湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（2）

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（2）

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）‎ 姓名： 班级 ： 分数 ： ‎ 一、填空题（本题满分70分，每小题7分）‎ ‎1．方程的实数解为 ．‎ ‎2．函数R的单调减区间是 .‎ ‎3．在△中，已知，，则＝ .‎ ‎4．函数在区间上的最大值是 ，最小值是 ．‎ ‎5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，‎ 其中、、，则的取值范围为 ．‎ ‎6．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数 在区间上至少有 个零点. ‎ ‎（第7题）‎ ‎7．从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为 ．‎ ‎8．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀金银的概率是 ．‎ ‎9．在三棱锥中，已知， ‎ ‎，且．已知棱的长为，则此棱锥的体积为 ． ‎ ‎10．设复数列满足，，且．若对任意N* 都有，‎ 则的值是 ．‎ 二、解答题（本题满分80分，每小题20分）‎ ‎11．直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点．若 ‎，证明：线段的中点在椭圆上．‎ ‎12．已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次 成等比数列．‎ ‎ (1) 求数列的通项公式；‎ ‎ (2) 求出所有的正整数，使得．‎ ‎13．如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，垂足. ‎ 过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、． ‎ 证明： (1) 点、、、共圆； ‎ ‎ (2) 四边形是矩形．‎ ‎14．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．‎ 高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）详细解答 一、填空题（本题满分70分，每小题7分）‎ ‎1．方程的实数解为 ．‎ ‎ 提示与答案：x＜0无解; 当时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．‎ ‎2．函数R的单调减区间是 .‎ 提示与答案：与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同， Z． ‎ ‎3．在△中，已知，，则＝ .‎ 提示与答案：，得．‎ ‎4．函数在区间上的最大值是 ，最小值是 ．‎ 提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．‎ ‎5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，‎ 其中、、，则的取值范围为 ．‎ 提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[，10]．‎ ‎6．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数 在区间上至少有 个零点. ‎ 提示与答案：f(2k-1)=0，k∈Z. 又可作一个函数满足问题中的条件，且的 一个零点恰为，k∈Z. 所以至少有50个零点. ‎ ‎（第7题）‎ ‎7．从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为 ．‎ 提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．‎ ‎8．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中 镀金银的概率是 ．‎ 提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 ．‎ ‎9．在三棱锥中，已知， ‎ ‎，且．已知棱的长为，则此棱锥的体积为 ． ‎ 提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．‎ ‎10．设复数列满足，，且．若对任意N* 都有，‎ 则的值是 ．‎ 提示与答案：由，‎ 恒成立，即. 因为或，故，所以 ‎．‎ 二、解答题（本题满分80分，每小题20分）‎ ‎11．直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点．若 ‎，证明：线段的中点在椭圆上．‎ 解：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则 ＋y12＝1，＋y22＝1．‎ ‎ 由，得 M(x1＋x2，y1＋y2)． ‎ ‎ 因为M是椭圆C上一点，所以 ‎ ‎ ＋(y1＋y2)2＝1， …………………6分 ‎ 即 (＋y12)()2＋(＋y22)()2+2()()(＋y1y2)=1，‎ ‎ 得 ()2＋()2+2()()(＋y1y2)＝1，故 ‎ ‎ ＋y1y2＝0． …………………14分 ‎ 又线段AB的中点的坐标为 (，)，‎ ‎ 所以 ＋2()2＝(＋y12)+(＋y22)+＋y1y2＝1，‎ ‎ 从而线段AB的中点(，)在椭圆＋2y2＝1上． ………………20分 ‎ ‎12．已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次 成等比数列．‎ ‎ (1) 求数列的通项公式；‎ ‎ (2) 求出所有的正整数，使得．‎ 解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a5=－1+2d，a6=－1+3d，d为整数.‎ ‎ 又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d－1)2=4(2d－1)，‎ ‎ 即 9d2－14d+5=0，得d =1. …………………6分 ‎ 当n≤6时，an =n－4， ‎ ‎ 由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， ‎ ‎ 所以，当n≥5时，an =2n-5.‎ ‎ 故 an = …………………10分 ‎(2) 由（1）知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…‎ ‎ 当m=1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)； ‎ ‎ 当m=3时等式成立，即 －1+0+1=0； ‎ ‎ 当m=2、4时等式不成立； …………………15分 ‎ 当m≥5时，amam+1am+2 =‎23m-12， am +am+1+am+2=‎2m-5(23－1)=7×‎2m-5， ‎ ‎ 7×‎2m-5≠‎23m-12，‎ ‎ 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . ‎ ‎ 故所求 m= 1，或A B C D E F H G m=3． …………………‎ ‎20分 ‎13．如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，垂足. ‎ 过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、． ‎ 证明： (1) 点、、、共圆； ‎ ‎ (2) 四边形是矩形．‎ 证明：(1) 由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，‎ ‎ 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC，‎ ‎ ∴ ∠BAF=∠BHF，‎ ‎∴ 点 A、B、F、H共圆； ‎ ‎…………………8分 ‎ ‎(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA=∠BFA，‎ ‎ ∵ BE⊥AD， ∴ BF⊥AC，‎ ‎ 又AD是圆的直径，∴ CG⊥AC， …………………14分 ‎ 由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，‎ ‎∴∠BFG =∠DAB =∠BCG， ∴ B、G、C、F共圆. ‎ ‎∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ BG⊥GC，‎ ‎ ∴ 所以四边形BFCG 是矩形． …………………20分 ‎14．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．‎ 解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.‎ ‎ ∵ x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，‎ ‎ ∴ x2+3x= (x+1)2，∴ x=y =1. ………………5分 ‎ 若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2.‎ ‎ ∵ x2+3y是完全平方数，‎ ‎ ∴ x2+3y= (x+1)2，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数.‎ ‎ 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且 ‎ (2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2，‎ ‎ ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，‎ ‎ 得 k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分 ‎ 若x＜y，同x＞y情形可求得 x=11，y=16.‎ ‎ 综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………20分 ‎ ‎