新课标版高考数学复习题库考点30 几何证明选讲

新课标版高考数学复习题库考点30 几何证明选讲

‎ ‎ 考点30 几何证明选讲 ‎ ‎1．（2010·陕西高考理科·Ｔ１5）如图,已知的两条直角边AC,BC 的长分别为‎3cm,‎4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D, ‎ 则 . ‎ ‎【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题.‎ ‎【思路点拨】条件∽结论 ‎【规范解答】∵以AC为直径的圆与AB交于点D,∴，‎ ‎∽，‎ ‎.‎ ‎【答案】‎ ‎2．（2010·陕西高考文科·Ｔ１5）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为‎3cm，‎4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝ cm.‎ ‎【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题.‎ ‎【思路点拨】条件∽‎ ‎【规范解答】∵以AC为直径的圆与AB交于点D,∴，‎ ‎∽.‎ ‎【答案】‎ ‎3．（2010·北京高考理科·Ｔ１2）如图，的弦ED，CB的延长线 交于点A.若BDAE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,‎ 则DE＝ ；CE＝ .‎ ‎【命题立意】本题考查几何证明的知识，‎ 运用割线定理是解决本题的突破口.‎ ‎【思路点拨】本题可由割线定理求出DE，再利用三个直角三角形 求CE.‎ ‎【规范解答】由割线定理得，，即，得..连接BE，因为，所以BE为直径，所以.在中，.‎ 在中BE=.在中，CE=.‎ ‎【答案】5 2 ‎4．（2010·天津高考文科·Ｔ１1）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB=1，PD=3，则的值为 .‎ ‎【命题立意】考查三角形的相似性质的应用.‎ ‎【思路点拨】利用相似三角形的性质转化.‎ ‎【规范解答】由题意可知△BCP∽△DAP相似，‎ 所以.‎ ‎【答案】‎ ‎5．（2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若,则的值为 .‎ ‎【命题立意】考查三角形的相似性质的应用.‎ ‎【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化.‎ ‎【规范解答】由题意可知△BCP∽△DAP相似，‎ 所以,由及已知条件 可得,又,.‎ ‎【答案】‎ ‎6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF= .‎ ‎【命题立意】本题主要考查平面几何中直角梯形以及三角形中位线的性质.‎ ‎【思路点拨】利用直角梯形的性质，求出，再利用三角形中位线的性质，求出 ‎【规范解答】连接，DB，则四边形为矩形，所以且 ‎， , , 所以是以为底的等腰三角形，即：=，又点E，F分别为线段AB，AD的中点，所以为的中位线，所以 ‎【答案】 ‎7. （2010·广东高考理科·Ｔ14）如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______. ‎ ‎ ‎ ‎【命题立意】本题考查垂径定理及相交弦定理.‎ ‎【思路点拨】由垂径定理得，算出，再由相交弦定理求出 ‎【规范解答】因为为的中点，由垂径定理得，在中，，由相交弦定理得：，即，‎ 解得 ‎【答案】‎ ‎8．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如图所示，过外一点P作一条直线与交于A,B两点.已知PA=2，点P到的切线上PT=4，则弦AB的长为 .‎ ‎【命题立意】以直线和圆立意，考查处理平面问题的一种方法：平面几何法.‎ ‎【思路点拨】割切→切割线定理 ‎【规范解答】∵PT=4，PA=2，PT2=PA·PB，∴PB=8，∴AB=PB-PA=6，∴弦长AB=6.‎ ‎【答案】6‎ ‎【方法技巧】弦→连接弦中点和圆心，切→连接切点和圆心，联想弦切角等于同弧所对的圆周角，割→切割线定理. ‎ ‎9.（2010·江苏高考·Ｔ2１）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC.‎ ‎【命题立意】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力.‎ ‎【思路点拨】利用圆心角和圆周角之间的关系证明即可.‎ ‎【规范解答】方法一：连结OD，则OD⊥DC，‎ 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ‎ ‎∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，‎ 所以∠DCO=300，∠DOC=600，‎ 所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC.‎ 方法二：连结OD，BD.‎ 因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB.‎ 因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900.‎ 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，‎ 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO.‎ 即2OB=OB+BC，得OB=BC.‎ 故AB=2BC.‎ ‎10．（2010·辽宁高考理科·Ｔ22）如图，的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E ‎（1）证明：‎ ‎（2）若的面积，求的大小.‎ ‎【命题立意】本题考查了几何证明、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、三角形的面积公式等.‎ ‎【思路点拨】（1）先求出相等的两角，再证相似.‎ ‎ （2）先由三角形相似，得到AB·AC=AD·AE，再比较三角形的面积公式，得到sin∠BAC,进而求出∠BAC.‎ ‎【规范解答】（1）由已知条件，可得∠BAE=∠CAD 所以△ABE∽△ADC ‎(2)因为△ABE∽△ADC ‎11.（2010 海南高考理科T22）如图，已知圆上的弧，‎ 过C点的圆的切线与BA的延长线交于 E点，证明：‎ ‎（1）=.‎ ‎ （2）=BECD.‎ ‎【命题立意】本题主要考查了圆的切线、等弧所对的圆心角相等等知识.‎ ‎【思路点拨】熟练利用等弧所对的圆心角相等，判断出三角形相似，然后证明问题.‎ ‎【规范解答】（1）因为,所以.‎ 又因为与圆相切于点，故 所以. ‎ ‎（2）因为,,‎ 所以,故.‎ 即=BECD. ‎ ‎ ‎