同一直线上运动，t＝0时刻，两质点从同一地点运动的x−t 图像如图所示，则下列说法正确的是
A．A质点以20 m/s的速度匀速运动
B．B质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动
C．经过4 s，B质点的位移大于A质点的位移
D．在图示的运动过程中，A、B两质点之间的距离在0～4 s 内某一时刻达到最大
【答案】B
题型2 v −t图像中的追及、相遇问题
【题4】（多选）甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v−t图像如图所示。下列判断正确的是
A．乙车启动时，甲车在其前方50 m处
B．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
C．乙车启动10 s后正好追上甲车
D．乙车超过甲车后，两车不会再相遇
【答案】ABD
（4）相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系。
【题5】A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，速度vB＝30 m/s，因大雾能见度很低，B车在距A车x0＝75 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后多长时间相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
【答案】tx＝6 s，80m
【解析】B车刹车至停下来的过程中，由v2－v＝2ax得aB＝＝－2.5 m/s2
解法一 物理分析法
假设不相撞，依题意画出运动过程示意图，如下图所示。
设经过时间t两车速度相等，对B车有：vA＝vB＋aBt
解得t＝＝8 s。
此时B车的位移xB＝vBt＋aBt2＝30×8 m－×2.5×82 m＝160 m。
A车的位移xA＝vAt＝10×8 m＝80 m。
因xB>xA＋x0，故两车会相撞。
设B刹车后经过时间tx两车相撞，则有vAtx＋x0＝vBtx＋aBt，
代入数据解得，tx＝6 s或tx＝10 s（舍去）。
解法二 图象法
由上可知aB＝－2.5 m/s2，作出A、B两车运动的速度时间图象如下图：
则由图象可知8 s时二者速度相等，则可得两车在8 s内的位移分别为：
xB＝×（30＋10）×8 m＝160 m，
xA＝10×8 m＝80 m。
因xB>xA＋x0，故两车会相撞。
设经过时间tx两车相撞，如图此时B车的速度为v，则有×（30＋v）tx＝10tx＋x0，
由几何关系得：＝，
联立解得，tx＝6 s或tx＝10 s（舍去）。
解法三 数学分析法
设B车刹车后经过时间tx两车相撞，则A、B两车发生的位移关系为：xB＝xA＋x0。
其中xB＝vBt＋aBt2，xA＝vAt，
代入整理得：2.5t2－40t＋150＝0。
【题6】甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲＝16 m/s，加速度大小a甲＝2 m/s2，做匀减速直线运动，乙以初速度v乙＝4 m/s，加速度大小a乙＝1 m/s2，做匀加速直线运动，求：
（1）两车再次相遇前二者间的最大距离；
（2）到两车再次相遇所需的时间。
【答案】（1）24 m（2）t2＝8 s
【解析】解法一 用物理分析法求解
（1）甲、乙两车同时同地同向出发，甲的初速度大于乙的初速度，但甲做匀减速运动，乙做匀加速运动，则二者相距最远时的特征条件是：速度相等，即v甲t＝v乙t
v甲t＝v甲－a甲t1；v乙t＝v乙＋a乙t1，得：t1＝＝4 s
相距最远Δx＝x甲－x乙＝（v甲t1－a甲t）－（v乙t1＋a乙t）＝（v甲－v乙）t1－（a甲＋a乙）t＝24 m。
（2）再次相遇的特征是：二者的位移相等，即v甲t2－a甲t＝v乙t2＋a乙t，代入数值化简得
12t2－t＝0解得：t2＝8 s，t2′＝0（即出发时刻，舍去）
解法二 用数学极值法求解
四、追及、相遇的临界条件
1．追及问题的临界条件例如：做匀减速直线运动的物体追赶同向做匀速直线运动的物体时，恰好能追上或恰好追不上的临界条件为：当追击者恰好追上被追击者时，两者速度相等。（即当追击者速度大于被追击者速度时，能追上；反之，追不上）
在如做初速度为零的匀加速直线运动的物体追赶同向运动的做匀减速直线运动的物体时，追上之前两者间距离最大的条件为：追击者的速度等于被追击者的速度。（追上前若追击者速度小于被追击者的速度，两者间距离将增大；反之两者间距离将减小）
追击物体A与被追击者B的位移和时间都有确定的关系。
例如：同时同地出发的物体，再相遇时，两者位移相同，运动时间相等。再如追击物体A与被追击者B开始相距为Δx，当追上时，位移关系为xA=xB+Δx。
2．相遇问题的临界条件
（1）两物体在相遇时处于同一位置，所以它们位移与开始时两物体之间的距离便有了确定的关系。
例如：相向运动的两物体位移大小之和等于两物体开始时的距离。
（2）两物体运动时间之间有一定的关系。例如：若甲比乙早运动2s，则有关系T甲=T乙+2
（3）对同一问题，对于不同的物体或不同的过程列方程时，可以选取不同的正方向，重要的是要从物理意义上保证方程正确。
3．处理相对运动的快捷方法——巧选参考系
只要物体的位移，速度和加速度是相对同一参考系的量，运动学的公式就适用，因此巧选参考系可使相对运动问题的求解变得简捷，参考系的选择原则是：
（1）对于纯运动学问题（即不涉及物体及物体之间的相互作用力的问题），位移，速度和加速度必须相对同一参考系，这个参考系可以是静止的物体，也可以是匀速运动或加速运动的物体系，参考系的选取应使问题方便为原则，当选定参考系时，所有的运动学量必须首先转换为相对同一参考系的描述，才能根据运动学公式求解。
（2）对于动力学问题（即涉及物体之间相互作用力的问题），位移，速度和加速度也必须相对于同一参考系，但这个参考系只能是静止的或匀速运动的物体（惯性参考系）。通常选择地球或匀速运动的物体为参考系。
总之，根据追及、相遇问题的特点：讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题。一定要抓住两个关系：即时间关系和位移关系。一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
4．追及、相遇问题的题型
题型1 匀速追匀加速
如果“匀加速”的速度达到“匀速”的速度时,“匀速”还没追上“匀加速”, 因为此后“匀加速”的速度会大于“匀速”，那么就不可能追得上了。
【题7】一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2 的加速度匀加速启动前进，则
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
【答案】B
题型2 匀速追匀减速
匀速运动物体A追匀减速直线运动B，减速之前B的速度大于A的速度,所以距离会变大；当B的速度等于A的速度 ,二者相对静止，距离不变；当B的速度减到小于A的速度,二者相对会靠近；故当二者速度相等时相距最远。
【题8】如图所示，A、B两物体（可视为质点）相距x＝7 m，物体A以vA＝4 m/s 的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10 m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度为a＝－2 m/s2，那么物体
A追上物体B所用的时间为
A．7 s B．8 s C．9 s D．10 s
【答案】B
题型3 初速度为零的匀加速运动的物体追同向匀速运动的物体
只要时间足够长，追赶者一定能追上被追赶者发生碰撞。当二者速度相等时有最大距离。若位移相等即追上（同一地点出发）。
在相遇问题中，同向运动的两物体追到即相遇，解决方法同上；相向运动的物体，各自发生的位移绝对值之和为开始时两物体间的距离时即相遇。
【题9】一辆值勤的警车停在公路旁，当警员发现从他旁边以v＝8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去拦截，经2.5s，警车发动起来，以a＝2m/s2加速度匀加速开出，警车以加速度a维持匀加速运动能达到的最大速度为126km/h，试问：（1）警车要多长时间才能追上违章的货车？（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少？
【答案】36m
【解析】（1）设警车在匀加速运动中经时间t追上货车，则根据位移关系有：
v（t0+ t），代入数据得，解得t＝10s
此时警车速度v1＝at＝20m/s<35m/s＝126km/h，因此警车发动后10s可追上货车。
（2）当两车速度相等，即时，两车相距最远，两车的最远距离为Δs＝v（t0+ t´）。
代入数据得：Δs＝m=36m。
【题10】现有一辆摩托车先由静止开始以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，后以最大行驶速度25 m/s 匀速行驶，追赶前方以15 m/s的速度同向匀速行驶的卡车。已知摩托车开始运动时与卡车的距离为200 m，则：
（1）追上卡车前二者相隔的最大距离是多少？
（2）摩托车经过多少时间才能追上卡车？
【答案】（1）245 m（2）t＝32.5 s
解得t1＝＝6 s
最大间距xm＝（x0＋vt1）－at12＝245 m。
（2）由题意得摩托车匀加速运动最长时间t2＝＝10 s
此过程的位移x2＝＝125 m25m（2）L＝25m（3）L<25m
【解析】设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追及乙车时，应有
v甲t－＝v乙t＋L，其中，解得L＝25m
若L>25m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，及两车不相遇。
若L＝25m，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大。
若L<25m，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次。
【题12】A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
【答案】5 m
由Δ＝162－4×68＜0可知t无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，此时
vA＝vB－aBt1，代入数据得t1＝8 s
此过程中xB＝vBt1－aBt12＝160 m
xA＝vAt1＝80 m，
两车的最近距离Δx＝x0＋xA－xB＝5 m。
题型5 匀加速追匀减速
两者间距先增加，速度相等时达到最大，后逐渐减小，相遇一次。追匀减速运动的物体时要注意判断追上时是否已停下。
【题13】甲、乙两车相距40.5 m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v1＝16 m/s，加速度a1＝2 m/s2做匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v2＝4 m/s，加速度a2＝1 m/s2，与甲同向做匀加速直线运动。求：
（1）甲、乙两车相遇前相距的最大距离。
（2）乙车追上甲车经历的时间。
【答案】（1）64.5 m（2）11 s
法二：甲、乙两车之间的距离为
x＝v1t1－a1t12＋x0－即x＝－t12＋12t1＋40.5
当t1＝－ s＝4 s时，甲、乙两车之间的距离有最大值，最大值为xmax＝ m＝64.5 m。
（2）甲车运动的时间t2＝＝8 s
在甲车运动时间内，甲车位移：x1′＝＝64 m
乙车位移：x2′＝v2t2＋a2t22＝64 m
故甲车停止时，甲、乙两车仍相距x＝40.5 m，甲车停止时，乙车的速度：v2′＝v2＋a2t2＝12 m/s，
故x＝v2′t3＋a2t32即40.5＝12t3＋t32，解得t3＝3 s
乙车追上甲车的时间t＝t2＋t3＝11 s。
题型6 匀减速运动的物体追同向匀减速运动的物体
追赶者不一定能追上被追者，但在两物体始终不相遇，当后者初速度大于前者初速度时，它们间有相距最小距离的时候，两物体在运动过程中总存在速度相等的时刻。
【题14】甲、乙两物体相距s，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。甲物体在前，初速度为v1，加速度大小为a1。乙物体在后，初速度为v2，加速度大小为a2且知v1
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