数学卷·2019届福建省厦门市第六中学高二上学期期中考试（2017-11）
厦门六中2017-2018学年第一学期高二年期中考试
数学试卷
满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：赖志峰 审核人： 命题时间：2017.10.30
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.若a，b∈R，且a>b，则( )
A．a2>b2B.<1C．lg(a－b)>0 D.a
0且）,
设是首项为4，公差为2的等差数列.
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若bn=an·，且数列{bn}的前n项和Sn，当时，求；
（3）若cn=，问是否存在m，使得{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.
厦门六中2017-2018学年第一学期高二期中考试数学解答
班级___ 姓名____________ 座号____
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1. 若a，b∈R，且a>b，则( D )
A．a2>b2 B.<1 C．lg(a－b)>0 D.ab，无法保证a2>b2，<1和lg(a－b)>0，∴排除A与B，C，故选D.
2. 在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于( C )．
A．135°或 45° B．105° C．45° D．75°
解析 由正弦定理知＝，即＝，所以sin A＝，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°选C
3. 在等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8的值为( D )．
A．2 B．4 C．8 D．16
解析 ∵{an}为等差数列，∴a7＝＝4＝b7.又{bn}为等比数列，∴b6·b8＝b＝16.
4. 在等比数列{an}中，a1+a2=1，a3+a4=2，则a5+a6+a7+a8=( C )
A.10 B.11 C.12 D.14
【解析】选C.由题意知，a1+a2，a3+a4，a5+a6，a7+a8成等比数列，所以a5+a6=2×2=4，
a7+a8=4×2=8.所以a5+a6+a7+a8=4+8=12. 选. C
5. 在△ABC中，若∠A=60°，b=1, ,则的值为 ( B )
A. B. C. D.
解析：因为即所以c=4.
由余弦定理
所以所以答案：B
6. 设集合P＝{m|－10，∴＋＝(4a＋b)＋＝5＋＋≥(5＋2)＝，
当且仅当时取“＝”．这时a＝5，b＝10. 选B.
10. 一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的
北偏东30°，之后它以每小时32n mile的速度继续沿
正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测
得船与灯塔S相距8n mile，则灯塔S在B处的( )
A．北偏东75° B．南偏东15°
C．北偏东75°或东偏南75° D．以上方位都不对
解析：在△ABS中，AB＝32×＝16(n mile)．
∵＝，∴sin∠BSA＝＝＝，
∴∠BSA＝45°，如图①或∠BSA＝135°，如图②.∴∠DBS＝75°或∠SBE＝75°.故选C.
11. 在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则角B的范围是( B ) A．00,n=13.∴当n=13时,Sn取最大值S13=169.(方法三)∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0.由等差数列的性质得a13+a14=0.∵a1>0,∴d<0.∴a13>0, a14<0.∴当n=13时,Sn取最大值S13=169.(方法四)设Sn=An2+Bn.∵S9=S17,∴二次函数y=Ax2+Bx图象的对称轴为x.∴当n=13时,Sn取最大值S13=169.
16. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，
且(2＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
解:根据正弦定理和a＝2可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，故得b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理得
cos A＝＝，所以A＝.根据b2＋c2－a2＝bc及基本不等式得bc≥2bc－a2，即bc≤4，所以△ABC面积的最大值为×4×＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17. (本题10分)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且cos Bb=2.
(1)当A=30°时,求a的值;(2)当△ABC的面积为3时,求a+c的值
解:(1)因为cos BB∈(0,π),所以sin B…2分由正弦定可
所以a…5分
(2)因为△ABC的面积SB,sin B所ac=10. …7分由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,得4=a2+c+c2-16,即a2+c2=20.所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40. 所以a+c=…10分
18. (本题12分) 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由已知得
将①代入②，得a2＝2. …2分
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，
即2q2－5q＋2＝0. …4分
解得q1＝2，q2＝.由题意得q>1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1. …6分
(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.
又bn＋1－bn＝3ln2，故数列{bn}为等差数列…9分．
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝ln2.
故Tn＝ln2. …12分
19. (本题12分) 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝2米，AD＝1米．(1)要使矩形AMPN的面积大于9平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值
解：(1)设DN的长为x(x>0)米，则|NA|＝(x＋1)米，因为＝，
所以|AM|＝，所以S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝…3分
由S矩形AMPN>9，得>9，又x>0，所以2x2－5x＋2>0，
解得02. 即DN的长的取值范围是∪(2，＋∞)．(单位：米) …6分
(2)矩形花坛AMPN的面积为y＝＝＝2x＋＋4(x>0)≥2＋4
＝8. …9分
当且仅当2x＝即x＝1时， 矩形花坛AMPN的面积最小为8平方米．…12分
20. (本题12分) 数列的前n项和为Sn，且Sn=2an-1，数列满足=2，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式及的前n项和为Tn
解：(1)当n=1时，a1=2a1-1，∴a1=1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-1-2an-1+1，…3分 ∴an=2an-1.
于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列. ∴an=2n-1. …6分
(2)∵bn+1=an+bn，∴bn+1-bn=2n-1. 从而bn-bn-1=2n-2，bn-1-bn-2=2n-3,…… b2-b1=1，
用累加法将以上等式相加，得bn-b1=1+2+22+…+2n-2=2n-1-1，又b1=2，∴bn=2n-1+1…10分
Tn=b1+b2+…+bn=(20+21+…+2n-1)+n.=2n-1+n. …12分
21. (本题12分) 在中，已知，，。
（1）求的值； （2）求边的长。
解；（1）∵ ，， 、、为的内角， ∴
，…2分，。…4分
∴ ，。…6分
（2）∵ ， ∴ ，。…8分
又由正弦定理，得，。由，，
解得，。…10分∴ ，，
即边的长为5。…12分
22.(本题12分)已知（m为常数，m>0且）,
设是首项为4，公差为2的等差数列. （1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若bn=an·，且数列{bn}的前n项和Sn，当时，求；（3）若cn=，问是否存在m，使得{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）由题意 即
∴ ……1分∴ …2分
∵m>0且，∴m2为非零常数，∴数列{an}是以m4为首项，m2为公比的等比数列…4分
（Ⅱ）由题意，
当
∴ ①
①式两端同乘以2，得
② ……6分
②－①并整理，得
=
……8分
（Ⅲ）由题意 ……9分
要使对一切成立，即 对一切 成立，
① 当m>1时， 成立；……11分
②当01时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.……12分
