2008年北京市崇文区中考数学一模试卷

2008年北京市崇文区中考数学一模试卷

‎25 2008年北京市崇文区中考数学一模试卷 第Ⅰ卷(选择题 共32分)‎ 一、选择题(本题共32分，每小题4分)‎ 在下列各题的四个备选答案中，只有一个选项是正确的．‎ ‎1．的相反数是( )‎ A． B． C．－2 D．2‎ ‎2．下列运算中，正确的是( )‎ A．－a2－‎2a2＝－‎3a2 B．‎ C．(－a2)3＝a5 D．a2·a3＝a6‎ ‎3．如图，AB∥CD，∠B＝58°，∠E＝20°，则∠D的度数为( )‎ 第3题图 A．20° B．38° C．58° D．78°‎ ‎4．据有关数据显示，全国财政用于社会保障支出五年累计19500亿元，比前五年增长1.41倍．将19500用科学记数法表示应为( )‎ A．1.95×105 B．1.95×104‎ C．19.5×104 D．0.195×105‎ ‎5．袋中有3个红球，4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某校社会实践小组八位成员上街卖报，一天的卖报数如下表：‎ 成员 A B C D E F G H 卖报数(份)‎ ‎25‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎28‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎32‎ ‎25‎ 则卖报数的众数和中位数分别是( )‎ A．25，28 B．28，28.5‎ C．32，28 D．28，28‎ ‎7．将点P(4，3)向下平移1个单位长度后，落在函数的图象上，则k的值为( )‎ A．k＝12 B．k＝10‎ C．k＝9 D．k＝8‎ ‎8．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为( )‎ 第8题图 A．6 B．‎3 ‎C．2 D．1‎ 第Ⅱ卷(解答题 共88分)‎ 二、填空题(本题共16分，每小题4分)‎ ‎9．在函数中，自变量x的取值范围是________．‎ ‎10．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠OEF＝34°，则∠DCF的度数是________．‎ 第10题图 ‎11．观察下列等式：31－1＝2，32－1＝8，33－1＝26，34－1＝80，35－1＝242，…．通过观察，用你所发现的规律确定32008－1的个位数字是________．‎ ‎12．如果x2＋3x－3＝0，则代数式x3＋3x2－3x＋3的值为________．‎ 三、解答题(共13个小题，共72分)‎ ‎13．(4分)因式分解：m3－‎4m．‎ ‎14．(4分)计算：．‎ ‎15．(5分)计算：．‎ ‎16．(5分)先化简，再求值：4x(x－1)－(2x－1)2＋3x，其中．‎ ‎17．(5分)解不等式组并把其解集在数轴上表示出来．‎ ‎18．(5分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E是BC边的中点，EM⊥AB，EN⊥CD，垂足分别为M、N．‎ 求证：EM＝EN．‎ 第18题图 ‎19．(5分)2008年北京奥运会的比赛门票已经在网上开始接受公众的预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的羽毛球部分场次比赛的门票价格．球迷小王用2200元来预订下表比赛场次的门票共6张，问男子双打半决赛和男子单打决赛门票各订了多少张．‎ 比赛场次 票价(元／场)‎ 男子双打半决赛 ‎300‎ 男子单打决赛 ‎500‎ ‎20．(5分)某市教育部门对今年参加中考的学生的视力进行了一次抽样调查，得到如图所示的频数分布直方图．(每组数据含最小值，不含最大值)‎ ‎(1)本次抽查的样本容量是多少?‎ ‎(2)若视力在4.9以上(含4.9)均属正常，求视力正常的学生占被统计人数的百分比是多少．‎ ‎(3)根据图中提供的信息，谈谈你的感想．‎ 第20题图 ‎21．(5分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2.动点O在AC边上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结CD．‎ ‎(1)若点D为AB边上的中点，请你判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎(2)当∠ACD＝15°时，请你求出此时弦AD的长．‎ 第21题图 ‎22．(6分)已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：‎ ‎(1)如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上(如图②)，你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗?请你在图②中画出图形，并简要说明画法．‎ 第22题图 ‎(2)若点P不在∠AOB的平分线上(如图③)，我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR＝∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．‎ ‎(3)若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在(2)中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．‎ ‎23．(7分)在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝4，把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别落在AB、AC上．将三角板绕点A按逆时针旋转，设旋转角为a ‎(1)如图①，当0°＜a ＜60°时，三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F，请你通过观察或测量写出图中现有的两组相等线段(菱形的边和对角线除外)．‎ ‎(2)如图②，当60°＜a ＜120°时，三角板的两边分别与BC、CD的延长线相交于点E、F，你在(1)中得到的结论还成立吗?若成立，请你选择一组加以证明；若不成立，请你说明理由．‎ ‎(3)当0°＜a ＜60°时，三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F，请你求出这个三角板与这个菱形重合部分的面积．‎ 第23题图 ‎24．(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，OA＝3，OC＝2．动点D在线段BC上移动(不与B、C重合)，连结OD，作DE⊥OD交边AB于点E，连结OE．设CD的长为t．‎ ‎(1)当t＝1时，求直线DE的解析式．‎ ‎(2)设梯形COEB的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．‎ ‎(3)是否存在t的值，使得OE的长取得最小值?若存在，求出此时t的值并求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第24题图 ‎25．(8分)已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，直线y＝kx＋3与该二次函数的图象交于D、B两点，其中点D在y轴上，点B的坐标为(3，0)．‎ ‎(1)求k的值和这个二次函数的解析式．‎ ‎(2)设抛物线的顶点为C，点F为线段DB上一点，且使得∠DCF＝∠ODB，求出此时点F的坐标．‎ ‎(3)在(2)的条件下，若点P为直线DB上的一个动点，过点P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E．问：是否存在这样的点P，使得以点P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ 答 案 ‎25．2008年北京市崇文区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1．A 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 二、填空题 ‎9．x≠－3 10．28° 11．0 12．3‎ 三、解答题 ‎13．解：原式＝m(m2－4)＝m(m＋2)(m－2)．‎ ‎14．解：原式 ‎．‎ ‎15．解：原式．‎ ‎16．解：原式＝4x2－4x－(4x2－4x＋1)＋3x ‎＝4x2－4x－4x2＋4x－1＋3x ‎＝3x－1．‎ 当时，3x－1＝－2．‎ ‎17．解：解不等式①得x≤5．解不等式②得x＞2．‎ 将不等式的解集表示在数轴上，∴不等式组的解集为2＜x≤5．‎ 第17题答图 ‎18．证明：∵AD∥BC，AB＝DC，‎ ‎∴∠B＝∠C．‎ ‎∵EM⊥AB,EN⊥CD,‎ ‎∴∠BME＝∠CNE＝90°．‎ 又∵点E是BC边的中点，‎ ‎∴BE＝CE．‎ 在Rt△BME和Rt△CNE中，‎ ‎∴Rt△BME≌Rt△CNE．∴EM＝EN．‎ ‎19．解：设男子双打半决赛的门票订了x张，男子单打决赛门票订了y张．‎ 根据题意，得解得 答：男子双打半决赛的门票订了4张，男子单打决赛门票订了2张．‎ ‎20．解：(1)20＋40＋90＋60＋30＝240． (2)．‎ ‎(3)许多学生眼睛都是近视的，应加强用眼卫生． 说明：第(3)问其他答案只要合理即可．如：学生的课业负担太重，视力下降太快等．‎ ‎21．解：(1)直线CD与⊙O相切．‎ 证明如下：如图①，连结OD．‎ ‎∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D为AB边的中点，‎ ‎∴∠A＝∠ACD＝30°．‎ 又∵OD＝OA，‎ ‎∴∠A＝∠ADO＝30°．‎ ‎∴∠CDO＝90°．‎ ‎∴直线CD与⊙O相切．‎ 第21题答图①‎ 第21题答图②‎ ‎(2)如图②，过点C作CF⊥AB于点F．‎ ‎∵∠A＝30°,BC＝2,‎ ‎∴AB＝4．‎ ‎∵∠ACD＝15°,‎ ‎∴∠BCD＝75°,∠BDC＝45°．‎ 在Rt△BCF中，可求BF＝，‎ CF＝3．在Rt△CDF中，可求DF＝3．‎ ‎∴AD＝AB－BF－FD＝4－－3＝3－3．‎ ‎22．解：(1)能．‎ 画法：作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形，如图①．‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ 第22题答图 ‎(2)∵PQ∥OA,‎ ‎∴∠QPR＝∠OCD,‎ 又∵∠QPR＝∠AOB，‎ ‎∴∠OCD＝∠AOB．‎ ‎∴OD＝CD．‎ 即△OCD是以OC为底的等腰三角形．‎ ‎(3)如图②．‎ ‎23．解：(1)BE＝CF，AE＝AF，CE＝DF．写出两组即可．‎ ‎(2)(1)中的结论仍然成立．如图，BE＝CF的结论仍然成立．‎ 证明如下：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，‎ ‎∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACD＝∠CAD＝60°,∴AB＝AC．‎ 又由题意可知，∠EAF＝60°，‎ ‎∴∠BAE＝∠CAF．‎ 在△BAE和△CAF中，‎ ‎∴△BAE≌△CAF．‎ ‎∴BE＝CF．‎ 说明：也可证明其他相等的线段．‎ ‎(3)当0°＜a ＜60°时，三角板与这个菱形重合部分的面积就是四边形AECF的面积．‎ 由题意可证△BAE≌△CAF．‎ ‎∴四边形AECF的面积就是△ABC的面积．‎ ‎∵AB＝4,‎ ‎∴所求图形的面积为4平方单位．‎ 第23题答图 ‎24．解：(1)如图，∵四边形OABC是矩形，且DE⊥OD，‎ ‎∴∠1＋∠2＝90°,∠3＋∠2＝90°．‎ ‎∴∠1＝∠3．‎ 又∵∠OCD＝∠B＝90°，‎ ‎∴△OCD∽△DBE．．‎ 第24题答图 ‎∴当t＝1时，，‎ ‎∴BE＝1．‎ ‎∴点E的坐标为(3，1)．‎ 设直线DE的解析式为y＝kx＋b，‎ 又∵点D的坐标为(1，2)，‎ ‎∴直线DE的解析式为．‎ ‎(2)由(1)得，即．．‎ ‎．‎ 自变量t的取值范围是：0＜t＜3．‎ ‎(3)存在t的值，使得OE的长取得最小值．因为Rt△OAE的直角边OA的长为定值，所以当Rt△OAE的面积最小时，AE的长最小，即OE的长最小．而当Rt △ OAE的面积最小时，就是梯形COEB的面积最大时．‎ 由(2) 可知，‎ 当时满足此要求．此时，．‎ ‎∴点E的坐标为．‎ ‎25．解：(1)∵直线y＝kx＋3经过点B(3，0)，‎ ‎∴可求出k＝－1．‎ 由题意可知，点D的坐标为(0，3)．‎ ‎∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B和点D，‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3．‎ ‎(2)如图，可求顶点C的坐标为(1，4)．‎ 由题意，可知∠ODB＝45°．‎ 过点D作此抛物线对称轴的垂线DG，可知DG＝CG＝1，‎ 所以此时∠DCG＝45°，则易知点F的坐标为(1，2)．‎ ‎(3)存在这样的点P，使得以点P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．‎ 理由如下：由题意知PE∥CF，‎ ‎∴要使以点P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，只要满足PE＝CF＝2即可．∵点P在直线DB上，‎ ‎∴可设点P的坐标为(x，－x＋3)．‎ ‎∵点E在抛物线y＝－x2＋2x＋3上，‎ ‎∴可设点E的坐标为(x，－x2＋2x＋3)．‎ ‎∴当－x＋3－(－x2＋2x＋3)＝2时，解得；‎ 当－x2＋2x＋3－(－x＋3)＝2时，解得x＝1或x＝2，‎ x＝1不合题意，舍去．‎ ‎∴满足题意的点P的横坐标分别为，，x3＝2．‎ 第25题答图