高考数学复习专题练习第7讲 离散型随机变量的均值与方差
第 7 讲 离散型随机变量的均值与方差
一、选择题
1．设 X 为随机变量，X～B n，1
3 ，若随机变量 X 的数学期望 EX＝2，则 P(X＝2)
等于( )
A.13
16 B. 4
243
C. 13
243 D. 80
243
解析 ∵X～B n，1
3 ，EX＝2，∴n·1
3
＝2，∴n＝6，
∴P(X＝2)＝C26
1
3 2 1－1
3 4＝6×5
1×2
×1
9
×16
34
＝ 80
243.
答案 D
2．签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签，从中任意取 3 支，设 X 为这 3
支签的号码之中最大的一个，则 X 的数学期望为( )．
A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6
解析 由题意可知，X 可以取 3，4，5，6，
P(X＝3)＝ 1
C36
＝ 1
20
，P(X＝4)＝C23
C36
＝ 3
20
，
P(X＝5)＝C24
C36
＝ 3
10
，P(X＝6)＝C25
C36
＝1
2.
由数学期望的定义可求得 EX＝5.25.
答案 B
3．若 p 为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P 1
2
－p p 1
2
则 Eξ的最大值为( )．
A．1 B.3
2 C.2
3 D．2
解析 由 p≥0，1
2
－p≥0，则 0≤p≤1
2
，Eξ＝p＋1≤3
2.
答案 B
4．已知随机变量 X＋η＝8，若 X～B(10，0.6)，则 Eη，Dη分别是 ( )．
A．6 和 2.4 B．2 和 2.4 C．2 和 5.6 D．6 和 5.6
解析 由已知随机变量 X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得 Eη＝8－EX＝8
－10×0.6＝2，
Dη＝(－1)2DX＝10×0.6×0.4＝2.4.
答案 B
5．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概
率为 c(a，b，c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为 2，则2
a
＋ 1
3b
的最小
值为 ( )．
A.32
3 B.28
3 C.14
3 D.16
3
解析 由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，
即 3a＋2b＝2，其中 0
Dξ2
B．Dξ1＝Dξ2
C．Dξ1Dξ2.
答案 A
二、填空题
7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的期望 Eξ＝8.9，则 y 的值为________．
解析 x＋0.1＋0.3＋y＝1，即 x＋y＝0.6.①
又 7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得 7x＋10y＝5.4.②
由①②联立解得 x＝0.2，y＝0.4.
答案 0.4
8．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概
率为 c，a，b，c∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为 1(不计其他得分
情况)，则 ab 的最大值为________．
解析 由已知 3a＋2b＋0×c＝1，
∴3a＋2b＝1，
∴ab＝1
6·3a·2b≤1
6·3a＋2b2
4
＝ 1
24
，
当且仅当 a＝1
6
，b＝1
4
时取“＝”．
答案 1
24
9．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中 a，b，c 成等差数列．若 Eξ＝1
3
，则 Dξ的值是________．
解析 根据已知条件：
a＋b＋c＝1，
2b＝a＋c，
－a＋c＝1
3
，
解得：a＝1
6
，b＝1
3
，c＝1
2
，
∴Dξ＝1
6
× －1－1
3
2
＋1
3
× 0－1
3
2
＋1
2
× 1－1
3
2
＝5
9.
答案 5
9
10．设 l 为平面上过点(0，1)的直线，l 的斜率等可能地取－2 2，－ 3，－ 5
2
，
0， 5
2
， 3，2 2，用ξ表示坐标原点到 l 的距离，则随机变量ξ的数学期望 Eξ
＝________．
解析 当 l 的斜率 k 为±2 2时，直线 l 的方程为±2 2x－y＋1＝0，此时坐标
原点到 l 的距离 d＝1
3
；当 k 为± 3时，d＝1
2
；当 k 为± 5
2
时，d＝2
3
；当 k 为 0
时，d＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：
ξ 1
3
1
2
2
3 1
P 2
7
2
7
2
7
1
7
所以 Eξ＝1
3
×2
7
＋1
2
×2
7
＋2
3
×2
7
＋1×1
7
＝4
7.
答案 4
7
三、解答题
11．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生
的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1
2.
若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支
持”，则给予 5 万元的创业资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表
示该公司的资助总额．
(1)写出ξ的分布列；(2)求数学期望 Eξ.
解 (1)ξ的所有取值为 0,5,10,15,20,25,30.[来源:学|科|网]
P(ξ＝0)＝ 1
64
，P(ξ＝5)＝ 3
32
，P(ξ＝10)＝15
64
，P(ξ＝15)＝ 5
16
，P(ξ＝20)＝15
64
，
P(ξ＝25)＝ 3
32
，P(ξ＝30)＝ 1
64.
故ξ的分布列为：
ξ 0 5 10 15 20 25 30
P 1
64
3
32
15
64
5
16
15
64
3
32
1
64
(2)Eξ＝5× 3
32
＋10×15
64
＋15× 5
16
＋20×15
64
＋25× 3
32
＋30× 1
64
＝15.
12．袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n
＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．
(1)求 X 的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aX＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求 a，b 的值．
解 (1)X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 1
2
1
20
1
10
3
20
1
5
∴EX＝0×1
2
＋1× 1
20
＋2× 1
10
＋3× 3
20
＋4×1
5
＝1.5.
DX＝(0－1.5)2×1
2
＋(1－1.5)2× 1
20
＋(2－1.5)2× 1
10
＋(3－1.5)2× 3
20
＋(4－1.5)2
×1
5
＝2.75.
(2)由 Dη＝a2DX，得 a2×2.75＝11，即 a＝±2.
又 Eη＝aEX＋b，
所以当 a＝2 时，由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2.
当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4.
∴ a＝2，
b＝－2
或 a＝－2，
b＝4，
即为所求．
13．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1
2
，a，a(0
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