四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试数学（文）试题 （2013资阳二模）

四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试数学（文）试题 （2013资阳二模）

资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试 数 学（文史财经类）‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． ‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． ‎ ‎3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回．‎ 参考公式：‎ 球的表面积公式 （其中R表示球的半径），‎ 球的体积公式 （其中R表示球的半径）．‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．‎ ‎1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={3，5}，则 ‎（A）{1，2，4，5} （B）{1，5} （C）{2，4} （D）{2，5}‎ ‎2．函数的图象大致是 ‎ ‎3．下列命题为真命题的是 ‎（A）若为真命题，则为真命题 ‎（B）“”是“”的充分不必要条件 ‎（C）命题“若，则”的否命题为：“若，则”‎ ‎（D）命题p：，，则：，‎ ‎4．已知直线l，m和平面α， 则下列命题正确的是 ‎（A）若l∥m，mα，则l∥α （B）若l∥α，mα，则l∥m ‎（C）若l⊥α，mα，则l⊥m （D）若l⊥m，l⊥α，则m∥α ‎5．以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎6．式子 ‎（A）4 （B）6 （C）8 （D）10‎ ‎7. 实数x，y满足不等式组则的最大值为 ‎（A）2 （B）1 （C） （D）0‎ ‎8．下列不等式成立的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎9．执行右图所示的程序框图（其中表示不超过x的最大整数），则输出的S值为 ‎（A）4 （B）5 ‎ ‎（C）7 （D）9‎ ‎10．已知定义在上的函数则 ‎（A）函数的值域为 ‎（B）关于x的方程（）有2n＋4个不相等的实数根 ‎（C）当时，函数的图象与x轴围成的面积为2‎ ‎（D）存在实数，使得不等式成立 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ 注意事项：‎ ‎1．第Ⅱ卷共2页，请用‎0.5mm的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．‎ ‎2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在题目中的横线上．‎ ‎11．已知i是虚数单位，x，y∈R，若，则________．‎ ‎12．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于 ．‎ ‎13．已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为 . ‎ ‎14．观察以下各等式：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 试写出能反映上述各等式一般规律的一个等式 ．‎ ‎15．如图，A、B分别是射线OM、ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①；②；③；④；⑤．其中终点落在阴影区域内的向量的序号是_____________（写出满足条件的所有向量的序号）．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，且△ABC 的面积为，求a＋b的值.‎ 幸福指数评分值 频数 频率 ‎[50，60]‎ ‎1‎ ‎(60，70]‎ ‎6‎ ‎(70，80] ‎ ‎(80，90]‎ ‎3‎ ‎(90，100]‎ ‎2‎ ‎17．（本小题满分12分）某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，根据每份调查表得到每个调查对象的幸福指数评分值（百分制）．现从收到的调查表中随机抽取20份进行统计，得到右图所示的频率分布表： ‎ ‎（Ⅰ）请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）该部门将邀请被问卷调查的部分居民参加 “幸福愿景”的座谈会．在题中抽样统计的这20人中，已知幸福指数评分值在区间（80，100]的5人中有2人被邀请参加座谈，求其中幸福指数评分值在区间(80，90]的仅有1人被邀请的概率．‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，∠BAC=90°，平面ABC，D、E分别为、的中点，点在棱上，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥平面；‎ ‎（Ⅱ）在棱上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1:31，若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎19．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，，（）．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，若恒成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分13分）已知椭圆C：()经过与两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足．求证：为定值．‎ ‎21．（本小题满分14分）设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上有三个零点，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设函数，如果对任意的,，都有成立，求实数a的取值范围．‎ 资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试 数学（文史财经类）参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．‎ ‎1－5. CABCB；6－10.DADCC.‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．3； 12．17； 13．；14．；‎ ‎15．①③．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．解析 （Ⅰ）由及正弦定理，‎ 得（），‎ ‎∴，∵△ABC是锐角三角形，‎ ‎∴． 6分 ‎（Ⅱ）∵，，∴△ABC 的面积，‎ ‎∴． ① 8分 由余弦定理，，‎ 即．② 10分 由①×3＋②，得，故． 12分 ‎17．解析（Ⅰ）频率分布表：‎ 幸福指数评分值 频数 频率 ‎[50，60]‎ ‎1‎ ‎0.05‎ ‎(60，70]‎ ‎6‎ ‎0.30‎ ‎(70，80]‎ ‎8‎ ‎0.40‎ ‎(80，90]‎ ‎3‎ ‎0.15‎ ‎(90，100]‎ ‎2‎ ‎0.10‎ ‎ 3分 频率分布直方图：‎ ‎ 3分 ‎（Ⅱ）记幸福指数评分值在（80，90]的3人分别是A1，A2，A3，（90，100]的2人分别是B1，B2，则全部基本事件有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）（A3，B1），（A3，B2），（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2）共10个，‎ 其中幸福指数评分值在(80，90]区间有1人被邀请的基本事件有6个．‎ 故幸福指数评分值在(80，90]区间仅有1人被邀请的概率． 12分 ‎18．（Ⅰ）证明：取的中点M，，‎ 为的中点，又为的中点，∴， ‎ 在三棱柱中，分别为的中点，‎ ‎，且，‎ 则四边形A1DBM为平行四边形，，‎ ‎，又平面，平面，‎ 平面． 6分 ‎（Ⅱ）设上存在一点，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1︰31，则．‎ ‎，‎ ‎，即，所以符合要求的点存在． 12分 ‎19．解析 （Ⅰ）由，得（），‎ 两式相减得，即， 2分 ‎∴，则（）， 4分 由，又，得，则，‎ 故数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ 则，∴， 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，‎ 由题意得，则有，‎ 即，∴， 10分 而对于时单调递减，则的最大值为，‎ 故． 12分 ‎20．解析（Ⅰ）将与代入椭圆C的方程，‎ 得解得，．‎ ‎∴椭圆的方程为． 6分 ‎（Ⅱ）由，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．‎ ‎①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时 ‎．‎ 同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时 ‎．‎ ‎②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为（），‎ 则直线OM的方程为，设，，‎ 由解得，，‎ ‎∴，同理，‎ 所以，‎ 故为定值． 13分 ‎21．解析 （Ⅰ），‎ 由时，解得或；由时，解得．‎ 故函数的单调递增区间是，；单调递减区间是． 4分 ‎（Ⅱ）令，则，∴，‎ 由（Ⅰ）知，当函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．‎ 函数在处取得极大值，在处取得极小值，‎ 由函数在上有三个零点，则有：‎ 即解得，‎ 故实数a的取值范围是． 9分 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 而，，‎ 故函数在区间上的最大值．‎ ‎∴只需当时，恒成立即可，即等价于恒成立，所以，记，所以，，可知，‎ 当时，，，则，∴在上单调递增；‎ 当时，，，则，∴在上单调递减；‎ 故当时，函数在区间上取得最大值，‎ 所以，故实数a的取值范围是． 14分