2018届二轮复习导数与实际应用及不等式问题课件（全国通用）

2018届二轮复习导数与实际应用及不等式问题课件（全国通用）

第5讲　导数与实际应用及不等式问题 高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)导数在实际问题 中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到 的函数模型更加宽广，要求是B级；(2)导数还经常作为高考 的压轴题，能力要求非常高.作为导数综合题，主要是涉及利 用导数求最值解决恒成立问题、利用导数证明不等式等，常 伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 真 题 感 悟 (1)证明　因为对任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(－x) ＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数. 考 点 整 合 1.解决函数的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型， 并要注意定义域，其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题 意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问 题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系， 建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函 数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结 果转化成实际问题作出解答. 2.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 (1)分离参数后转化为函数最值问题：将原不等式分离 参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数 求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地， f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立， 只需f(x)max≤a即可. (2)转化为含参函数的最值问题：将不等式转化为某含 待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极 值(最值)，伴有对参数的分类讨论，然后构建不等式 求解. 3.常见构造辅助函数的四种方法 (1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证 明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x). (2)构造“形似”函数：稍作变形后构造.对原不等式同解变形，如 移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式 子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数. (3)适当放缩后再构造：若所构造函数最值不易求解，可将所证明 不等式进行放缩，再重新构造函数. (4)构造双函数：若直接构造函数求导，难以判断符号，导数的零 点也不易求得，因此单调性和极值点都不易获得，从而构造f(x)和 g(x)，利用其最值求解. 4.不等式的恒成立与能成立问题 (1)f(x)＞g(x)对一切x∈[a，b]恒成立⇔[a，b]是f(x)＞ g(x)的解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min＞0(x∈[a，b]). (2)f(x)＞g(x)对x∈[a，b]能成立⇔[a，b]与f(x)＞g(x)的 解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max＞0(x∈[a，b]). (3)对∀x1，x2∈[a，b]使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min. (4)对∀x1∈[a，b]，∃x2∈[a，b]使得 f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min. (1)求a，b的值； (2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出 其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短 长度. 探究提高　在利用导数求实际问题中的最大值和最小 值时，不仅要注意函数模型中的定义域，还要注意实 际问题的意义，不符合的解要舍去. 探究提高　(1)证明f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)，可通过构造函数 h(x)＝f(x)－g(x)，将上述不等式转化为求证h(x)≥0或h(x)≤0， 从而利用求h(x)的最小值或最大值来证明不等式.或者，利用 f(x)min≥g(x)max或f(x)max≤g(x)min来证明不等式. (2)在证明不等式时，如果不等式较为复杂，则可以通过不 等式的性质把原不等式变换为简单的不等式，再进行证明. [微题型2]　利用导数解决不等式恒成立问题 【例2－2】 (1)已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R. ①讨论函数f(x)的单调区间； ②若函数f(x)在x＝1处取得极值，对∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2 恒成立，求实数b的取值范围. 探究提高　(1)利用最值法解决恒成立问题的基本思路 是：先找到准确范围，再说明“此范围之外”不适合题 意(着眼于“恒”字，寻找反例即可). (2)对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情 况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等 式，另一端是一个区间上具体的函数.但要注意分离参 数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式 较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 探究提高　存在性问题和恒成立问题的区别与联系 存在性问题和恒成立问题容易混淆，它们既有区别又 有联系：若g(x)≤m恒成立，则g(x)max≤m；若g(x)≥m 恒成立，则g(x)min≥m；若g(x)≤m有解，则g(x)min≤m； 若g(x)≥m有解，则g(x)max≥m. 1.不等式恒成立、能成立问题常用解法有： (1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量 与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数 的最值问题，形如a＞f(x)max或a＜f(x)min. (2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情 况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数 的分类讨论. (3)数形结合. 2.利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形. (2)构造新的函数h(x). (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值. (4)根据单调性及最值，得到所证不等式. 3.导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型 (1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题； (2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题； (3)把方程解的问题转化为函数的零点问题.