2018-2019学年天津市六校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等）高二下学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年天津市六校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等）高二下学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年天津市六校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等）高二下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型.‎ ‎2．给出下列说法：‎ ‎（1）命题“，”的否定形式是“，”；‎ ‎（2）已知，则；‎ ‎（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为，则回归直线方程为；‎ ‎（4）对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；‎ ‎（5）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变.‎ 其中正确说法的个数为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据含有一个量词的命题的否定，直接判断（1）错；根据正态分布的特征，直接判断（2）对；根据线性回归方程的特点，判断（3）正确；根据独立性检验的基本思想，可判断（4）错；根据方差的特征，可判断(5)正确.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）命题“，”的否定形式是“，”，故（1）错；‎ ‎（2）因为，即服从正态分布，均值为，所以；故（2）正确；‎ ‎（3）因为回归直线必过样本中心，又已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为，所以，即所求回归直线方程为：；故（3）正确；‎ ‎（4）对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；故（4）错；‎ ‎（5）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变.故（5）错.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题真假的判定，熟记相关知识点即可，属于基础题型.‎ ‎3．设是公比为的等比数列，则“对任意成立”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】根据等比数列的通项公式，由充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为是公比为的等比数列，‎ 若对任意成立，则对任意成立，若，则；若，则；所以由“对任意成立”不能推出“”；‎ 若，，则，即；所以由“”不能推出“对任意成立”；‎ 因此，“对任意成立”是“”的既不充分也不必要条件.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查既不充分也不必要条件的判断，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎4．在的二项展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，先写出二项展开式的通项，由此得出二项式系数的最大值，以及含项的系数，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为的二项展开式的通项为：，‎ 因此二项式系数的最大值为：，‎ 令得，‎ 所以，含项的系数为，‎ 因此.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求二项式系数的最大值，以及求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.‎ ‎5．已知定义在R上的偶函数（其中e为自然对数的底数），记，，，则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据函数奇偶性，求出，得到，再由指数函数单调性，以及余弦函数单调性，得到在上单调递增，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为是定义在R上的偶函数，‎ 所以，即，即，‎ 所以，解得：，所以，‎ 当时，，因为是单调递增函数，在上单调递减，‎ 所以在上单调递增，‎ 又，‎ 所以，即.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数单调比较大小，由函数奇偶性求参数，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.‎ ‎6．某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（ ）‎ A．720 B．520 C．600 D．264‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，分别讨论：甲、乙两节目只有一个参加，甲、乙两节目都参加，两种情况，分别计算，再求和，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：，‎ 若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：；‎ 因此不同的演出顺序的种数为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查有限制的排列问题，以及计数原理的简单应用，熟记计数原理的概念，以及有限制的排列问题的计算方法即可，属于常考题型.‎ ‎7．函数的所有零点的积为m，则有（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作函数y=e-x与y=|log2x|的图象，设两个交点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）（不妨设x1＜x2），得到0＜x1＜1＜x2＜2，运用对数的运算性质可得m的范围．‎ ‎【详解】‎ 令f（x）=0，即e-x=|log2x|， 作函数y=e-x与y=|log2x|的图象，‎ ‎ 设两个交点的坐标为（x1，y1），（x2，y2） （不妨设x1＜x2）， 结合图象可知，0＜x1＜1＜x2＜2， 即有e-x1=-log2x1，① e-x2=log2x2，② 由-x1＞-x2， ②-①可得log2x2+log2x1＜0， 即有0＜x1x2＜1， 即m∈（0，1）． 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数和对数函数的图象，以及转化思想和数形结合的思想应用，属于中档题．‎ ‎8．已知关于的方程，，若对任意的，该方程总存在唯一的实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由成立，得，‎ ‎ 设，，则 ‎ 则时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；‎ ‎ 且，‎ ‎ 使得对于任意，对任意的，方程存在唯一的解，‎ ‎ 则，即，即，‎ ‎ 所以，所以实数得取值范围是，故选B．‎ ‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解得中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值和函数与方程等知识点的综合应用，试题有一定的难度，属于难题，解答中把方程存在唯一的解转化为函数的最值问题是解答的关键．‎ 二、填空题 ‎9．若随机变量的分布列如表所示，则______.‎ ‎0‎ ‎1‎ P a ‎【答案】‎ ‎【解析】先由分布列，根据概率的性质求出，再求出期望，根据方差的计算公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由分布列可得：，解得，‎ 所以，‎ 因此，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求离散型随机变量的方差，熟记计算公式即可，属于常考题型.‎ ‎10．己知幂函数在上单调递减，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先由幂函数的定义，得到，求出，再由题意，根据幂函数的单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为为幂函数，‎ 所以或，‎ 又在上单调递减，‎ 由幂函数的性质，可得：，解得：，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由幂函数单调性求参数，熟记幂函数的定义，以及幂函数的单调性即可，属于常考题型.‎ ‎11．正项等差数列中的，是函数的极值点，则______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】先对函数求导，得到，根据题意，得到，根据等差数列性质，得到，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 又，是函数的极值点，‎ 所以，是方程的两实根，因此，‎ 因为数列是正项等差数列，所以，解得，‎ 因此.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数极值点求参数，以及等差数列的性质，熟记函数极值点的定义，以及等差数列的性质即可，属于常考题型.‎ ‎12．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．如果比赛采用“五局三胜”制，求甲以获胜的概率______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用二项分布可求甲以获胜的概率.‎ ‎【详解】‎ 设“甲班以3:1”获胜为事件.‎ 若甲班以3:1获胜，则前3局甲班恰好胜2局，然后第4局胜．‎ 所以，.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型的概率的计算，注意利用常见的分布（如二项分布、超几何分布等）来帮助计算概率，本题为基础题.‎ ‎13．若函数有最小值，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分和两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时，外层函数为减函数，对于内层函数，，则对任意的实数恒成立，‎ 由于二次函数有最小值，此时函数没有最小值；‎ 当时，外层函数为增函数，对于内层函数，‎ 函数有最小值，若使得函数有最小值，‎ 则，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎14．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由题意，得显然不是方程的根；当时，原方程可化为，令，，用导数的方法研究函数的单调性，极值，确定函数的大致形状，原方程有四个根，即等价于的图象与直线有四个不同的交点，结合图象，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 当，显然不成立；‎ 当时，由得，‎ 令，，即，‎ 则，方程有四个不相等的实根等价于 的图象与有四个不同的交点，‎ 当时，，则，‎ 由得，由得，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 因此，函数的极小值为；‎ 当时，，则，‎ 由得；由得；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 因此函数的极大值为.‎ 画出函数的大致图象如下：‎ 由图象可得，只需.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数零点个数求参数的问题，熟记分段函数的性质，导数的方法判断函数的单调性，求函数的极值等，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎15．英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词：每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）‎ ‎（1）英语老师随机抽了个单词进行检测，求至少有个是后两天学习过的单词的概率；‎ ‎（2）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数的分布列和期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（I）根据古典概型概率公式求解，（Ⅱ）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有个后两天学过的事件为，则由题意可得 ‎（Ⅱ）由题意可得ξ可取0，1，2，3，‎ 则有 ‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求.‎ ‎16．已知数列满足（且），且，设，，数列满足.‎ ‎（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据，构造，即可证明是等比数列，进而可求出通项公式；‎ ‎（2）根据（1）的结果，求出，得到，再由错位相减法，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，，‎ 是等比数列，其中首项是，公比为.‎ ‎，即.‎ ‎（2）（），，‎ 由（1）知，，，，（），‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由递推关系证明等比数列，求数列通项公式，以及数列的求和，熟记等比数列的定义，等比数列的通项公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.‎ ‎17．为发展业务，某调研组对，两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内个人口超过万的超大城市和（）个人口低于万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取个城市，全是小城市的概率为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若一次抽取个城市，则：①假设取出小城市的个数为，求的分布列和期望；‎ ‎②若取出的个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.‎ ‎【答案】（1）8；（2）①分布列见解析，；②.‎ ‎【解析】（1）先由题意，得到共个城市，取出2个的方法总数是，其中全是小城市的情况有，由题中数据，得到，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）①先由题意，得到的可能取值为，，，，，求出对应的概率，进而可求出分布列，得出数学期望；‎ ‎②分别求出四个城市全是超大城市，以及四个城市全是小城市的情况，进而可求出对应的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，共个城市，取出2个的方法总数是，其中全是小城市的情况有种，‎ 故全是小城市的概率是，整理得，‎ 即，，解得；‎ ‎（2）①由题意可知的可能取值为，，，，.‎ ‎；；；；.‎ 故的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎.‎ ‎②若4个城市全是超大城市，共有种情况；‎ 若4个城市全是小城市，共有种情况；‎ 故全为超大城市的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单随机抽样的概率，离散型随机变量的分布列与期望，以及古典概型的概率，熟记对应的概念及公式即可，属于常考题型.‎ ‎18．已知函数（）.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程.‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间.‎ ‎（3）设函数若对于任意，都有成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，增区间为，，减区间为；当时，的增区间为无减区间；（3）.‎ ‎【解析】（1）先由题意，得到，对其求导，得到对应的切线斜率，进而可得出所求切线方程；‎ ‎（2）先对函数求导，得到，分别讨论，和，解对应的不等式，即可得出结果；‎ ‎（3）先根据题意，得到在上恒成立，满足不等式，只需在上恒成立，令，，对其求导，求出的最大值，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若，则（），，‎ 又（），所以，‎ 在处切线方程为.‎ ‎（2）‎ 令，即，解出或.‎ 当（即时），‎ 由得或，‎ 由得，‎ 增区间为，，减区间为.‎ 当，即时，‎ ‎，在上恒成立，‎ 的增区间为，无减区间..‎ 综上，时，增区间为，，减区间为，‎ 时，增区间为，无减区间.‎ ‎（3），有恒成立，‎ 则在上恒成立，‎ 当时，，即满足不等式；‎ 即在上恒成立，‎ 令，，‎ 由题意，只需当时，即可，‎ 因为，‎ 当时，显然恒成立，所以在上单调递增，‎ ‎.，.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，求函数的单调区间，以及导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.‎ ‎19．已知数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前项和，其中，求；‎ ‎（3）若存在，使得成立，求出实数的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）根据与之间关系，由题中条件，即可求出结果；‎ ‎（2）根据题意，得到，再由（1）的结果，根据裂项求和的方法，即可求出结果；‎ ‎（3）先由题意，得到存在，使得成立，求出 的最小值，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为数列的前n项和为，‎ 当时，，‎ 当时，也符合上式，；‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎（3）存在，使得成立，‎ 存在，使得成立，即有解，‎ ‎，‎ 而，当或时取等号，‎ 的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由前项和求通项公式，数列的求和问题，以及数列不等式能成立的问题，熟记与之间关系，以及裂项求和的方法求数列的和即可，属于常考题型.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在上的最大值；‎ ‎（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；‎ ‎（3）当 时，函数 的图象与轴交于两点 ，且 ，又是的导函数.若正常数 满足条件.证明：.‎ ‎【答案】(1)-1；(2)；(3)参考解析 ‎【解析】试题分析：（1），可知在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，所以最大值为f(1).(2)在区间上为单调递增函数,即在上恒成立．，利用分离参数在上恒成立，即求的最大值．‎ ‎（3）有两个实根， ，两式相减，又，‎ ‎．要证：，只需证：，令可证．‎ 试题解析：（1） ‎ 函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，‎ 所以． ‎ ‎（2）因为，所以， ‎ 因为在区间单调递增函数，所以在（0，3）恒成立 ‎，有=，（） ‎ 综上： ‎ ‎（3）∵，又有两个实根，‎ ‎∴，两式相减，得， ‎ ‎∴, ‎ 于是 ‎． ‎ 要证：，只需证：‎ 只需证：．() ‎ 令，∴()化为 ，只证即可．‎ 在（0，1）上单调递增，，‎ 即．∴． ‎ ‎（其他解法根据情况酌情给分）‎