数学理卷·2018届吉林省实验中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届吉林省实验中学高二上学期期末考试（2017-01）

吉林省实验中学 2016-2017 学年高二上学期期末考试 数学（理） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是 12，11，10 的概率依次是 1P ， 2P ， 3P ，则（ ） A． 1 2 3P P P  B． 1 2 3P P P  C． 1 2 3P P P  D． 3 2 1P P P  2.一组数据的平均数是 2.8 ，方差是3.6 ，若将这组数据中的每个数据都加上 60 ，得到一组 新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ） A． 57.2 ， 3.6 B． 57.2 ，56.4 C． 62.8 ， 63.6 D． 62.8 ， 3.6 3.已知 x 和 y 之间的一组数据： x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 根据这组数据求得关于 y 与 x 的线性回归方程  2.1 0.85y x  ，则 m 的值为（ ） A．1 B． 0.5 C．1.5 D．2 4.“ 2a  ”是“  6x a 的展开式的第三项是 460x ”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C.充要 D．既不充分也不必要 5.在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或 最后一步，程序 B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ） A．34 种 B．48 种 C.96 种 D．144 种 6.如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为 （ ） A．13 B．12 C.11 D．10 7.如图是将二进制数  211111 化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是 （ ） A． 5i  B． 4i  C. 5i  D． 4i  8.甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙 猜出的数字记为b ，且   1 2 3a b， ， ， ，若 1a b  ，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意 找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A． 1 3 B． 5 9 C. 2 3 D． 7 9 9.已知命题 : ln 2 0p x R x x    ， ，命题 2: 2xq x R x  ， ，则下列命题中为真命题的 是（ ） A． p q B． p q  C. p q  D． p q   10.袋中有 40 个小球，其中红色球 16 个，蓝色球 12 个，白色球 8 个，黄色球 4 个，从中随 机抽取 10 个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ ） A． 1 2 3 4 4 8 12 16 10 40 C C C C C B． 2 1 3 4 4 8 12 16 10 40 C C C C C C. 2 1 1 4 4 8 12 16 10 40 C C C C C D． 1 3 4 2 4 8 12 16 10 40 C C C C C 11.若对于任意实数 x ，有      2 33 0 1 2 32 2 2x a a x a x a x       ，则 2a 的值为（ ） A．3 B．6 C.9 D．12 12.若直线 : 2 xl y m   与曲线 21: 42C y x  有且仅有三个交点，则 m 的取值范围是 （ ） A． 2 1 2 1 ， B． 1 2 1， C.  1 2， D． 2 2 1， 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.在 2 3 ， 上随机取一个数 x ，则   1 3 0x x   的概率为 ． 14.用秦九韶算法求多项式   6 5 4 3 25 6 3 1.8 0.35 2f x x x x x x x       ，在 1x   的值时， 2v 的值是 ． 15.学校为了提高学生的数学素养，开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》 三门选修课程，供高二学生选修，已知高二年级共有学生 600 人，他们每个人都参加且只参 加一门课程的选修，为了了解学生对选修课的学习情况，现用分层抽样的方法从中抽取 30 名学生进行座谈.据统计，参加《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次 组成一个公差为 40 的等差数列，则应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为 ． 16.若双曲线   2 2 2 2 1 0 0x y a ba b    ， 一条渐近线的倾斜角为 3  ，离心率为 e ，则 2a e b  的 最小值为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. （本小题满分 10 分） 20 名学生某次数学考试成绩（单位：分工）的频率分布直方图如下： （Ⅰ）求频率分布直方图中 a 的值； （Ⅱ）从成绩在 50 70， 的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都在 60 70， 中的概率. 18. （本小题满分 12 分） 某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎 为十位数，叶为个位数. （Ⅰ）根据茎叶图计算样本均值； （Ⅱ）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间 12 名工人 中有几名优秀工人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该车间 12 名工人中，任取 3 人，求恰有 1 名优秀工人的情况 有多少种？ 19. （本小题满分 12 分） 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共 5 杯， 其颜色完全相同，并且其中 3 杯为 A 饮料，另外 2 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝 后，从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料，若该员工 3 杯都选对，则评为优秀；若 3 杯选对 2 杯， 则评为良好；否则评为及格.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. 求：（Ⅰ）求此人被评为优秀的概率； （Ⅱ）求此人被评为良好及以上的概率. 20. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，PA  平面 ABCD ，AD BC∥ ， 3AB AD AC   ， 4PA BC  ， M 为线段 AD 上一点， 2AM MD ， N 为 PC 的中点. （Ⅰ）证明： MN ∥平面 PAB ； （Ⅱ）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值. 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的一个顶点  2 0A ， ，离心率为 2 2 ，直线  1y k x  与 椭圆 C 交于不同的两点 M N， . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）当 AMN△ 的面积为 10 3 时，求实数 k 的值. 22. （本小题满分 12 分） 如图，已知点   3M a ， 是抛物线 2 4y x 上一定点，直线 AM BM， 的斜率互为相反数，且 与抛物线另交于 A B， 两个不同的点. （Ⅰ）求点 M 到其准线的距离； （Ⅱ）求证：直线 AB 的斜率为定值. 吉林省实验中学 2016-2017 学年度上学期期末考试 数学（理）试题答案 一、选择题 1-5:BDBAC 6-10:BDDCA 11、12：BC 二、填空题 13. 4 5 14.12 15.12 16. 2 6 3 三、解答题 17.解：（1）根据频率分布直方图得， 成绩落在 60 70， 中的学生人数为 3 0.005 10 20 3    . 所求概率为 3 10P  .…………………………12 分工 18.解：（1）样本均值为 17 19 20 21 25 30 132 226 6        .………………4 分 （2）由（1）知样本中优秀工人占的比例为 2 1 6 3  ，故推断该车间12 名工人中有 112 43   名 优秀工人. …………………………………………………………………………………………8 分 （3）从该车间 12 名工人中，任取 3 人，恰有 1 名优秀工人，则 1 2 4 8 112c c  .…………12 分 19.解：将 5 杯饮料编号为 1，2，3，4，5，编号 1，2，3 表示 A 饮料，编号 4，5 表示 B 饮 料， 则从 5 杯饮料中选出 3 杯的所有可能的情况为（123），（124），（125），（134），（135），（145）， （234），（235），（245），（345）；共 10 个基本事件； 记“此人被评为优秀”为事件 D ，记“此人被评为良好及以上”为事件 E ， （1）分析可得， D 包括（123）1 个基本事件， 则   1 10P D  ； （2） E 包括（123），（124），（125），（134），（135），（234），（235）7 个基本事件； 则   7 10P E  . 20.解：（1）由已知得 2 23AM AD  ，取 BP 的中点T ，连接 AT ，TN ，由 N 为 PC 中点知 TN BC∥ ， 1 22TN BC  . 又 AD BC∥ ，故TN 平行且等于 AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN AT∥ ， 因为 AT  平面 PAB ， MN  平面 PAB ，所以 MN ∥平面 PAB . （2）取 BC 的中点 E ，连接 AE ，由 AB AC 得 AE BC ，从而 AE AD ，且 2 2 2 2 52 BCAE AB BE AB         . 以 A 为坐标原点，AE 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，由题 知，  0 0 4P ， ， ，  0 2 0M ， ， ，  5 2 0C ， ， ， 5 1 22N       ， ， ，  0 2 4PM  ， ， ， 5 1 22PN        ， ， ， 5 1 22AN        ， ， . 设   n x y z ， ， 为平面 PMN 的法向量，则 0 0 n PM n PN          ，即 2 4 0 5 2 02 x z x y z      ，可取  0 2 1n  ， ， ， 于是 8 5cos 25 n AN n AN n AN           ， . 21.解：（1）∵ 2a  ， 2 2 ce a   ，∴ 2c   ， 2b  . 椭圆 2 2 : 14 2 x yC   .………………………………………………5 分工 （2）设  1 1 M x y， ，  2 2 N x y， ，则由 2 2 1 14 2 y kx x y     ，消 y ，得  2 2 2 21 2 4 2 4 0k x k x k     ， ∵直线  1y k x  恒过椭圆内一点  1 0， ， ∴ 0  恒成立. 由根与系数的关系，得 2 1 2 2 4 1 2 kx x k    ， 2 1 2 2 2 4 1 2 kx x k   .……………………8 分 1 2 1 2 1 112 2AMNS y y kx kx      △ 2 2 1 2 1 2 2 16 24 1042 2 1 2 3 k k kx x x x k      .………… 10 分 即 4 27 2 5 0k k   ，解得 1k   .………………………………12 分 22.解：（1）∵   3M a ， 是抛物线 2 4y x 上一定点， ∴ 23 4a ， 9 4a  ， ∵抛物线 2 4y x 的准线方程为 1x   ， ∴点 M 到其准线的距离为  9 1314 4    .……………………5 分 （2）由题知直线 MA ， MB 的斜率存在且不为 0，设直线 MA 的方程为： 93 4y k x      ， ∴ 2 93 4 4 y k x y x           ， 2 4 12 9 0y yk k     ， ∵ 43Ay k   ，∴ 4 3Ay k   .…………8 分 ∵直线 AM BM， 的斜率互为相反数， ∴直线 MA 的方程为 93 4y k x       ，同理可得： 4 3By k   .……9 分 ∴ 2 2 4 4 2 4 4 33 3 4 4 B A B A AB B AB A B A y y y yk y yx x y y k k             .………………12 分 ∴直线 AB 的斜率为定值 2 3  .