2020届山东省德州市夏津第一中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

2020届山东省德州市夏津第一中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2020届山东省德州市夏津第一中学高三上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出中不等式的解集确定出，及中的范围确定出，确定出集合的补集再求出即可.‎ ‎【详解】‎ 因为集合，‎ 则，‎ 又，‎ 所以.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了交集、补集及其运算,熟练掌握交集、补集的定义是解本题的关键，是基础题.‎ ‎2．若复数为纯虚数，则（ ）．‎ A． B．2 C．5 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】把给出的复数化简,然后由实部等于，虚部不等于求解的值，最后代入模的公式求模.‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 因为复数为纯虚数，‎ ‎，解得,‎ 所以 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法,是基础题.‎ ‎3．下列不等式正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数函数、对数函数的图像与性质,结合中间值法即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ 对于,由对数函数的图像与性质可知 对于,由指数函数的图像与性质可知 对于,由指数函数的图像与性质可知 综上可知, ‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质的应用,函数值的大小比较,属于基础题.‎ ‎4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用奇函数画出函数图像，同时画出的图像，结合图像即可得出.‎ ‎【详解】‎ 为上的奇函数，所以如图，画出在的图象，得点、点在上，‎ 画出的图象，得到其渐近线为，且在第一象限与的图象交点为，要解不等式，则结合图象，需的图象在图象的上方，从而解得:.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是函数奇偶性，单调性的应用，以及指数函数的性质应用，数型结合的应用，是中档题.‎ ‎5．已知，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用诱导公式和二倍角公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是诱导公式，二倍角公式的应用，考查学生的计算能力，是基础题.‎ ‎6．数列，满足，，，则数列的前项和为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意是数列是等差数列，数列的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前项和公式即可求得.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以数列是等差数列，数列的等比数列，‎ 因此，，‎ 数列的前项和为：‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.‎ ‎7．第七届世界军人运动会于2019年10月18日在武汉举行，现有，，，，5名志愿者分配到甲，乙，丙三个体育馆参加志愿者活动，每个体育馆至少安排一人且和是同学需分配到同一体育馆，则甲体育馆恰好安排了1人的概率是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意,首先和看成一个整体再根据每个体育馆至少安排一人，计算所有的基本事件，再计算甲体育馆恰好安排了1人含的基本事件个数，由等可能事件的概率公式,计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为和是同学需分配到同一体育馆，所以把看成一个元素，‎ 又每个体育馆至少安排一人，‎ 所有的基本事件有，‎ 甲体育馆恰好安排了1人的基本事件有,‎ 甲体育馆恰好安排了1人的概率为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是古典概型及其概率公式，考查带有限制条件的元素的排列组合问题，考查利用排列组合知识解决实际问题的能力，是中档题.‎ ‎8．设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与抛物线的准线相交于点 ， ，则 与 的面积之比 等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图过作准线的垂线，垂足分别为 又 ‎ 由拋物线定义 由 知， ‎ 把 代入上式，求得 ‎ 故 故选A．‎ 二、多选题 ‎9．定义新运算，当时，；当时，，则函数 ‎，的值可以等于（ ）．‎ A． B．1 C．6 D．‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】先根据题意算出函数的表达式，再算出函数的值域，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，‎ 易知函数在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以函数，的值可以等于为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是函数的单调性和函数的值域的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.‎ ‎10．已知两条直线，及三个平面，，，则的充分条件是（ ）．‎ A．， B．，，‎ C．， D．，，‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】根据面面垂直的判定定理，即可得作出判断.‎ ‎【详解】‎ 由面面垂直定理可以判断正确，‎ 对于选项，，，，也可以得到，故错.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是面面垂直的判定定理、充分条件的判断，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题.‎ ‎11．已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确的是（ ）．‎ A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调增 D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为 ‎【答案】BCD ‎【解析】根据图像求出函数的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断.‎ ‎【详解】‎ 由函数（其中，，）的图像可得：‎ ‎，，因此,‎ ‎,‎ 所以，过点，‎ 因此，又，‎ 所以，‎ ‎，‎ 当时，，故错；‎ 当时，，故正确；‎ 当，，所以在上单调递增，故正确；‎ 当时，，所以与函数有的交点的横坐标为 ，，故正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题.‎ ‎12．已知函数，下列四个命题正确的是（ ）．‎ A．函数为偶函数 B．若，其中，，，则 C．函数在上为单调递增函数 D．若，则 ‎【答案】ABD ‎【解析】根据函数的奇偶性定义，函数性质、对数函数的性质，以及作差法，可以判断.‎ ‎【详解】‎ 函数 对于，，，所以函数为偶函数，故正确；‎ 对于，若，其中，，，所以，‎ ‎，即，得到，故正确；‎ 对于，函数，由，解得，所以函数的定义域为，因此在上不具有单调性，故错误；‎ 对于，因为，，‎ 故 ‎，故正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是函数的性质以及对数函数性质的应用，作差法的应用，考查学生的分析问题的能力，和计算能力，是中档题.‎ 三、填空题 ‎13．已知向量．若向量，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由向量的差的坐标运算可得：，‎ 由两向量平行的坐标运算得：，运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：向量，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两向量平行的坐标运算，属基础题.‎ ‎14．某海域中有一个小岛（如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域的处出发由西向东直线航行，在处望见小岛位于北偏东75°，渔船继续航行8海里到达处，此时望见小岛位于北偏东60°，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险？答：______.（填写“有”、“无”、“无法判断”三者之一）‎ ‎【答案】无 ‎【解析】可过作的延长线的垂线，垂足为，结合角度关系可判断为等腰三角形，再通过的边角关系即可求解，判断与3.8的大小关系即可 ‎【详解】‎ 如图，过作的延长线的垂线，垂足为，在中，，，则，所以为等腰三角形。，又，所以，，所以渔船没有触礁的危险 故答案为：无 ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数在生活中的实际应用，属于基础题 ‎15．如图，在三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长，、分别为棱、的中点，并且，则异面直线与所成角为______；三棱锥的外接球的体积为______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据题意得出三棱锥是正三棱锥，易证出平面，再根据 ‎，可得，从而得出异面直线与所成角；判断出三棱锥是正方体的一部分，从而得出球的直径，即可得出球的体积.‎ ‎【详解】‎ 由三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长知，三棱锥是正三棱锥，则点在底面中的投影为底面的中心，为中点如图，‎ 因此,所以平面,平面,‎ ‎,又、分别为棱、的中点，‎ 则,因此，异面直线与所成角为；‎ ‎,‎ 平面,又，则平面,又三棱锥是正三棱锥，‎ 因此三棱锥可以看成正方体的一部分且为正方体的四个顶点，故球的直径为，‎ 则球的体积为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是异面直线所成角，线面垂直的判定定理，以及球的体积，考查学生的理解能力，是中档题.‎ ‎16．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先证明是正三角形，在中，由余弦定理、结合双曲线的定义可得，化为，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，得，另一个焦点，‎ 由对称性知，，‎ 又因为线段的垂直平分线经过点，，‎ 则，可得是正三角形，‎ 如图所示，连接，则，‎ 由图象的对称性可知，，‎ 又因为是等腰三角形，‎ 则，‎ 在中，‎ 由余弦定理：，‎ 上式可化为，‎ 整理得：，即，由于，‎ 则，‎ 故，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.‎ 四、解答题 ‎17．已知函数，将函数的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，然后向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的图像.‎ ‎（1）当时，求的值域；‎ ‎（2）已知锐角△的内角、、的对边分别为、、，若，，，求△的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）现根据平移法则求得，再求值域即可；‎ ‎（2）由求得，再结合正弦的面积公式，余弦定理联立求解，即可求得面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），将函数的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得；再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，得到；然后向左平移个单位，得到；再向上平移个单位，得到，当，， ‎ ‎，‎ ‎（2）或（由题意三角形为锐角三角形，故舍去），‎ ‎，①‎ ‎，②‎ 又，，代入①②得bc=3,则 ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简、值域求解，三角函数图像平移法则，正弦定理余弦定理结合求面积，属于基础题 ‎18．已知是各项为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等比中项．‎ ‎（1）设，，求证：是等差数列；‎ ‎（2）若，，，‎ ‎（Ⅰ）求数列的前项和；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）证明见解析(2) （Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】(1)根据等差数列定义即可证明；‎ ‎(2)(Ⅰ)求出数列的通项，再利用并项求和即可得出；（Ⅱ）求出数列的通项，再利用裂项求和即可得出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵是和的等比中项，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ 所以是等差数列．‎ ‎（2）由（1）可得 ‎，‎ ‎（Ⅰ）知，数列的前项和；‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）因为，，‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差定义的应用，等差数列通项公式，数列求和的并项求和、裂项求和的应用，考查学生的计算能力，是中档题.‎ ‎19．如图所示，等腰梯形中，，，，为中点，与交于点，将沿折起，使点到达点的位置（平面）．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，试判断线段上是否存在一点（不含端点），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）存在，‎ ‎【解析】(1)先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直证明面平面即可；‎ ‎(2)建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再利用向量所成角的关系式求出直线与平面所成角的正弦值，建立关系式，即可得出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接，在等腰梯形中，，，为中点，‎ ‎∴四边形为菱形，∴，‎ ‎∴，，即，，且，‎ 平面，平面，∴平面．‎ 又平面，∴平面平面．‎ ‎（2）由（1）可知四边形为菱形，∴，‎ 在等腰梯形中，∴正三角形，‎ ‎∴，同理，‎ ‎∵，∴，∴．‎ 由（1）可知，，‎ 以为原点，，，分别为轴，轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 由题意得，各点坐标为，，，，， ‎ ‎∴，，，‎ 设，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，‎ 取，，得，∴，‎ 设直线与平面所成角为，，‎ 则，即，‎ 化简得：，解得，‎ ‎∴存在点为的中点时，使直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是线面垂直和面面垂直的证明，以及利用空间向量法求线面所成角，考查学生的分析问题、解决问题的能力，同时考查学生的计算能力，是中档题.‎ ‎20．2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定．草案提出，国家推行生活垃圾分类制度．为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：‎ 得分 频数 ‎25‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎250‎ ‎225‎ ‎100‎ ‎50‎ ‎（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求；‎ ‎（2）在（1）的条件下，市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：‎ ‎①得分不低于“的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；‎ ‎②每次获赠的随机话费和对应的概率为：‎ 获赠的随机话费（单位：元）‎ ‎20‎ ‎40‎ 概率 现市民小王要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．‎ 附：①；②若，则，，，‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析,‎ ‎【解析】(1)先求出，再根据正态分布的知识求出即可；‎ ‎(2)先求出的所有可能情况元，再求的的分布列及数学期望即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得 ‎；‎ 又，，‎ 所以．‎ ‎（2）根据题意可以得出所得话费的可能值有20，40，60，80元，‎ 得20元的情况为低于平均值，概率，‎ 得40元的情况有一次机会获得40元，两次机会获得2个20元，概率，‎ 得60元的情况为两次机会，一次40元，一次20元，概率，‎ 得80元的情况为两次机会，都是40元，概率，‎ 所以变量的分布列为：‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ 所以其期望为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是正态分布的知识及离散型随机变量的分布列、数学期望问题，综合性强，考查学生的分析问题能力，是中档题.‎ ‎21．已知椭圆，四点，，，，恰有三点在椭圆上．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设、为椭圆在左、右焦点，是椭圆在第一象限上一点，满足，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）1‎ ‎【解析】(1)根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆上，把代入椭圆，即可求出椭圆方程；‎ ‎(2)由可得点坐标，设出直线方程，代入椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得三角形的高,由三角形面积公式及基本不等式可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵椭圆，‎ 四点、、、 ‎ 结合椭圆几何特征，可得、、在椭圆上，‎ 所以，，解得，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）由椭圆的方程可知：，，，‎ ‎，，‎ 由，即，‎ 由，解得，则点坐标为，‎ 设直线的方程为，，‎ 整理得，由得，‎ 则，，，，‎ ‎∴，．‎ 当且仅当，即时，取等号，‎ ‎∴面积的最大值1．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的性质，以及直线与椭圆的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式及基本不等式的应用，考查学生的计算能力，是难题.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）设函数，若存在不相等的实数，，使得，证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）对函数进行求导得，再对分三种情况进行讨论；‎ ‎（2）先求出，再对进行求导研究函数的图象特征，当时，图象在上是增函数，不符合题；当时，再将问题转化为构造函数进行求解证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为.‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ ‎①当，即时，‎ 由得或，由得，‎ 所以在，上是增函数， 在上是减函数；‎ ‎②当，即时，所以在上是增函数；‎ ‎③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函 综上可知：‎ 当时在，上是单调递增，在上是单调递减；‎ 当时，在.上是单调递增； ‎ 当时在，上是单调递增，在上是单调递减.‎ ‎ （2），，‎ 当时， ，所以在上是增函数，故不存在不相等的实数，，使得，所以. ‎ 由得，即，‎ 不妨设，则，‎ 要证，只需证，即证，‎ 只需证，令，只需证，即证，‎ 令，则，‎ 所以在上是增函数，所以，‎ 从而，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性及证明问题，考查函数与方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题.‎