2020届高考理科数学二轮专题复习课件:思想导引 方法点睛3-2

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2020届高考理科数学二轮专题复习课件:思想导引 方法点睛3-2

第 2 讲  分类与整合思想 题型一 根据数学的概念分类讨论 【例 1 】 设 00 且 a≠1, 比较 |log a (1-x)| 与 |log a (1+x)| 的大小 . 【解析】 因为 01,0<1-x 2 <1. ① 当 00,log a (1+x)<0, 所以 |log a (1-x)|-|log a (1+x)| =log a (1-x)-[-log a (1+x)]=log a (1-x 2 )>0; ② 当 a>1 时 ,log a (1-x)<0,log a (1+x)>0, 所以 |log a (1-x)|-|log a (1+x)| =-log a (1-x)-log a (1+x) =-log a (1-x 2 )>0; 由 ①② 可知 ,|log a (1-x)|>|log a (1+x)|. 【拓展提升】 本题是由对数函数的概念内涵引起的分类讨论 , 我们称 为概念分类型 . 由概念内涵引起的分类还有很多 : 如绝 对值 |a| 分 a>0,a=0,a<0 三种情况 ; 直线的斜率分倾斜角 θ≠90°, 斜率 k 存在 , 倾斜角 θ=90°, 斜率不存在 ; 指 数、对数函数 [y=a x (a>0 且 a≠1) 与 y=log a x(a>0 且 a≠ 1)] 可分为 a>1,00 且 a≠1) 在区间 内单调递增 , 则 a 的取值范围是 (    ) 【解析】 选 B. 由题意得 ,x 3 -ax>0 在 上恒成立 , 即 a>x 2 在 上恒成立 , 所以 a≥ 且 a≠1. 若 01, 则 h(x)=x 3 -ax 在 上单调递增 , 即 h′(x)=3x 2 -a≥0 在 上恒成立 , 所以 a≤0, 这与 a>1 矛盾 , 综上 , 实数 a 的取值范围是 题型二 根据运算的要求或性质、定理、公式的条件 分类讨论 【例 2 】 (2019· 河南六市联考 ) 设数列 {a n } 的前 n 项和 为 S n , 且满足 a 1 =r,S n =a n+1 - (n∈N * ). (1) 试确定 r 的值 , 使 {a n } 为等比数列 , 并求数列 {a n } 的通项公式 . (2) 在 (1) 的条件下 , 设 b n =log 2 a n , 求数列 {|b n |} 的前 n 项和 T n . 【解析】 (1) 当 n=1 时 ,S 1 =a 2 - a 2 =a 1 + 当 n≥2 时 ,S n-1 =a n - 与已知式作差得 a n =a n+1 -a n , 即 a n+1 =2a n (n≥2), 欲使 {a n } 为等比数列 , 则 a 2 =2a 1 =2r, 又 a 2 =a 1 + 所以 r= 故数列 {a n } 是以 为首项 ,2 为公比的等比数列 , 所以 a n =2 n-6 . (2) 由 (1) 知 b n =n-6, 所以 |b n |= 若 n<6,T n =-b 1 -b 2 - … -b n = 若 n≥6, T n =-b 1 -b 2 - … -b 5 +b 6 + … +b n = +30, 所以 T n = 【拓展提升】 (1) 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性 , 均值定理 , 等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论 , 或者在一定的限制条件下才成立 , 这时要小心 , 应根据题目条件确定是否进行分类讨论 . (2) 分类讨论的有些问题是由运算的需要引发的 . 比如除法运算中分母能否为零的讨论 ; 解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零 , 是正数 , 还是负数的讨论 ; 二次方程运算中对两根大小的讨论 ; 求函数单调性时 , 导数正负的讨论 ; 排序问题 ; 差值比较中的差的正负的讨论 ; 有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等 . 【变式训练】 在等比数列 {a n } 中 , 已知 a 3 = S 3 = 则 a 1 = __________.  【解析】 当 q=1 时 ,a 1 =a 2 =a 3 = S 3 =3a 1 = 显然成立 ; 当 q≠1 时 , 由题意 , 得 所以 由①② , 得 =3, 即 2q 2 -q-1=0, 所以 q=- 或 q=1( 舍去 ). 当 q=- 时 ,a 1 = =6, 综上可知 ,a 1 = 或 a 1 =6. 答案 : 或 6 题型三 根据字母的取值情况分类讨论 【例 3 】 已知函数 f(x)=2x 3 -3x. (1) 求 f(x) 在区间 [-2,1] 上的最大值 . (2) 若过点 P(1,t) 存在 3 条直线与曲线 y=f(x) 相切 , 求 t 的取值范围 . (3) 问过点 A(-1,2),B(2,10),C(0,2) 分别存在几条直线与曲线 y=f(x) 相切 ( 只需写出结论 )? 【解析】 (1) 由 f(x)=2x 3 -3x, 得 f′(x)=6x 2 -3, 令 f′(x)=0, 得 x=- 或 x= 因为 f(-2)=-10, 所以 f(x) 在区间 [-2,1] 上的最大值为 (2) 设过点 P(1,t) 的直线与曲线 y=f(x) 相切于点 (x 0 , y 0 ), 则 y 0 =2 -3x 0 , 且切线斜率为 k=6 -3, 所以切线方程为 y-y 0 =(6 -3)(x-x 0 ), 因此 t-y 0 =(6 -3)(1-x 0 ), 整理得 4 -6 +t+3=0, 设 g(x)=4x 3 -6x 2 +t+3, 则“过点 P(1,t) 存在 3 条直线与曲线 y=f(x) 相切”等价于“ g(x) 有 3 个不同零点” , g′(x)=12x 2 -12x=12x(x-1),g(x) 与 g′(x) 的情况如下 : x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) g′(x) + 0 - 0 + g(x) ↗ t+3 ↘ t+1 ↗ 所以 ,g(0)=t+3 是 g(x) 的极大值 ,g(1)=t+1 是 g(x) 的极小值 , 当 g(0)=t+3≤0, 即 t≤-3 时 , 此时 g(x) 在区间 (-∞,1) 和 (1,+∞) 上分别至多有 1 个零点 , 所以 g(x) 至多有 2 个零点 , 当 g(1)=t+1≥0,t≥-1 时 , 此时 g(x) 在区间 (-∞,0) 和 (0,+∞) 上分别至多有 1 个零点 , 所以 g(x) 至多有 2 个零点 . 当 g(0)>0 且 g(1)<0, 即 -30, 所以 g(x) 分别在区间 [-1,0),[0,1) 和 [1,2) 上恰有 1 个零点 , 由于 g(x) 在区间 (-∞,0) 和 (1,+∞) 上单调 , 所以 g(x) 分别在区间 (-∞,0) 和 (1,+∞) 上恰有 1 个零点 . 综上可知 , 当过点 P(1,t) 存在 3 条直线与曲线 y=f(x) 相切时 ,t 的取值范围是 (-3,-1). (3) 过点 A(-1,2) 存在 3 条直线与曲线 y=f(x) 相切 ; 过点 B(2,10) 存在 2 条直线与曲线 y=f(x) 相切 ; 过点 C(0,2) 存在 1 条直线与曲线 y=f(x) 相切 . 【拓展提升】 含有参数的问题 ( 含参型 ), 主要包括 : 含有参数的不等 式的求解 ; 含有参数的方程的求解 ; 对于解析式系数是 参数的函数 , 求最值与单调性问题 ; 二元二次方程表示 曲线类型的判定等 . 求解这类问题的一般思路是 : 结合 参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论 . 讨论时 , 应全面分析参数变化引起结论的变化情况 , 参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想 . 【变式训练】 已知函数 f(x)=mx 2 -x+ln x. 若在函数 f(x) 的定义域内存在区间 D, 使得该函数在区间 D 上为减函数 , 则实数 m 的取值范围为 __________.  【解析】 f′(x)=2mx-1+ 即 2mx 2 -x+1<0 在 (0,+∞) 上有解 . 当 m≤0 时显然成立 ; 当 m>0 时 , 由于函数 y=2mx 2 -x+1 的图象的对称轴为 x= >0, 故只需 Δ>0, 即 1-8m>0, 故 m< 综上所述 ,m< 故实数 m 的取值范围为 答案 : 题型四 根据图形位置或形状变动分类讨论 【例 4 】 长方形 ABCD 中 ,|AB|=4,|BC|=8, 在 BC 边上取一点 P, 使 |BP|=t, 线段 AP 的垂直平分线与长方形的边的交点为 Q,R 时 , 用 t 表示 |QR|. 【解析】 如图所示 , 分别以 BC,AB 所在的边为 x,y 轴建立平面直角坐标系 . 因为 k AP =- 所以 k QR = 又 AP 的中点的坐标为 所以 QR 所在的直线方程为 y-2=   ①. 由于 t 的取值范围的不同会导致 Q,R 落在长方形 ABCD 的 不同边上 , 故需分类讨论 : 当 |PD|=|AD|=8 时 , 易知 |PC|= 所以当 0≤t≤8-4 时 ,Q,R 两点分别在 AB,CD 上 , 对方 程 ①, 分别令 x=0 和 x=8, 可得 这时 |QR|=2 当 8-4 3 时 , 焦点在 y 轴上 , 要使椭圆 C 上存在点 M 满足 ∠AMB=120°, 则 ≥tan 60°= 即 解得 m≥9. 故 m 的取值范围为 (0,1]∪[9,+∞).
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