数学卷·2018届山东省菏泽市鄄城一中高二上学期第四次月考数学试卷（探究部） （解析版）

数学卷·2018届山东省菏泽市鄄城一中高二上学期第四次月考数学试卷（探究部） （解析版）

‎2016-2017学年山东省菏泽市鄄城一中高二（上）第四次月考数学试卷（探究部）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设a∈R，则a＞1是＜1的（　　）‎ A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则其前13项和为（　　）‎ A．13 B．26 C．52 D．156‎ ‎3．对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（　　）‎ A．开口向上，焦点为（0，1） B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为（1，0） D．开口向右，焦点为 ‎4．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]‎ ‎6．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y= B．y= C．y=±x D．y=‎ ‎7．下列函数中，最小值为4的函数是（　　）‎ A．y=x+ B．y=sinx+（0＜x＜π）‎ C．y=ex+4e﹣x D．y=log3x+4logx3‎ ‎8．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（　　）‎ A．3×44 B．3×44+1 C．44 D．44+1‎ ‎9．有下列四个命题：‎ ‎①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；‎ 其中真命题为（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．③④‎ ‎10．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若A（3，），B（4，），则|AB|=____（注A、B两点坐标为极坐标）（　　）‎ A．4 B．5 C．4 D．2‎ ‎12．设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦，若|AB|=4，则AB的中点的纵坐标为　　．‎ ‎14．设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn=，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a100的“理想数”为101，那么数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”为　　．‎ ‎15．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是　　．‎ ‎16．设x，y，z∈R，且满足x2+y2+z2=5，则x+2y+3z之最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）‎ ‎17．给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a﹣20＜0．如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．‎ ‎19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．‎ ‎（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．‎ ‎20．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．‎ ‎（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？‎ ‎（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．‎ ‎21．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，‎ ‎（1）写出直线l的参数方程；‎ ‎（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．‎ ‎（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；‎ ‎（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省菏泽市鄄城一中高二（上）第四次月考数学试卷（探究部）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设a∈R，则a＞1是＜1的（　　）‎ A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】不等关系与不等式；充要条件．‎ ‎【分析】根据 由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），从而得到结论．‎ ‎【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），‎ 故a＞1是＜1 的充分不必要条件，‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎2．等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则其前13项和为（　　）‎ A．13 B．26 C．52 D．156‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由已知，根据通项公式，能求出a7=2，S13运用求和公式能得出S13=13a7，问题解决．‎ ‎【解答】解：∵2（a1+a1+3d+a1+6d）+3（a1+8d+a1+10d）‎ ‎=2（3a1+9d）+3（2a1+18d）‎ ‎=12a1+72d=24，‎ ‎∴a1+6d=2，‎ 即a7=2‎ S13===2×13=26‎ 故选B ‎　‎ ‎3．对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（　　）‎ A．开口向上，焦点为（0，1） B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为（1，0） D．开口向右，焦点为 ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据二次函数的性质进行判断．‎ ‎【解答】解：∵a=4＞0，‎ ‎∴图象开口向上，‎ 焦点为．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】通过正弦定理求出，a：b：c=2：3：4，设出a，b，c，利用余弦定理直接求出cosC即可．‎ ‎【解答】解：因为sinA：sinB：sinC=2：3：4‎ 所以a：b：c=2：3：4，设a=2k，b=3k，c=4k 由余弦定理可知：‎ cosC===﹣．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]‎ ‎【考点】函数最值的应用．‎ ‎【分析】分类讨论，结合不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：a=2时，不等式可化为﹣4＜0对任意实数x均成立；‎ a≠2时，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，等价于，‎ ‎∴﹣2＜a＜2．‎ 综上知，实数a的取值范围是（﹣2，2]．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y= B．y= C．y=±x D．y=‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．‎ ‎【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），‎ 则离心率e===，即4b2=a2，‎ 故渐近线方程为y=±x=x，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．下列函数中，最小值为4的函数是（　　）‎ A．y=x+ B．y=sinx+（0＜x＜π）‎ C．y=ex+4e﹣x D．y=log3x+4logx3‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：A．x＜0时，y＜0，不成立；‎ B．令sinx=t∈（0，1），则y=t+，y′=1﹣＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立．‎ C．y=4，当且仅当x=0时取等号，成立．‎ D．x∈（0，1）时，log3x，logx3＜0，不成立．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（　　）‎ A．3×44 B．3×44+1 C．44 D．44+1‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据已知的an+1=3Sn，当n大于等于2时得到an=3Sn﹣1，两者相减，根据Sn﹣Sn﹣1=an，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．‎ ‎【解答】解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2），‎ 两式相减得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an，‎ 则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，‎ 得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，‎ 所以an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2）‎ 则a6=3×44．‎ 故选A ‎　‎ ‎9．有下列四个命题：‎ ‎①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；‎ 其中真命题为（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．③④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】写出“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题判断真假；‎ 写出“全等三角形的面积相等”的否命题判断真假；‎ 通过若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根，根据二次方程根的存在性，即可得到其真假，然后利用互为逆否命题的两个命题即可判定该命题的正误．‎ 利用原命题与逆否命题同真同假判断即可．‎ ‎【解答】解：对于①，“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是：若x，y互为相反数，则x+y=0．它是真命题．‎ 对于②，“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题．‎ 对于③，若q≤1，则△=4﹣4q≥0，故命题若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根是真命题；它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故（3）是真命题．‎ 对于④，原命题为假，故逆否命题也为假．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．‎ ‎【解答】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，‎ 所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，‎ 设点P（x0，y0），‎ 则有，解得，‎ 因为，，‎ 所以=x0（x0+2）+=，‎ 此二次函数对应的抛物线的对称轴为，‎ 因为，‎ 所以当时，取得最小值=，‎ 故的取值范围是，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．若A（3，），B（4，），则|AB|=____（注A、B两点坐标为极坐标）（　　）‎ A．4 B．5 C．4 D．2‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】求出A，B的直角坐标，利用两点间的距离公式，可得结论．‎ ‎【解答】解：A（3，），B（4，），直角坐标方程为A（﹣，），B（2，2），‎ ‎∴|AB|=5，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划的应用；基本不等式．‎ ‎【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．‎ ‎【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，‎ 当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，‎ ‎∴4a+6b=12，即2a+3b=6，‎ ‎∴=（）×=（12+）≥4‎ 当且仅当时，的最小值为4‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦，若|AB|=4，则AB的中点的纵坐标为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的长为4，|AB|=y1+y2+p，知y1+y2=，可得A、B中点的纵坐标．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ‎∵|AB|=4，‎ ‎∴|AB|=y1+y2+=4，‎ ‎∴y1+y2=，‎ ‎∴A、B中点的纵坐标为．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎14．设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn=，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a100的“理想数”为101，那么数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”为　102　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】据“理想数”的定义，列出a1，a2，…，a100的“理想数”满足的等式及2，a1，a2，…，a100的“理想数”的式子，两个式子结合求出数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”．‎ ‎【解答】解：∵为数列a1，a2，…，an的“理想数”，‎ ‎∵a1，a2，…，a100的“理想数”为101‎ ‎∴‎ 又数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”为：‎ ‎=‎ 故答案为102‎ ‎　‎ ‎15．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是　15km　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，如图所示，求出∠CAB与∠ACB的度数，在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入即可求出BC的长．‎ ‎【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，‎ 可得∠DAB=60°，∠DAC=30°，AB=45km，‎ ‎∴∠CAB=30°，∠ACB=120°，‎ 在△ABC中，利用正弦定理得： =，‎ 即=，‎ ‎∴BC===15（km），‎ 则这时船与灯塔的距离是15km．‎ 故答案为：15km ‎　‎ ‎16．设x，y，z∈R，且满足x2+y2+z2=5，则x+2y+3z之最大值为　　．‎ ‎【考点】二维形式的柯西不等式．‎ ‎【分析】由条件利用柯西不等式可得 14（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，由此求得x+2y+3z之最大值．‎ ‎【解答】解：∵x2+y2+z2=5，12+22+32=14，利用柯西不等式可得 14（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，‎ 即14×5）≥（x+2y+3z）2，∴x+2y+3z≤，当且仅当==时，取等号，‎ 故x+2y+3z之最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）‎ ‎17．给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a﹣20＜0．如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】由ax2+ax+1＞0恒成立可得，可求P的范围；由a2+8a﹣20＜0解不等式可求Q的范围，然后由P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，可知P，Q为一真一假，可求 ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：命题P：ax2+ax+1＞0恒成立 当a=0时，不等式恒成立，满足题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当a≠0时，，解得0＜a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴0≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 命题Q：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∵P∨Q为真命题，P∧Q为假命题 ‎∴P，Q有且只有一个为真，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 如图可得﹣10＜a＜0或2≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎18．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6‎ ‎，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；‎ ‎（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．‎ 由条件可知各项均为正数，故q=．‎ 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．‎ 故数列{an}的通项式为an=．‎ ‎（Ⅱ）bn=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，‎ 故=﹣=﹣2（﹣）‎ 则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，‎ 所以数列{}的前n项和为﹣．‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．‎ ‎（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．‎ ‎【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．‎ ‎【分析】（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证 ‎（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求．‎ ‎【解答】（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC ‎∴sinB（）=‎ ‎∴sinB•=‎ ‎∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc ‎∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，‎ ‎∵A+B+C=π ‎∴sin（A+C）=sinB 即sin2B=sinAsinC，‎ 由正弦定理可得：b2=ac，‎ 所以a，b，c成等比数列．‎ ‎（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，‎ ‎∴，‎ ‎∵0＜B＜π ‎∴sinB=‎ ‎∴△ABC的面积．‎ ‎　‎ ‎20．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．‎ ‎（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？‎ ‎（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+‎ ‎2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．‎ ‎（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米 ‎∵，∴‎ ‎∴‎ 由SAMPN＞32得 又x＞0得3x2﹣20x+12＞0‎ 解得：0＜x＜或x＞6‎ 即DN的长取值范围是 ‎（Ⅱ）矩形花坛的面积为 当且仅当3x=，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．‎ ‎　‎ ‎21．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，‎ ‎（1）写出直线l的参数方程；‎ ‎（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．‎ ‎【考点】直线的参数方程；直线与圆的位置关系；圆的参数方程．‎ ‎【分析】（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；‎ ‎（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解．‎ ‎【解答】解：（1）直线的参数方程为，即．‎ ‎（2）把直线代入x2+y2=4，‎ 得，t1t2=﹣2，‎ 则点P到A，B两点的距离之积为2．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．‎ ‎（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；‎ ‎（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果 ‎（ⅱ）求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．可得a=2，c=，b=，‎ 可得椭圆C的方程：；‎ ‎（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m），‎ ‎（ⅰ）证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，‎ k==，k′==﹣，‎ ‎==﹣3．为定值；‎ ‎（ⅱ）由题意可得，m2=4﹣t2，QM的方程为：y=﹣3kx+m，‎ PN的方程为：y=kx+m，‎ 联立，可得：x2+2（kx+m）2=4，‎ 即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0‎ 可得xA=，yA=+m，‎ 同理解得xB=，‎ yB=，‎ xA﹣xB=k﹣=，‎ yA﹣yB=k+m﹣（）=，‎ kAB===，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，‎ 所以6k+，当且仅当k=时取等号．‎ 此时，即m=，符合题意．‎ 所以，直线AB的斜率的最小值为：．‎ ‎　‎ ‎2017年2月8日