山东省临沂市罗庄区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

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高二质量调研试题 ‎ 数 学 2020.01 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；‎ 2. 将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.‎ 第I卷（选择题共60分）‎ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知是等比数列，且，，那么的值等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知，，那么下列不等式成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎3.已知双曲线 的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎4.条件，条件，若是的充分条件，则的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎5.如图，在正方体中，，分别是上底棱的中点，与平面所成的角的大小是 A. B. C. D. ‎ ‎6.若正实数，满足，则下列说法正确的是 A. 有最小值 B. 有最小值 ‎ C. 有最小值 D. 有最小值4 ‎ ‎7.我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿， ‎ ‎ 初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢 ‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎8.已知定义域为的奇函数的导函数为，当 时，， ‎ ‎ 若，，，则，， 的大小关系正确的是 ‎ A. B. C. D. ‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分.‎ ‎9.以下说法正确的有 ‎ A. 实数是成立的充要条件 B. 对恒成立 C.命题“，使得”的否定是“，使得”‎ D.若，则的最小值是 ‎ ‎10.如图，在边长为2的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，下列结论正确的是 ‎ ‎ A.的长度的最大值为 B.的长度的最小值为 ‎ C.的长度的最大值为 D.的长度的最小值为 ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，若，则双曲线的离心率可以是 A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数，若方程有4个零点，则 的可能的值为 A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13. 记为等比数列的前项和.若，则___________． ‎ ‎14.正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则 的取值范围是  ． ‎ ‎15.已知函数，则函数的极大值为 ． ‎ ‎16.已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧， （其 ‎ ‎ 中为坐标原点），则△ 与△面积之和的最小值是 ，当△ 与 ‎ △面积之和最小值时直线与轴交点坐标为 . ‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程 ‎17.（本小题满分10分）‎ 设为数列的前项和，已知，对任意，都有．‎ ‎（1）求数列 的通项公式；‎ ‎（2）若数列 的前项和为，求证：．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，平面平面，△为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，，，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知函数在点处的切线方程是．‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）求函数在上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入．据了解，该企业原有100 名技术人员，年人均投入万元．现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为万元．‎ ‎（1）要使这名研发人员的年总投入恰好与调整前100 名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数；‎ ‎（2）是否存在这样的实数，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入?若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设椭圆 的左、右焦点分别为，，左顶点为，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，连接并延长交椭圆于点，若，求的值．‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若不等式对任意 恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ 高二质量调研试题 ‎ 数学参考答案 一、单项选择题： ADACB DCB ‎ 二、多项选择题： 9.BC 10.AD 11.BCD 12.ABC 二、填空题：13. 14. 15. 16.， ‎ 三、解答题： ‎ ‎ ‎ ‎17. 解：（1） 因为， ‎ 当 时，， …………………………………………1分 两式相减，得，即，‎ 所以当 时，， …………………………………………2分 所以 ． …………………………………………3分 因为，所以． …………………………………………4分 ‎（2） 因为，令 ，，‎ 所以． ……………………………6分 所以 ‎. …………………………………………7分 因为 ，所以．…………………………………………8分 因为 在上是递减函数，………………………………9分 所以 在上是递增的，所以当 时，取最小值． ‎ 所以. …………………………………………10分 ‎18. 解：（1） 因为，，‎ 所以四边形是平行四边形． ………………………………1分 所以． ………………………………2分 因为 平面，平面，‎ 所以 平面． ………………………………………………4分 ‎（2）取的中点，连接，‎ 因为，所以．‎ 因为平面平面，平面，‎ 平面平面，‎ 所以平面． ……………………………6分 以点为坐标原点，分别以直线，为轴，‎ 轴建立空间直角坐标系，（如图所示：）‎ 则轴在平面内．‎ 因为， ，‎ 所以，，，，‎ 则 ，． ………………………………9分 设平面的法向量为，‎ 由 得 ‎ 令，解得，，得． ………………………………11分 由题意得平面的法向量为，‎ 所以．‎ 又因为二面角的平面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值是 ． ……………………………………12分 ‎19. 解：（1）因为，，……1分 则，，‎ 函数在点处的切线方程为：，……………2分 ‎（直线过点，则），‎ 由题意得 即，． ………………………………4分 ‎  （2）由（）得，函数的定义域为，‎ 因为，‎ 所以，， ……………………………6分 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 故在上单调递减，在上单调递增，……………………………8分 所以在上的最小值为．………………………………9分 又，，且 ．……………………………11分 所以在上的最大值为．‎ 综上，在上的最大值为，最小值为．………………12分 ‎20.解：（1）由题意得：，…………………………3分 ‎ 解得，‎ 所以调整后的技术人员的人数为． ………………………………4分 ‎ （2）因为，，由恒成立， ‎ 解得． …………………………………………………………5分 因为 恒成立， ……………………………8分 所以，， 恒成立，………………………10分 因为，当 等号成立， ………………………………11分 所以．‎ 所以存在实数 满足条件．………………………………………………12分 ‎ 21. 解：（1）设椭圆左焦点，依题意，，‎ 解得，，所以，则椭圆方程为．…………4分 ‎  （2）由（1）得，则直线的方程为．………………5分 联立 消去得．……………6分 设，所以，即． ………………7分 所以，则 ；……………………8分 由（1）得，，，． …………………9分 所以直线，直线．‎ 联立 解得． ……………………………10分 代入，得，………………………………11分 解得，即．………………………………………………12分 ‎22. 解：（1）由题意，得． ……………………………1分 ‎①当 时，，在上为增函数；………………………2分 ‎②当 时，当 时，， 在上为减函数，当 时，， 在 上为增函数．‎ 综上所述，当 时，的单调递增区间为；‎ 当时， 的单调递减区间是，单调递增区间是．‎ ‎………………………………4分 ‎  （2）由不等式 ，对恒成立，‎ 即，对 恒成立．……………………5分 构造函数， ‎ 则． ………………………………………………6分 又因为， ………………………………………………………………7分 所以 ‎， …8分 ‎①当时， 在上恒成立，在上单调递增，，即，对恒成立．………………9分 ‎②当 时，因为，所以，即 ，．‎ 当 时，‎ ‎，…10分 因为时，，知 在上为减函数，，即在 上，不存在使得不等式对任意 恒成立．‎ 综上，实数的取值范围是．…………………………………………12分